MA@Taylor_常见幂级数展开@泰勒级数

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AM@常见函数的幂级数(series)展开@泰勒级数TaylorSeries

AM@常见函数的幂级数(series)展开@泰勒级数TaylorSeries

泰勒级数是一种用无限项连加式来表示一个函数的方法，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数可以用多项式来近似函数，使得多项式的表达比函数的形式更加友好

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几何级数🎈

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1$

二项式级数🎈

$(1+x)^{\alpha } =\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n} =1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots$
- $\forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C}$
- 二项式系数 ${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$

指数函数和自然对数🎈

以 $e$ 为底数的指数函数的麦克劳林序列是
$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \quad \forall x$ （对所有X都成立）
$\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}-\cdots \quad \forall x\in [-1,1)$
- 对于在区间[-1,1)内所有的X都成立
$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]$
- 对于在区间(-1,1]内所有的X都成立

三角函数🎈

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列：
${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt] \cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt] \tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt] \sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt] \arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt] \arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\ &={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt] \arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&\forall x:|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}$
在 $\tan(x)$ 展开式中的 $B_k$ 是伯努利数。
在 $\sec(x)$ 展开式中的 $E_k$ 是欧拉数。

常用三角

$\sin{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\sum\limits_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^t}{t} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}\cdots \\ \\ t=1,3,5,7,9\cdots$
$\cos{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n} =\sum\limits_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^t}{t} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}\cdots \\ \\ t=0,2,4,6,8\cdots$

双曲函数🎈

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x$
$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x$
$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1$
$\tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1$
$\tanh(x)$ 展开式中的 $B_k$ 是伯努利数。

朗伯W函数🎈

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {1}{e}}$

多元函数的展开🎈

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数：
- $\displaystyle\Large\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}$

幂级数小结

常见函数的幂级数展开🎈运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

$\forall x\in {\mathbb {C}},\,e^{x}=\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}{{\frac {x^{n}}{n!}}}.$
$\forall x\in {\mathbb {R}},\,\cos x=\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}(-1)^{n}\,{{\frac {x^{{2\,n}}}{(2\,n)!}}}.$
$\forall x\in {\mathbb {R}},\,\sin x=\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}(-1)^{n}\,{{\frac {x^{{2\,n+1}}}{(2\,n+1)!}}}.$
$\forall x\in {\mathbb {R}},\,\operatorname {ch}\,x=\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}{{\frac {x^{{2\,n}}}{(2\,n)!}}}.$
$\forall x\in {\mathbb {R}},\,\operatorname {sh}\,x=\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}{{\frac {x^{{2\,n+1}}}{(2\,n+1)!}}}.$
$\forall x\in D(0,1),\,{1 \over {1-x}}=\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}{x^{n}}.$
$\forall x\in (-1,1],\,\ln(1+x)=\sum _{{n=1}}^{{+{\infty }}}(-1)^{{n+1}}{x^{{n}} \over {n}}.)$
$\forall x\in [-1,1],\,\arctan \,x=\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}(-1)^{n}\,{{\frac {x^{{2\,n+1}}}{2\,n+1}}}\;$ ，特别地， $\pi =4\,\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}{{\frac {(-1)^{{n}}}{2\,n+1}}}$ 。
$\forall x\in \,(-1,1),\ \forall \alpha \,\not \in \,{\mathbb {N}},\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{{n=1}}^{{+{\infty }}}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}.$
$\forall x\in {\mathbb {R}},\,\forall \alpha \,\in \,{\mathbb {N}},\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{{n=1}}^{{+{\infty }}}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}=\sum _{{n=0}}^{{\alpha }}{{\alpha \choose n}\,x^{n}}.$
$\forall x\in (-1,1),\,\operatorname {artanh}\,x=\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}\,{{\frac {x^{{2\,n+1}}}{2\,n+1}}}.$
$\forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum _{{n=1}}^{{+{\infty }}}\,\left({{\frac {\prod _{{k=1}}^{{n}}\,(2\,k-1)}{\prod _{{k=1}}^{{n}}\,2\,k}}}\right){{\frac {x^{{2\,n+1}}}{2\,n+1}}}$
$\forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh}\,x=x+\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}\,(-1)^{n}\,\left({{\frac {\prod _{{k=1}}^{{n}}\,(2\,k-1)}{\prod _{{k=1}}^{{n}}\,2\,k}}}\right){{\frac {x^{{2\,n+1}}}{2\,n+1}}}$
$\forall x\in \,\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right),\ \tan x={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{{n=0}}^{{+{\infty }}}\,{\left({{\frac {x}{\pi }}}\right)}^{{2\,n+1}}(2^{{2\,n+2}}-1)\;\zeta (2\,n+2)$ ，其中 $\forall p>1,\,\zeta (p)=\sum _{{n=1}}^{{+{\infty }}}\,{\frac {1}{n^{p}}}$

特点

三角函数的幂级数展开公式的累加下限大多从 $n = 0$ 开始计算
- 注意到两个公差 $d = 2$ 的数列:( $n = 0, 1, 2, ...$ )
- 借助这几个序列,我们可以快速地准确地流水地写出幂级数展开式😁😎☆*: .｡. o(≧▽≦)o .｡.:*☆
$\begin{cases} {p=2n}=0,2,4,6,... \\ {q=2n+1}=1,3,5,7,... \end{cases}$

交错符号sg(n);
$sg=(-1)^n=1,-1,1,-1,...$
两个交错级数可以写成
$cosx=\sum\limits_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^{n}}{p!}\cdot x^{p}$
$sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^{n}}{q!}\cdot x^{q}$
$进一步,可以抽象出T(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^{n}}{t!}\cdot x^{t} ,cosx=T(p)=T(2n),sinx=T(q)=T(2n+1)$
$最后, 流水的写出展开式的各项的因子 :$
- $符号sg,系数绝对值\frac{1}{t!},x的幂x^t;$