math_求和号@累乘号的性质(变界)@求和恒等式

文章目录

• 求和号的性质$\sum$@累乘号$\prod$
• • 累加多项式乘法
  • 求和式包含的项数
  • 求和区间的等值变化🎈
  • 排列序列累积@二重循环
  • • • 范德蒙行列式的展开
    • 例:错位相减法
    • • 例:无穷级数
    • 例:possion分布的期望和均值的推导
    • 子序列记号法
  • 求和恒等式(小结)

求和号的性质$\sum$@累乘号$\prod$

累加多项式乘法

• 在程序设计中,相当于一个二重循环:
  $$(\sum _{i=1}^n{x}_i)(\sum _{i=j}^m{y}_j)=\sum _{i=1}^n(x_i\sum _{i=j}^m{y}_j)=\sum _{i=1}^n(\sum _{i=j}^m{x}_i{y}_j)$$

  • s=0
    int x[n],y[m];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1:j<=m;j++){
        	s+=(x[i]*y[j]);
        }
    }

求和式包含的项数

• 关于(连续逐项的)累加和累乘的总项数

  • $$\begin{gathered} \prod _{k=d}^{k=u}exp \\ \sum _{k=d}^{k=u}exp \\ 总项数为上界与下界之差+1,即: \\ items=d-u+1 \\ 某些情况下,我们首先知道的是items,以及d\&u中的一个,就可以利用上面等式进行计算 \\ 注意,无论表达式exp是怎样的,上述等式总是成立 \end{gathered}$$

求和区间的等值变化🎈

• 此处主要指求和区间的等值变化

• 联系求和式$\sum _{i=p}^n$以及它的展开$a_p+a_{p+1}+\cdots +a_n$是求和号的一些性质的源泉

• $$\begin{gathered} \sum _{i=p}^{n}f(i)=\sum _{i=n+q}^{n+q}f(i-q)=f(p)+f(p+1)+\cdots +f(n) \\ (或者:\sum _{i=p}^{n}f(i)=\sum _{i=p-q}^{n-q}f(i+q)) \end{gathered}$$

  • 上面的公式可以用来改造求和公式的形式,将一个连续的求和式分为若干个片段(通常是2个)
  • 例如:$下面的例子中f(j)=j\cdot 2^{j-1};那么f(j+1)=(j+1)\cdot 2^j$
    • 新的形式可能会更加有利于推进演算
    • 例:下面的推导以错位相减法的角度来计算出t的关于h的公式(消去求和号)

排列序列累积@二重循环

范德蒙行列式的展开

• $$|A_V|=\prod _{1⩽j<i⩽n}(x_i-x_j)=\prod _{i=2}(\prod _{j=1}(x_i-x_j))$$

例:错位相减法

• 等差乘以等比的数列求和可以利用求导法进行求解,但是这里暂不提及

  • 可以参考:math_等差数列/等比数列求和推导&等幂和差推导/两个n次方数之差与等价无穷小实例/求和符号的性质和应用_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客

• 下面的推导过程试图将求和式t的下界和2t的下界对齐

  • 为了统一为同一组下界和上界,可以将不齐(不一致)的上界中多出来的项从求和范围剥离出来,
    使得求和区间内的项数一致
  • 并且适当的利用上面介绍的公式,将求和区间长度一致但没有对齐的求和进行对齐得到各项齐次,求和号上下界一致的局面,方便求和式合并)

$$\begin{gathered} t=\sum _{j=1}^{h}j\cdot 2^{j-1}=\sum _{j=1-1=0}^{h-1}(j+1)\cdot 2^{j-1+1}=\sum _{j=0}^{h-1}(j+1)\cdot 2^j \\ =\sum _{j=0}^{h-1}j\cdot 2^j+\sum _{j=0}^{h-1}1\cdot 2^j \\ =0+\sum _{j=1}^{h-1}j\cdot 2^j+\frac{1(1-2^h)}{1-2} \\ =(\sum _{j=1}^{h-1}j\cdot 2^j)+(2^h-1) \\ 对a_1=0,前n项为q=2的等比数列求和 \\ 即有等式:t=\sum _{j=1}^{h}j\cdot 2^{j-1}=(\sum _{j=1}^{h-1}j\cdot 2^j)+(2^h-1) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2t=\sum _{j=1}^{h}j\times 2^j\stackrel{前(h-1)项之和+第h项}{=}=(\sum _{j=1}^{h-1}j\cdot 2^j)+h\cdot 2^h \\ 观察到t=2t-t=h\cdot 2^h-2^h+1=(h-1)2^h+1 \end{gathered}$$

例:无穷级数

• $$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}=e^{\lambda }$$

• $$\begin{gathered} S=\sum _{k=0}^{+\infty }k{q}^{k-1} \\ qS=\sum _{k=0}^{+\infty }k{q}^k \\ S=0+\sum _{k=1}^{+\infty }k{q}^{k-1} \\ 向qS累加通项看起,将q^{k-1}提高到q^k \\ 为了等值地做到这一点,需要同时变动累加求和号的上下限 \\ 此处上界恰是无穷大(+\infty )所以不用管(加上一个有穷数不改变无穷性) \\ 变动下界,累加通项变量k+1,那么界就起点/终点-1 \\ \sum _{k=1}^{+\infty }k{q}^{k-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }(k+1)q^{(k-1)+1}=\sum _{k=0}^{+\infty }(k+1)q^k \\ 从而:S=\sum _{k=0}^{+\infty }(k+1)q^k \\ 这与qS具有一致的累加下界和上界,并且第k项的次数是一致的 \\ S-qS=\sum _{k=0}^{+\infty }(k+1)q^k-\sum _{k=0}^{+\infty }k{q}^k=\sum _{k=0}^{+\infty }1\cdot q^k\stackrel{几何(等比)级数}{=}=\frac{1}{1-q} \\ (1-q)S=\frac{1}{1-q} \\ S=\frac{1}{(1-q{)}^2} \end{gathered}$$

例:possion分布的期望和均值的推导

• $E(X)\sim \lambda ;D(X)\sim \lambda$

  • 假设期望已知,推导方差

  • $$\begin{gathered} E(X^2)=\sum _{k=0}^{+\infty }{k}^2\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda } \\ =e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{+\infty }{k}^2\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!} \\ \sum _{k=0}^{+\infty }{k}^2\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}=0+\sum _{k=1}^{+\infty }{k}^2\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}\stackrel{k⩾1}{=}\sum _{k=0}^{+\infty }{k}^2\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!} \\ =\sum _{k=1}^{+\infty }{k}^1\cdot \frac{{\lambda }^k}{(k-1)!} \\ =\sum _{k=1}^{+\infty }((k-1)+1)\cdot \frac{{\lambda }^k}{(k-1)!} \\ =\sum _{k=1}^{+\infty }(k-1)\cdot \frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}+\sum _{k=1}^{+\infty }1\cdot \frac{{\lambda }^k}{(k-1)!} \\ =0+\sum _{k=2}^{+\infty }(k-1)\cdot \frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}+\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^{k+1}}{(k)!} \\ \stackrel{k-1⩾1}{=}\sum _{k=2}^{+\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k-2)!}+\lambda \sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k)!} \\ =\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^{k+2}}{(k)!}+\lambda e^{\lambda } \\ ={\lambda }^2\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k)!}+\lambda e^{\lambda } \\ ={\lambda }^2{e}^{\lambda }+\lambda e^{\lambda } \\ 所以E(X^2)=e^{-\lambda }({\lambda }^2{e}^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })={\lambda }^2+\lambda \end{gathered}$$

子序列记号法

• 主要包括几个方面:
  • 原序列的情况:长度
    • n个元素的序列长度设为n
  • 子序列的抽取方式
  • 满足限定条件的(取法互不相同的)子序列的个数
  • 🎢边界情况
    • 子序列长度为1
    • 子序列长度为n

$$\begin{gathered} 求和号下面的1⩽i_1<\cdots <i_k⩽n表示对序列\{1,\cdots ,n\}抽取出k个元素 \\ 构成长度为k的子序列 \\ 这些个元素的大小关系和区分正如式子:1⩽i_1<\cdots <i_k⩽n所表示的那样 \\ 抽取的这些序列在原序列中未必是相邻的 \\ 满足条件:1⩽i_1<\cdots <i_k⩽n的不同的序列有\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)个 \\ 拓展:如果取消掉大小关系的限制,要区分顺序,那么取法可达到排列数A_n^k中 \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x_i}=f_y^{\prime }(x_1,\cdots ,x_n),i\in \{1,2,\cdots ,n\} \\ \frac{{\partial }^{k}z}{H(\theta )}=f_{X(\theta )}^{(k)}(x_1,\cdots ,x_n),i\in \{1,2,\cdots ,n\} \\ \theta =i_1{i}_2\cdots i_n; \\ \theta 表示对序列的1,2,\cdots ,n选出至少一个元素进行任意重新排列 \\ 不同的\theta 有n^k种(注意,序列中的元素可以重复,所以可能的情况数是方幂级别) \\ 这个更行列式那里的定义有所不同 \\ H(\theta )=H\partial x(\theta )=\partial x_{i_1}\partial x_{i_2}\cdots \partial x_{i_k} \\ X(\theta )=x_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_k} \end{gathered}$$

求和恒等式(小结)

• Summation - Wikipedia

• $\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$🎈

  • (distributivity)

• $\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^t\left(f(n)\pm g(n)\right)$

  • (commutativity and associativity)[3]

• $\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)$🎈

  • (index shift)

• $\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),$

  • for a bijection σ from a finite set A onto a set B (index change); this generalizes the preceding formula.

• $\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)$

  • (splitting a sum, using associativity)

• $\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)$🎈

  • (a variant of the preceding formula)

• $\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(n+t)$🎈

  • (the sum from the first term up to the last is equal to the sum from the last down to the first)
  • $\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)$ (a particular case of the formula above)

• $\sum _{i=k_0}^{k_1}\sum _{j=l_0}^{l_1}{a}_{i,j}=\sum _{j=l_0}^{l_1}\sum _{i=k_0}^{k_1}{a}_{i,j}$ (commutativity and associativity, again)交换性🎈

  • 例如矩阵中的求和所有元素,逐行求和和逐列求和结果一样

• $\sum _{k\le j\le i\le n}{a}_{i,j}=\sum _{i=k}^n\sum _{j=k}^i{a}_{i,j}=\sum _{j=k}^n\sum _{i=j}^n{a}_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}{a}_{i+j,i}$ 🎈

  • (another application of commutativity and associativity)

• $\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)$ 🎈

  • (splitting a sum into its odd and even parts, for even indexes)

• $\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)$

  • (splitting a sum into its odd and even parts, for odd indexes)

• $\left(\sum _{i=0}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=0}^n{b}_j\right)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j=\sum _{i=0}^n\left(\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j\right)$ (distributivity)🎈

• $\sum _{i=s}^m\sum _{j=t}^n{a}_i{c}_j=\left(\sum _{i=s}^m{a}_i\right)\left(\sum _{j=t}^n{c}_j\right)$ (distributivity allows factorization)因式分解🎈

• $\sum _{n=s}^t{\log }_{b}f(n)={\log }_b\prod _{n=s}^{t}f(n)$

  • (the logarithm of a product is the sum of the logarithms of the factors)

• $C^{\sum _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^t{C}^{f(n)}$

  • (the exponential of a sum is the product of the exponential of the summands)