PT@概率论基本概念

文章目录

• • abstract
  • 随机试验
  • • 例
    • 样本点
    • • 例
    • 样本空间$\Omega$
    • • 例
    • 随机事件
    • • 例
    • 事件分类👺
    • • 基本事件
      • 非基本事件
    • 随机事件和基本事件的关系
    • 事件的出现/发生
    • 必然事件$\Omega$
    • 不可能事件
  • 事件之间的基本关系
  • • 事件的包含
    • 事件相等
  • 事件的基本运算
  • • 交事件/积事件
    • 并事件(和事件)
    • 事件的差运算👺
    • • 不满足消去律👺
  • 事件间的导出关系
  • • 互斥事件(互斥不相容)
    • 对立事件(互逆事件)
    • • 对立事件之间的基本规律
    • 事件的对立运算(取逆运算)
  • 随机事件的形式化
  • • 多步骤随机试验任务
    • 步骤形式化
    • 小结

abstract

• 概率论（英语：Probability theory）是击中研究概率及随机现象的数学分支，是研究随机性或不确定性等现象的数学。
• 这里介绍最基本的一系列概念和运算，以及事件形式化

随机试验

• 随机试验Random experiment

• 对随机现象进行观察/试验,称为随机试验,简称试验,记为E

• 特点:

  1. 可重复性:在相同条件下可以重复进行
  2. 结果不唯一性:所有的可能结果不止一个(可以无穷多个)
  • 古典概型会对这一方面做限制
  3. 已知性:所有可能的结果(集合)都能够事先知道
  4. 无法预知性:虽然试验的结果的所有可能结果已知,但是每次具体的试验之前都无法预知会出现结果集合中的那一种发生

• 试验的具体意义可以在遵循上述几条要求的情况下自行指定

  • 试验完整性
    • 试验可能需要多个操作步骤
    • 只有完成试验任务的操作序列才能算完整的一次试验,对应的完整结果才能够算入/属于$\Omega$(对应样本空间中的一个元素)
  • 各次试验的同类型操作步骤数不一定相同:
    • 第$i$次试验和第$j$次试验需要的操作次数不一定相同
    • 例如涉及运动中,选手(通过$n$次射击后)射中靶心规定为一次试验;那么第一次射中用了$n_1$次,第2次射击用了$n_2$次,$n_1=n_2$不一定成立

例

• 抛硬币
  • 规定一次完整的试验流程为:一枚硬币抛两次
    • 在这种规定下,如果只抛了一次硬币,不能够算作一次完整的试验,出现的阶段性结果,无法构对应试验成样本点
• 射击:
  • 规定试验要求:对一个目标不断射击,到击中为止,算作一次完整试验
  • 如果某次射击射了10次才集中目标,那么前9次都不能够算作完整的试验
• 产品(比如灯泡)使用寿命:
  • 规定一次完整的试验:当产品使用到无法正常在使用(或者说损坏)的时候,算作一次完整的试验
    • 如果每个灯泡只测试5秒钟,那么几乎没有意义(几乎所有的灯泡都有5秒钟)
    • 但是测试完整的使用寿命周期,则比较有意义
    • 那么灯泡的使用寿命t的样本空间可以表示为$\Omega =\{t\mid t>0\}$

样本点

• sample point 样本点:随机试验的每一种可能称为样本点,记为$\omega$

例

• 抛一次硬币,算作一次试验

• 对一个目标不断射击,到击中为止,算作一次试验

  • 注意,一次射击不一定完成一次试验

  • 只有击中目标后,才算该次试验做完

  • 试验的结果用射击的次数来描述,比如n次

样本空间$\Omega$

• 由随机试验的所有样本点组成的集合,记为$\Omega$

例

• 从上面的射击试验来看,样本空间可以表示为$\Omega =\{1,2,\cdots ,n\}$
  • 每个数字表示一个样本点(代表某次完整试验击中目标时耗费了的射击次数)
• 投硬币
  • 规定一枚硬币投2次(执行两次投掷操作),为才算一次完整的试验
  • 那么样本空间$\Omega =\{(正,反),(正,正),(反,反),反正\}$共有4中可能的结果(4个不同的样本点)

随机事件

• 随机事件(简称事件)是样本空间$\Omega$的子集

• 意味着,事件也是也是由样本构成的样本点集合

• 常用字母A,B,C表示事件

例

• 上面的灯泡寿命试验,界定事件A为灯泡的使用寿命小于1000小时,记为$A=\{t<1000\}$

事件分类👺

基本事件

• 仅由一个样本点构成的随机事件

非基本事件

• 由多个基本事件构成的随机事件
• 例如,从一批产品中抽出3个

随机事件和基本事件的关系

• 随机事件可以看出有基本事件组成

事件的出现/发生

• 根据随机试验的定义,如果某一次试验的结果为某一基本事件出现,这称该基本事件出现/发生
• 如果组成随机事件的基本事件发生,那么也认为该随机事件出现/发生

必然事件$\Omega$

• 如果将$\Omega$看做一个特殊事件,那么每一次试验,$\Omega$必然发生
• 称$\Omega$必然事件

不可能事件

• 入过将不包含任何SP的空集$\varnothing$看出一个事件,
• 那么每次试验E都不会发生$\varnothing$
• 称$\varnothing$为不可能事件

事件之间的基本关系

事件的包含

• 如果被包含的事件B发生,必然导致A发生,那么称A包含B
  • A的范围更加宽泛
  • 记为$B\subset A$
  • 或者$A\supset B$

事件相等

• $A\subset B$和$B\supset A$同时成立,则称事件$A=B$

事件的基本运算

交事件/积事件

• 如果事件$C$的发生使得$A,B$同时发生,事件$C$称为$A,B$的交事件或者积事件,记作$A\cap B$,或简记为$AB$

  • 集合角度:C的样本点同时也是A和B的样本点,集合$A\cap B$是所有同时属于$A,B$事件集合的公共样本点(公共指定是A,B所共有的)

• 可以推广到更多事件相交,$n$个事件的积事件记为 :${\bigcap }_{i=1}^n{A}_i$,无穷多个事件相交:${\bigcap }_{i=1}^{+\infty }{A}_i$

并事件(和事件)

• 如果某事件C的发生定义为$A,B$中至少有一个事件发生,那么称事件C是A,B的和事件或并事件,被记为$C=A\cap B$
  • 集合角度:C是所有属于A,B的样本点${\omega }_i$构成的集合,任何$A,B$的样本点也都是$C$的样本点
• 可以推广到更多事件相交,$n$个事件的并事件记为 :${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i$,无穷多个事件相交:${\bigcup }_{i=1}^{+\infty }{A}_i$

事件的差运算👺

• 对于事件A发生而B不发生的事件,称为A和B的差事件,记为$A-B$
  • $A-B$也就是A相对于B的独占事件
• 从定义上看如果,任意两个事件可以作差运算,
• 若$A\subset B$,则$A-B=\varnothing$

不满足消去律👺

• $C-A=C-B\nRightarrow A=B$
  • 例如:A={1};B={1,2},C={1,3,5}
  • C-A=C-B={3,5}
  • 但是显然本例中$A\ne B$

事件间的导出关系

互斥事件(互斥不相容)

• 若$A,B$不可能同时发生则称$A,B$互斥(不相容):$A\cap B=\varnothing$
• 若$A_i\cap A_j=\varnothing (i\ne j),i,j=1,2,\cdots n$,那么这个**n个事件是两两互斥的**

对立事件(互逆事件)

• 从英文直译上,可以理解为互补事件(相对于样本空间$\Omega$)

• 如果A,B同时满足:

  1. $A\cap B=\varnothing$
  2. $A\cup B=\Omega$

• 则称$A,B$相互对立(即对立互斥,属于互斥的特殊情况)

• $A,B$对立也称为称$A,B$为互逆事件,记为$B=\overline{A}$,或$A=\overline{B}$

• 若$A,B$对立,则$\overline{A},\overline{B}$也相互对立

  • 由A,B对立,$A\cap B=\varnothing$,$A\cup B=\Omega$

  • $\overline{A}\cap \overline{B}$=$\overline{A\cup B}$=$\varnothing$

  • $\overline{A}\cup \overline{B}$=$\overline{A\cap B}$=$\Omega$

  • 所以$\overline{A},\overline{B}$也相互对立

对立事件之间的基本规律

• $A\cup \overline{A}=\Omega$

• $A\cap \overline{A}=\varnothing$

• $A-\overline{A}=AA=A$

事件的对立运算(取逆运算)

• 事件$A$的对立事件记为$\overline{A}$,用事件差运算可表示为:$\overline{A}=\Omega -A$,其中$\Omega$是样本空间

随机事件的形式化

多步骤随机试验任务

• 从一批产品中作不放回抽样,抽$n$次,的随机试验任务入手讨论
• 为简单起见,取$n=3$
  • 这个随机试验包含3次抽取动作,也就说,这是个多步骤试验
  • 三次抽取才算完成一次试验任务,单次抽取不能够作为一次完整的随机试验

步骤形式化

• 可以用$A_i$来表示事件:“第$i$次抽样抽到的产品是正品”;

• 则$\overline{A_i}$就对应于事件:“第$i$次抽出的产品是次品”

• 显然$A_i$是基本事件,可以作为事件的某个步骤,例如三次抽取产品都是正品,表示为$A_1{A}_2{A}_3$,分别对应三个步骤

• 而事件$S_0=A_1{A}_2$是非基本事件,仅强强调了前两件样品都是正品,第三件无论是正品还是次品,都是属于$S_0$任务

  • $S_0$不是一次完整的试验,若仅知道$S_0$发生,是无法确定第3个产品是否为正品,
  • 这个事件不是很直观,如果我们将其规范化(或者说标准化,则会清晰的多)
  • 事实上$S_0$=$A_1{A}_2(A_3\cup \overline{A_3})$=$A_1{A}_2{A}_3\cup A_1{A}_2\overline{A_3}$,也就是说,事件$S_0$包含了两个不同但是相关的基本事件
  • 我们称上述展开形式为非基本事件$S_0$的标准形式,其能够直观体现事件包含的所有基本事件(步骤序列)

• 试用文字描述下列事件

  • $S_1$=$A_1{A}_2\cup A_1{A}_3\cup A_2{A}_3$
    • $S_1$是由非3个非基本事件,描述了所有至少取出2件正品的基本事件集合
      • 而至少抽出2个正品的事件包括恰好2件正品和3件全是正品
      • 或者说,抽出的三件产品最多包含一件次品
  • $S_2=\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}$
    • 这是基本事件,表示抽出的3个产品都是次品
  • $S_3=A_1\cup A_2\cup A_3$
    • 这是基本事件,表示抽出的产品至少有一个正品
  • $S_4$=$\overline{A_1}\overline{A_2}{A}_3\cup A_1\overline{A_2}\overline{A_3}\cup \overline{A_1}{A}_2\overline{A_3}$
    • 非基本事件,由3个基本事件合并而成,表示抽出的产品恰好有1个正品

• 根据文字表示写出形式化(符号化)事件

  • 3次都取到正品(没有次品)
    • $S_5$=$A_1{A}_2{A}_3$
  • 至少有一件次品
    • $S_6=\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup \overline{A_3}$(1)或者$S_6=\overline{A_1{A}_2{A}_3}$(2)
    • 第二种方法利用对立事件关系:至少有一件次品的对立事件示没有次品,即都是正品
    • (1,2)之间也可以由德摩根律进行转换
  • 恰好一件次品
    • $S_7$=$\overline{A_1}{A}_2{A}_3\cup A_1\overline{A_2}{A}_3\cup A_1{A}_2\overline{A_3}$
  • 取到的次品不超过1件
    • 包含"恰好1件"和"0件"次品两种事件
      • $S_8$=$S_5\cup S_7$=$\overline{A_1}{A}_2{A}_3\cup A_1\overline{A_2}{A}_3\cup A_1{A}_2\overline{A_3}\cup A_1{A}_2{A}_3$
    • 取到的正品为2件或3件
      • $S_8$=$S_1$=$A_1{A}_2\cup A_1{A}_3\cup A_2{A}_3$

小结

• 对于非标准型事件表达式,通常可以归纳为至多,至少等事件语句
• 反之亦然,包含"至多","至少"的事件通常可以形式为非标准表达式