math_经典类型求极限:7种未定式

文章目录

• 七种未定型
• • 无穷大和无穷小之间的转换关系
  • • 有界和无穷小/无穷大的乘积
    • 幂指函数处理手法
  • $乘除型$
  • • $\frac{0}{0}$
    • • 泰勒展开求解
    • $\frac{\infty }{\infty }$
    • $0\cdot \infty$
  • 加减型
  • • $\infty -\infty$
  • 指数型
  • • $1^{\infty }$
    • ${\infty }^0$
    • $0^0$
  • 变限积分的极限与洛必达法则
  • • 经典实例
    • 综合例
• 🎈小结
• • 😀警惕
  • 类型判断
  • 手法总结

七种未定型

无穷大和无穷小之间的转换关系

• $无穷大:\infty$
• $无穷小:0$
• $0=\frac{1}{\infty }$
• $\infty =\frac{1}{0}$
• 那么
  • $\frac{\infty }{\infty }=0\cdot \infty$

有界和无穷小/无穷大的乘积

• $设L(x)是一个有界函数$

  • $比如,可以是一个常数c,或者三角函数(sinx,cosx,..)$

• $\frac{L}{\infty }=L\cdot \frac{1}{\infty }=L\cdot 0=0$

  • 有界函数比去无穷大,等价于有界函数乘以无穷小,🎈结果为无穷小!

幂指函数处理手法

• $e^{\ln f(x)}=f(x)$

  • $如果h=f^g;e^{\ln h}=h$

  • $e^{\ln f^g}=f^g$

  • $e^{g(x)\ln f(x)}=f(x{)}^{g(x)}$

  • 例如:

    • $$(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e^{\ln (1+x{)}^{\frac{1}{x}}}=e^{\frac{1}{x}\ln (1+x)}$$

    • 完成这一步转换,是为了更加方便利用等价无穷小中的

      • ($e^{u(x)}-1)\sim u(x)$

$乘除型$

• 对于表达式比较简单的,主要是应用洛必达法则
  • 通常可以用泰勒展开来代替之
  • 🎈但是有一类问题,的极限通常是有洛必达法则来求解,就是被求极限中含有变限积分的时候
• 但是对于很复杂的表示式,需要其他手段
  • 考虑等价无穷小
    • 这要求极限的逼近过程得到的是一个无穷小(而不是无穷大)
    • $例如\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$
      • 而$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
      • 第一式子是有界函数比去无穷大的类型,得到的是一个无穷小
  • 比如提取合适的因子(同时对分子分母操作),将这个因子约分
  • 特别是对于$\frac{\infty }{\infty }$类型的

$\frac{0}{0}$

• $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}-2}{x^2}$$

  • 方法1:洛必达求导处理

    • $$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+2x}}\cdot 2+\frac{1}{2\sqrt{1-2x}}\cdot (-2)}{2x} \\ \stackrel{上下同乘以\sqrt{1+2x}\sqrt{1-2x}}{=} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}}{2x\sqrt{1+2x}\sqrt{1-2x}} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}}{2x\sqrt{1-4x^2}} \\ \stackrel{根据极限运算法则:提取极限为非0的常数的因子(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2}=\frac{1}{2})}{=} \\ =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}}{x} \\ \stackrel{分子有理化,得到关于x的项,以便约去分子分母无穷小因子x}{=} \\ \frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-2x)-(1+2x)}{x(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})} \\ =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-4x}{x(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})} \\ =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-4}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}} \\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{-4}{2}=-1 \end{gathered}$$

泰勒展开求解

• $y=\sqrt{(1+2x)}=(1+2x{)}^{\frac{1}{2}};$
  • $\alpha =\frac{1}{2}$
  • $u=2x$
• $y=1+\alpha u+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{u}^2+o(u^2)$
  • $\sqrt{1+2x}=1+\frac{1}{2}(2x)+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(2x{)}^2+o((2x{)}^2)=1+x-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)$
  • $\sqrt{1-2x}=1+\frac{1}{2}(-2x)+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(-2x{)}^2+o((2x{)}^2)=1-x-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)$
• $\underset{x\to 0}{\lim }y=\frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}-2}{x^2}=\frac{-x^2+o(x^2)}{x^2}=-1$

$\frac{\infty }{\infty }$

• 例

  • $$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{x^2-\sin x+1}+\sqrt{x^2+\sin x+1}} \\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x(1+\frac{1}{x})}{\sqrt{x^2(1-\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x^2}})+\sqrt{x^2(1+\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x^2}})} \\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x(1+\frac{1}{x})}{|x|\sqrt{(1-\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x^2}})+|x|\sqrt{(1+\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x^2}})} \\ 此处需要小心从根号中提取出的x带上绝对值号 \\ 根据x的取值\to -\infty \\ 为负值,所以去掉绝对值后为,为-x \\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x(1+\frac{1}{x})}{-x\sqrt{(1-\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x^2}})-x\sqrt{(1+\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x^2}})} \\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{(1+\frac{1}{x})}{-\sqrt{(1-\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x^2}})-\sqrt{(1+\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x^2}})} \\ =\frac{1}{-1-1} \\ =-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$0\cdot \infty$

• $0\cdot \infty$可以转换为

  • $\frac{0}{0}$
    • $0\cdot \frac{1}{0}=\frac{0}{0}$
    • $一般倾向转换为这种类型(\frac{0}{0})和等价无穷小直接挂钩,容易求解$
  • $\frac{\infty }{\infty }$

• 例如:

  • $$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}\ln (x+1))=\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\ln (x+1)}{x})=1$$

加减型

$\infty -\infty$

• 转换为$\frac{0}{0}$型
  • 通分法
  • 倍乘分子分母法
    • 比如有理化

指数型

• 这类型未定型一般都可以用前面提到的幂指函数处理,处理成以e为底的复合函数
  • 再利用复合函数极限法则和等价无穷小(去掉底e)等方法联合处理

$1^{\infty }$

• 回顾:指数对数处理

  • $e^{\ln f(x)}=f(x)$
    • $如果h=f^g;e^{\ln h}=h$
    • $e^{\ln f^g}=f^g$
    • $e^{g(x)\ln f(x)}=f(x{)}^{g(x)}$

• 重要极限(欧拉)

  • $$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}\ln (1+x)} \\ 指数是一个\frac{0}{0},可以用HLopital \\ 也可使用等价无穷小:\ln x+1\sim x \\ 所以\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}\ln (1+x)}=e^1 \end{gathered}$$

${\infty }^0$

• $$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{1}{x}\ln x} \\ 令t=\frac{1}{x}\ln x,这是一个\frac{\infty }{\infty } \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\stackrel{LHoptial}{=}=\frac{(\frac{1}{x})}{1}=\frac{1}{x}=0 \\ \underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{1}{x}\ln x}=e^0=1 \end{gathered}$$

$0^0$

• $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{x\ln x}=e^0=1$$

变限积分的极限与洛必达法则

• 有时候被求极限中含有积分表达式,经常是变上限积分等形式

经典实例

• $$\begin{gathered} y=\underset{x\to 0}{\lim }{\int }_0^{u(x)}f(x)\mathrm{d}x \\ 如果\underset{x\to 0}{\lim }u(x)=0,那么y={\int }_0^{0}f(x)\mathrm{d}x=F(x){|}_0^0=0 \end{gathered}$$

  • 然而故事还没有结束

综合例

• $$y=\left({\left({\int }_0^{\sqrt[3]{x^2}}{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}\mathrm{d}x-x^{\frac{2}{3}}+1\right)}^{\frac{1}{x^2}}\right)$$

  $$\begin{gathered} 为了书写和显示方便,将复杂表达式拆分称几部分: \\ \{\begin{array}{llc}u& =& \frac{1}{x^2}\\ t& =& {\int }_0^{\sqrt[3]{x^2}}{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}\mathrm{d}x-x^{\frac{2}{3}}+1\end{array} \\ y=t^u \end{gathered}$$

  • 🎈从这个角度来看,不容易判断是谁复合了谁

  $$\begin{gathered} y=e^{\ln y}=e^{\ln t^u}=e^{u\ln t} \\ 现在容易由e^{\ln t^u}看出,复合关系(三重复合) \\ \underset{x\to 0}{\lim }y=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{u\ln t} \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 🎈首先判断\underset{x\to 0}{\lim }t=\underset{x\to 0}{\lim }({\int }_0^{\sqrt[3]{x^2}}{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}\mathrm{d}x-x^{\frac{2}{3}}+1) \\ =({\int }_0^0{e}^0\mathrm{d}x)-0+1=1 \\ 则\underset{x\to 0}{\lim }\ln t=\underset{t\to 1}{\lim }\ln t=0 \end{gathered}$$

  $$再考察\underset{x\to 0}{\lim }u=\frac{1}{x^2}=\infty$$

  $$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }u\ln t是一个0\cdot \infty \\ 我们尝试将其转换为\frac{0}{0} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln t}{(\frac{1}{u})}\stackrel{LHopital求导?}{=} \\ 在洛必达求导前,先看能不能用等价无穷下给它简化一下! \\ \ln (x+1)\sim x由t的表达式({\int }_0^{\sqrt[3]{x^2}}{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}\mathrm{d}x-x^{\frac{2}{3}})+1看出,恰好可以 \\ 记v={\int }_0^{\sqrt[3]{x^2}}{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}\mathrm{d}x-x^{\frac{2}{3}} \\ 得到:\ln t=\ln (v+1)\sim v \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln t}{(\frac{1}{u})}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{v}{(\frac{1}{u})}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{v^{\prime }}{2x} \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 记z={\int }_0^{\sqrt[3]{x^2}}{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}\mathrm{d}x \\ v=z+x^{\frac{2}{3}} \\ {z}^{\prime }=\frac{d}{dx}F(x){|}_0^{x^{\frac{2}{3}}}=\frac{d}{dx}(F(x^{\frac{2}{3}})-F(0))=\frac{d}{dx}F(x^{\frac{2}{3}}) \\ =f(x^{\frac{2}{3}})\cdot (\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}})=e^{\frac{1}{2}{x}^{\frac{4}{3}}}\cdot (\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}) \\ {v}^{\prime }=z^{\prime }+\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{2}{x}^{\frac{4}{3}}}\cdot (\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}})+\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}(e^{\frac{1}{2}{x}^{\frac{4}{3}}}-1) \end{gathered}$$

  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}(e^{\frac{1}{2}{x}^{\frac{4}{3}}}-1)}{2x}\stackrel{等价无穷小e^u-1\sim u}{=}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{3}{x}^{\frac{-4}{3}}\frac{1}{2}{x}^{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6}$$

🎈小结

😀警惕

• 类型$\frac{0}{0}与0\cdot \infty$是类似地需要注意
  • 设$f(x)=u(x)v(x)$
    • $\underset{x\to \ast }{\lim }u(x)=0$
    • 不可以直接断言:$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$
    • 因为可能存在$\underset{x\to 0}{\lim }v(x)=\infty$
    • 因此稳妥的办法是将每个因子表达式都判断各自的极限

类型判断

• 判断出待求极限是属于哪一种类型的是基本步骤

  • 最重要的一点是用:
    • $有界函数乘以无穷小\Rightarrow 无穷小$

• $\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$是最基础的类型梯队

  • 其他类型都网它们中的一种靠近

• 指数类型的手法大多是幂指处理

手法总结

• 提取非0因子

  • 可以是分母中的因子

• 等价无穷小替换

  • 小心不要替换无穷大!

• 泰勒展开

  • 注意精度

• 洛必达法则求导

  • 适用范围窄,只有$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$这两类中的部分问题
    • 一般仅在分子分母表达式比较简单的情况下

• 🎈综合法

  • 对于比较复杂的极限,适用上述4中方法的综合考虑,联合使用,而不是始终使用同一种方法
  • 其中前两种是优先考虑
    • 特别是使用洛必达求导前,先试试能不能用等价无穷小给化简
      • 比如e指数和自然对数化为幂多项式整式