dataStructure_二叉排序树BST/BBT/AVL

文章目录

• • 二叉排序树BST
  • • 二叉排序树的查找算法(非递归)
    • 递归版
  • BST的维护
  • • 插入
    • 插入算法(递归版)
    • 构造BST
    • 删除BST结点
    • BST性能分析
  • 平衡二叉树BBT/AVL树
  • • 结点平衡因子BF(Node)
    • 插入结点BBT_Insert(Node )
    • • 最小不平衡树MUT
    • 四类失衡下的维护操作
    • • 旋转维护平衡的要诀
      • 树的孩子标记法说明
      • • NX型:AL/AR(BL/BR)
        • NXX型:ALL/ALR/BLL/BLR
      • LL旋转
      • RR旋转
      • LR旋转
      • RL旋转
  • BBT删除
  • BBT的查找
  • • 递推
    • • 协递推
    • 高度为h的BBT含有的最少结点数
    • • 性能

二叉排序树BST

• BinarySortTree(BST)

二叉排序树的查找算法(非递归)

BSTNode * BST_Search(BiTree T,ElemType key){
    while(T!=NULL && key!=T->data){//如果树二叉查找树T(或子树)空,或者key==T->data,直接范围T(根)结点
        if(key<T->data){//如果key小于根结点,则继续访问左子树,否则访问右子树,表现为T的更新
            T=T->lchild
        }else{
            T=T->rchild
        }
    }
    return T;
}

递归版

BSTNode * BST_Search(BiTree T,ElemType key){
	if(T==NULL){//T==NULL,直接结束调用
        return T
    }//否则T非空
    else if(key==T->data){//good luck!找到了
          return T;//递归出口
    }// 没找到,继续往合适的子树继续找下去
    else if(key<T->data){//如果key小于根结点,则继续访问左子树,否则访问右子树,表现为T的更新
        T=T->lchild//可以分步
        BST_Search(T,key)
    }else{
        BST_Search(T->rchild,key)//或者一步到位
    }
  
}

BST的维护

插入

• BST作为一种动态树表,树的结构通常不是一次性生成的,
  • 在查找过程中当BST树的结点不存在关键值等于给定的key的结点的时候再进行插入
  • 新key值结点N作为叶子结点插入
  • 插入在查找失败F的结点下:
    • (注意在插入之前要走一遍查找的流程,以便确定查找失败会停在那个结点)
      • 这意味着,算法得包含查找元素的逻辑
    • $如果key<F\to key,则N作为F的左孩子(F\to lchild=N)$
    • $否则,F\to rchild=N$

插入算法(递归版)

int BST_Insert(BiTree *T,KeyType k){
    /*当原树为空,那么k将作为新值(构建一个新结点插入作为根结点)*/
    if(T==NULL){
        //整个递归函数只在这一块逻辑内执行插入操作,这保证了,只有可能在出度为1或0的结点上有插入
        T=(BiTree)malloc(sizeof(BSTNode)):
        T->data=k;
        T->lchild=T->rchild=NULL;
        return 1;
    }
    //上面这块逻辑是插入递归插入函数和递归查找函数的主要区别(如果把函数名全用F表示),它在查找(失败)的基础上试图做插入操作
    //如果BST在插入前已经有值为key的结点,在直接结束,不执行插入
    else if(k==T->data){
        return 0;
    }
    else if(k<T->data){//如果key<当前根结点关键字
    
        BST_Insert(T->lchild,k)//继续往左子树查找并插入
    }else{
		BST_Insert(T->rchild,k)//继续往右子树查找并插入
    }
}

构造BST

• 通过合适的方式(遍历要被参与构建BST的元素,对他们分别对它们调用BST_Insert函数,就可以构造出二叉排序树

• void Creat_BST(BiTree *T,KeyType str[],int n){
  	//初始化一棵空树
      T=NULL;
  	int i=0;//计数器,累计已经插入的结点
  	while(i<n){
  		BST_Insert(T,str[i]);
          i++;
  	}
  }

删除BST结点

• 删除结点的操作往往比插入操作复杂一些

  • 这主要体现在被删除结点所在的位置的上下文环境种比较多,以及删除之后的剩余部部分需要维持排序二叉树的特性,要做维护操作,需要分类讨论

    • 我们记被删除的结点为z结点

    • case1:z是0度(叶子)结点,则可以直接删除,不需要进一步维护

    • case2:z是1度结点,则需要让z结点的唯一子树o(根结点)直接代替z

    • cases3:z是2度结点,则需要计算z的后继s结点(前驱p也是可以的),

      • 用s代替z(注意s只是后继,但未必是z的直接孩子,也可能是孙子结点…)

      • 将z删除,这个操作必定属于case1或case2

        • 根据中序遍历(二叉排序树的定义),z的后继s必然满足:

          • s->lchild=NULL(即s没有左孩子,右孩子我们不关心)

            • 如果有左孩子,那么z的后继不可能是z,顶多是z的左孩子

            • 而这又对应了两类情况:

              • s既没有左孩子,也没有右孩子(对应case1)

              • s没有左孩子,但是有右孩子(对应cases2)

BST性能分析

• 最好性能是当BST是平衡树的时候,达到和二分查找一样的高性能(O(${\log }_{2}n$))
• 最坏的情况下,形式上,退化为单链表,最差性能O(n)

平衡二叉树BBT/AVL树

• BBT(BalancedBinaryTree):平衡二叉树,其任意(分支)结点的左右子树的高度相差(绝对值)不超过1)

• 平衡二叉树也叫AVL树:三个发明人的首字母

  • It is the name of the inventors like you guessed. From wiki:

    AVL tree is named after its two Soviet inventors, Georgy Adelson-Velsky and Evgenii Landis

    Their names spell the acronym, AVL.

结点平衡因子BF(Node)

• BF:Balance Factor

• BF(Tree)或者BF(TreeRootNode)

• 结点N的平衡因子左右子树的的高度差:

  • BF(A)=H(L)-H®
  • H(X)子树X的高度,X=L,R

• $平衡树的平衡因子bf取值为-1,0,1(|bf|⩽1)$

  • BF(A)=0时,可以称为等高平衡
  • BF(A)$=\pm 1$时,可以称为瑕疵平衡

• 当BST的平衡因子绝对值超过1,就需要维护

插入结点BBT_Insert(Node )

• 在BST的插入算法的基础上,需要做一些维护平衡的判断和操作

• 判断BST方式插入后,是否引起BBT的失衡

• 主要讨论失衡的情况

最小不平衡树MUT

• MinimunUnbalanceTree

• 设插入结点为z

• 当插入新结点z后,导致BBT失衡,那么

  • 插入z的路径上,离z最近的|BF|>1的结点记为M,以M为根结点的子树为MUT(z)

• 找MUT结点的时候,可以自底向上计算BF,遇到第一个$BF=\pm 2$的时候就是失衡调整单位了

• 最小不平衡树至少是一棵具有三个结点的三层或者以上的二叉树

  • 0/1/2层的二叉树都是平衡树

四类失衡下的维护操作

• 插入后,引起失衡的情况无非就是BF(A)!=0(等高平衡)
  • 另外|BF(A)|=1瑕疵平衡
• 通过下列的维护操作,可以使得BF(A)在插入新结点后不超过1
• 一定要注意,只有在下面这四种情况下才有维护平衡的需要,否则是徒劳的
• 设A为失衡后的MUT根结点
  • B是A的一个孩子
  • C是B的一个孩子
• 分类:
  • 单支MUT:LL/RR
  • 双支非单支MUT:LR/RL
  • 
    
  • 因此,这里给出结论,对于插入引起的失衡,先找新结点C=z所在的MUT的三个结点A,B,C(必定是上述4中类型之一)
    • 再按照中序遍历的顺序写出三个结点的前后继关系,就得到左孩子,根结点,右孩子
    • 其他B或C上原来的孩子结点也是按照前后继关系调整到旋转后的三个结点上(通常是A)

旋转维护平衡的要诀

• 4类情况中,无论是那种情况都是以上4中模型的一种
• 可以利用中序遍历的顺序,写出每种模型的遍历顺序(前中后三个位置的元素将作为调整后的LNR,N作为根结点位置)
  • LL:CBA
  • RR:ABC
  • LR:BCA
  • RL:ACB(以本情况为例,C是A的后继,B是C的后继)

树的孩子标记法说明

NX型:AL/AR(BL/BR)

• N=A或B

• X=L或R

• 即AL/AR分别为(子树)根结点A的的左孩子和右孩子

• BL/BR类似

NXX型:ALL/ALR/BLL/BLR

• 类似上面的定义,比如,
  • ALL表示A的左孩子(L)的左子树(L)
  • ALR表示A的左孩子(L)的右孩子®

LL旋转

• 由于结点A的左孩子的左子树(LL)上被插入了新结点z,BF(A)>1(左重右轻)

• LL可以理解为新插入的结点相对于A而言是ALL的位置

RR旋转

• 和LL情况类似

LR旋转

• 实例
  • 
  • 
  • 其中的大框包裹的三个结点就是MUT的主要上点(ABC)
    • 这里BF(A)=H(B)-H(F)=3-1=2
    • 调整成将三点按照中序遍历先后顺序分别对应于LNR
    • 即C的左右孩子将分别被改成B和A
    • 并且将C的E孩子挂到后它原来的前驱或者后继上
      • 这取决于E是C的左孩子还是右孩子

RL旋转

• 实例
  • 

BBT删除

• 和插入操作类似,按照BST的删除方法将需要删除的结点删除掉
  • 初步删除后,可能导致BBT失衡
  • 这个时候从被删除的结点的双亲结点开始(向上)找到MUT
  • 对MUT执行四类维护操作中的一种
• 但是,一次维护对于删除而言可能是不够的,这时候继续向上找MUT,重新维护

BBT的查找

递推

• 递推关系式
  • 线性递推
  • …

协递推

• $约定,形如F(n)=g(F({\varphi }_i(n)))的递推式,其中$
  • ${\varphi }_i(n)是互不相同的$
  • $i=1,2,3,\cdots ,当i⩾2时是协递推的$
  • 这个概念是我造的,私用(✿◡‿◡)(✿◡‿◡)(✿◡‿◡)
• 例如
  • F(n)=F(n-1)+F(n-2),Fibonacci递推(协递推)
  • F(n)=qF(n-1),等比递推
  • F(n)=d+F(n-1),等差递推

高度为h的BBT含有的最少结点数

• 设高度为h的平衡二叉树含有的结点数的下限值为$n_h$
  • 当h层BBT的结点数N(BBT)=$n_h$时,该BBT是具有最少结点h层平衡二叉树MNBBT(h)(Minimum Nodes Balance Binary Tree Of h),简单记为MBBT(h)
• 枚举数列{$n_h$}中的前几个数
  • $n_0=0$(空树也是BBT的一种)
  • $n_1=1$
  • $n_2=2$
  • $n_3=4$
  • $⋮$
  • $n_h$
• 容易知道,
  • $n_h>h$
  • 除了$n_0$以外,等高BBT一定不是MBBT
    • 因为,等高BBT总是可以找到删除后仍然保持平衡的叶子结点,平衡因子绝对值顶多加到1
  • MBBT去掉一个结点后,不再是MBBT(h)(不再平衡或者高度变矮)!(反证法,如果MBBT去掉一个结点x后,依然平衡,那么去掉结点x前的就不是MBBT)
  • 类似的,如果给MBBT增加一个结点,它也不再MBBT(h)(结点数不是最少的了/高度变高了)
• 事实上,由于BBT的定义是递归的,所以:
  • 而且,从自底向上的角度看,更有利于理解递推关系
  • 因为任意BBT分为左子树+根结点+右子树三部分
  • 根据定义,设$T_h$是一棵h层的BBT,
    • 根据前面的分析,如果一棵树的左右子树都是BBT(包括MBBT),且高度差不超过1,那么这个树也一定是BBT
    • $T_h$的左右子树分别是一棵矮1层或者矮2层的BBT
      • 如果希望$T_h$在保持平衡的条件下取值也是最小的(即是一棵MBBT)
        • 那么左右子树也必须都是MBBT,且这两棵MBBT高度相差1
        • 则可以设子树中较矮的一棵为高度为h-2,另一颗较高的位h-1
        • $则n_h=n_{h-1}+1+n_{h-2}$
      • 左右子树可以调换,而不会影响$n_h$的取值
  • 根据公式:$n_h=n_{h-1}+1+n_{h-2}$,可以帮助我们轻松的计算数列{$n_h$}前n个元素
    • 这个数列的递推公式和Fibonacci数列很像
    • 通过构造法,可以取出$n_h$数列的通项公式的
      • math_数学表达式&等式方程的变形&组合/构造操作

性能

• $平衡树的平均查找长度为O({\log }_{2}n)$