AM@极限运算法则@无穷小运算@复合函数极限求解定理

文章目录

• • abstract
  • 本文符号说明
  • 无穷小运算
  • • 两个无穷小之和仍是无穷小
    • • 推广
    • 有界函数和无穷小的乘积是无穷小
    • • 推论
  • 一般极限四则运算法则
  • • 证明
    • 极限比大小定理
  • 直接代入法求函数极限
  • 分式函数求极限
  • • 倒数转换法
    • 无穷小分解法
    • 因式分解约分法
    • 其他方法
  • 复合函数的极限运算法则
  • • 证明
    • 小结

abstract

• 极限的运算法则
  • 无穷小运算
  • 四则运算法则
  • 复合函数的极限运算法则

本文符号说明

• $\lim f(x)$这类lim下面没有标明自变量的变化过程的命题,对于$x\to x_0$和$x\to \infty$都是成立的
• 论证时仅证明$x\to x_0$,$x\to \infty$只需要把$\delta$改为$X$,把$0<|x-x_0|<\delta$改为$|x|>X$,即得$x\to \infty$情形得证明

无穷小运算

两个无穷小之和仍是无穷小

• 设$\alpha ,\beta$时$x\to x_0$时得无穷小,则$\gamma =\alpha +\beta$也是无穷小
• 证明:$\forall ϵ>0$
  • 因为$\alpha$是当$x\to x_0$时的无穷小,对于${ϵ}_1=\frac{ϵ}{2}>0$,$\exists {\delta }_1>0$,当$0<|x-x_0|<{\delta }_1$时,$|\alpha |<{ϵ}_1=\frac{ϵ}{2}$
  • 类似的,因为$\beta$是当$x\to x_0$时的无穷小,对于${ϵ}_2=\frac{ϵ}{2}>0$,$\exists {\delta }_2>0$,当$0<|x-x_0|<{\delta }_2$时,$|\beta |<{ϵ}_2=\frac{ϵ}{2}$
  • 取$\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$,则当$0<|x-x_0|<\delta$时,$|\alpha |<\frac{ϵ}{2}$,且$|\beta |<\frac{ϵ}{2}$
  • 从而$|\gamma |=|\alpha +\beta |⩽|\alpha |+|\beta |$<$\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$
  • 即$\gamma$也是$x\to x_0$时的无穷小

推广

• 有限个无穷小之和也是无穷小

有界函数和无穷小的乘积是无穷小

• 证:设函数$u$在$\mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$内有界,即$\exists M>0$使得$\forall x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$,成立$|u|⩽M$
  • 又设$\alpha \to 0(x\to x_0)$,即$\forall ϵ>0$,$\exists {\delta }_2>0$,当$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_2)$时,有$|\alpha |<\frac{ϵ}{M}$
  • 取$\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$,则当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时,有$|u|⩽M$,$|\alpha |<\frac{ϵ}{M}$同时成立
  • 从而$|u\alpha |=|u|\cdot |\alpha |$<$M\cdot \frac{ϵ}{M}=ϵ$
  • 即$u\alpha \to 0(x\to x_0)$

推论

• 常数与无穷小的乘积是无穷小
  • 常数也是有界函数,由本节定理可知结论成立
• 有限个无穷小的乘积是无穷小
  • 设无穷小$\alpha$在自变量变化过程$x\to x_0$内极限为0,则无穷小在$x\to x_0$内有界,由本节定理可知结论成立

一般极限四则运算法则

• $\lim u(x)=A,\lim v(x)=B$,$(A,B\ne \infty )$;

  1. $\lim (u(x)\pm v(x))$=$\lim u(x)\pm \lim v(x)$=$A\pm B$

  2. $\lim (u(x)v(x))$=$\lim u(x)\cdot \lim v(x)$=$AB$

     • 推论:
       • 若$u(x)=c$,$c$为常数,$\lim (c\cdot u(x))$=$c\cdot \lim u(x)$
       • $\lim [f(x){]}^n$=$[\lim f(x){]}^n$
       • 如果$u(x)\to A\ne 0$,$v(x)\to \infty$,则$\lim u(x)v(x)$=$A\lim v(x)$; TODO

  3. $\lim (\frac{u(x)}{v(x)})$$\frac{\lim u(x)}{\lim v(x)}$=$\frac{A}{B}$,$(B\ne 0)$;

• Note:参与运算的两个极限要同时存在,如果不满足(例如有一个是无穷大)则不能直接用如下运算法则

• 数列极限有相仿的四则运算法则

证明

• 极限四则运算的证明可以借助极限和无穷小的关系以及无穷小的性质进行证明

• 设$\lim f(x)=A$,$\lim g(x)=B$,则$f(x)=A+\alpha$,$g(x)=B+\beta$,$(\alpha ,\beta )$都是无穷小

• 加法法则:

  • $f(x)\pm g(x)$=$(A+\alpha )\pm (B+\beta )$=$(A\pm B)+(\alpha \pm \beta )$,$\alpha \pm \beta$也是无穷小
  • 从而$\lim [f(x)\pm g(x)]$=$A\pm B$,即$\lim [f(x)\pm g(x)]$=$\lim f(x)\pm \lim g(x)$

• 乘法法则:

  • $f(x)g(x)$=$(A+\alpha )(B+\beta )$=$AB+(A\beta +\alpha B+\alpha \beta )$,其中$A\beta +\alpha B+\alpha \beta$是无穷小
  • 从而$\lim [f(x)g(x)]$=$AB$,即$\lim [f(x)g(x)]$=$\lim f(x)\lim g(x)$

• 除法法则:

  • 设$\gamma =\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{A}{B}$,则$\gamma$=$\frac{A+\alpha }{B+\beta }-\frac{A}{B}$=$\frac{1}{B(B+\beta )}(B\alpha -A\beta )$
  • 令$t(x)=\frac{1}{B(B+\beta )}$=$\frac{1}{Bg(x)}$,则在$t(x)$在$\mathring{U}(x_0)$内有界
    • 因为$\lim g(x)=B\ne 0$,$\exists \mathring{U}(x_0)$,当$x\in \mathring{U}(x_0)$时,由函数的极限性质有$|g(x)|>\frac{|B|}{2}$,即$|\frac{1}{g(x)}|<\frac{2}{|B|}$,从而$|\frac{1}{Bg(x)}|<\frac{2}{|B^2|}$
    • 因此$t(x)=\frac{1}{Bg(x)}$有界
  • $u=B\alpha -A\beta$是无穷小
  • 所以$\gamma =t(x)u$是无穷小
  • $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}+\gamma$,所以$\lim \frac{f(x)}{g(x)}$=$\frac{A}{B}$=$\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$

极限比大小定理

• 若$f(x)⩾g(x)$,$\lim f(x)=A$,$\lim g(x)=B$,则$A⩾B$
• 令$\varphi (x)$=$f(x)-g(x)$,则$\varphi (x)⩾0$,$\lim \varphi (x)$=$\lim f(x)-\lim g(x)$=$A-B$
• 由函数极限的局部保号性的推论可知$\lim \varphi (x)⩾0$,即$A-B⩾0$,所以$A⩾B$

直接代入法求函数极限

• 这里讨论的是自变量趋于有限值$(x\to x_0)$时的函数极限

• 求有理整函数(多项式)或者有理分式函数的$x\to x_0$时的极限时,只需要把$x_0$代入到函数中的$x$即可

• 对于有理分式函数(设为$\frac{f(x)}{g(x)}$,需要$g(x_0)\ne 0$才可以这么做

分式函数求极限

• 分式函数运用商的极限运算法则时,考虑直接代入法
• 否则可考虑以下多种方法求极限

倒数转换法

• 若$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$,当$q(x_0)=0$且$p(x)\ne 0$,则可以考虑求$\frac{1}{f(x)}$的极限$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}$=$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{q(x)}{p(x)}$=$\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }q(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }p(x)}$=$\frac{q(x_0)}{p(x_0)}$=$0$
• 根据无穷大和无穷小的关系:$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$=$\infty$

无穷小分解法

• 将某些类型的分式函数转换分解表示为有界函数$M(x)$乘以无穷小$\alpha$,利用$M\alpha$仍然无穷小的性质得出极限为$0$
• 例如$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }\sin x\cdot \frac{1}{x}$其中$\sin x$有界,$\frac{1}{x}=0(x\to \infty )$无穷小,所以$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$

因式分解约分法

• 尝试将不可运用商式极限运算法则的分式通过约分消去极限为0的分母

• 设$\varphi (x)=x-3$,$\psi (x)=x^2-9$,令$f(x)=\frac{\varphi (x)}{\psi (x)}=\frac{x-3}{x^2-9}$,则$A=\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$,求$A$

• 因为$\psi (3)=0$,所以不能使用直接代入法计算$A$

• 对$f(x)$变形为$g(x)=f(x)=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}$=$\frac{1}{x+3}$,此时分母${\psi }_1(x)=x+3$满足$\psi (3)\ne 0$,所以$A=\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$=$\underset{x\to 3}{\lim }g(x)$=$g(3)=\frac{1}{6}$

其他方法

• 泰勒展开(最通用,但不一定最简单)
• 等价无穷小
• 洛必达法则

复合函数的极限运算法则

• 设复合函数$y=f(u),$其中,$u=g(x)$;$y=f\circ g$在点$x_0$处的某个去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内有定义:
  • 若$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0$;$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$;且$\exists {\delta }_0>0$,当 $x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$时,$g(x)\ne u_0$,
  • 则:$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))$=$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$

证明

• 令$u=g(x),$$y$是$f,g$的复合函数,则$y(x)=f(u)=f(g(x))$(0)

• 根据函数极限的定义,要证明$\underset{x\to x_0}{\lim }y(x)=A$,需要证明:

  • $\forall ϵ>0$,$\exists \delta >0$,使得$0<|x-x_0|<\delta$(1)时,$|y(x)-A|<ϵ$(2)

• 由于$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$,所以$\forall ϵ>0$,$\exists \eta >0$,当$0<|u-u_0|<\eta$时(1-1),$|f(u)-A|<ϵ$(2-1)成立

• 又由于$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0$,(对于上述确定的$\eta >0$),$\exists {\delta }_1>0$,当$0<|x-x_0|<{\delta }_1$(1-2)时,$|g(x)-u_0|<\eta$(2-2)成立

  • 又由假设,$\exists {\delta }_0>0$,当$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$时,$g(x)\ne u_0$,即$|g(x)-u_0|\ne 0$
  • 取$\delta =\min \{{\delta }_0,{\delta }_1\}$,则当$0<|x-x_0|<\delta$(1-3)时,$|g(x)-u_0|<\eta$,$|g(x)-u_0|\ne 0$同时成立,即$0<|g(x)-u_0|<\eta$(2-3)成立(即$g(x)\in \mathring{U}(u_0,\eta )$,这满足(1-1),也就有(2-1)成立,再结合(0),有(2)成立
  • 即$|y(x)-A|=|f(u)-A|<ϵ$;证毕

• Notes

  • "$\exists {\delta }_0>0$,当$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$时,$g(x)\ne u_0$,"保证了即使$f(u)$在$u=u_0$处没有定义,定理仍然成立($\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0$成立并不保证$g(x)$在$x=x_0$处有定义)

  • $g(x_0)$不一定有定义,所以记号用$u_0$来表示这个极限,而不是用$g(x_0)$表示

小结

• 若$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$则,$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))$=$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$

• 本定理表明,若$g(x),f(x)$满足定理的条件时,求复合函数$y=f(g(x))$在$x\to x_0$的极限,可以转换为求$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)$,其中$u_0=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$