AM@二重积分@直角坐标系下的计算

文章目录

• • 直角坐标系下的二重积分
  • 双曲边梯形(区域类型)
  • • X型区域
    • Y型区域
    • 非$X$非$Y$区域(双非区域)
    • XY区域
    • 从几何角度讨论二重积分
    • • X型区域二次积分
      • Y型区域二次积分
  • 计算步骤
  • 小结
  • 例

直角坐标系下的二重积分

• $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

双曲边梯形(区域类型)

• 仿照曲边梯形的定义,如果某图形(区域)由四条曲线围成,并且至少两条是直边分布在一组对边上(不相邻)
• 在直角坐标系中,具体的可以细分两类型区域

X型区域

• 若区域D由两直线$x=a,x=b(a⩽b)$以及两连续曲线$y_1={\varphi }_1(x)$,$y_2={\varphi }_2(x)$ $({\varphi }_1(x)⩽{\varphi }_2(x))$围成,这种区域称为X型区域

• 特点是,穿过$D$内部且垂直于$x$轴的直线与区域$D$的边界相交不超过2点

  • 或者说,任何垂直于$x$轴的直线和区域$D$的边界相交不超过2点或者无数点(边界可能和该直线部分重合)

• 由于区域是点集,所以用集合的形式描述一般的$X$型区域为:

  • $$D=\{(x,y)\mid a⩽x⩽b,{\varphi }_1(x)⩽y⩽{\varphi }_2(x)\}$$

Y型区域

• 若区域D由两直线$y=c,y=d(c⩽d)$以及两连续曲线$x_1={\psi }_1(y)$,$x_2={\psi }_2(y)$ $({\varphi }_1(y)⩽{\varphi }_2(y))$围成,这种区域称为y型区域

• 其特点是,穿过$D$内部且垂直于$y$轴的直线和区域$D$的边界相交不超过2点

• 由于区域是点集,所以用集合的形式描述一般的$Y$型区域为:

  • $$D=\{(x,y)\mid c⩽y⩽d,{\psi }_1(y)⩽x⩽{\psi }_2(y)\}$$

非$X$非$Y$区域(双非区域)

• 如果积分区域$D$既有一部分穿过$D$内部且平行于$y$轴的直线与$D$的边界相交多于2点,又有一部分穿过$D$内部且平行于$x$轴的直线于$D$的边界相交多多于2点,那么$D$既不是$X$区域也不是$Y$型区域
• 此时应该把$D$分为几个部分,使得每个部分都是$X$型区域,或者$Y$型区域

XY区域

• 特别的,某些积分区域同时满足$X$型区域和$Y$型区域

从几何角度讨论二重积分

X型区域二次积分

• 积分区域$D$为$X$型$(D=\{(x,y)\mid a⩽x⩽b,{\varphi }_1(x)⩽y⩽{\varphi }_2(x)\})$的情况

  • 设在$D$上,$z=f(x,y)⩾0$,这样二重积分$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(0)的值就等于以$D$为底,以曲面$z=f(x,y)$为顶(曲面$C$)的曲顶柱体的体积$V$

  • 利用一元函数定积分的应用:**“平面截面面积为已知的立体体积”**的计算方法计算$V$

    • 过任意一点$x_0\in [a,b]$作$x_0$轴的垂直平面$x=x_0$,使用该平面取截体积$V$,即可得到一个截面$A_{x=x_0}$,记该截面面积为$A(x_0)$

      • 截面由$y$取值区间$[{\varphi }_1(x_0),{\varphi }_2(x_0)]$为底¹,曲线$z=f(x_0,y)$²为曲边的曲边梯形
      • 根据曲边梯形的计算公式,表示为定积分:$A(x_0)$=${\int }_{{\varphi }_1(x_0)}^{{\varphi }_2(x_0)}f(x_0,y)\mathrm{d}y$(1)

    • 在一般化点$x_0$为$x\in [a,b]$,即过区间$[a,b]$上任意一点$x$且平行于$yOz$面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为$A(x)$=${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$(2)

      • 这个截面同样是曲边梯形
      • 以区间(线段)$[{\varphi }_1(x),{\varphi }_2(x)]$为底
      • 以$f(x,y)$为曲边梯形的曲边

    • 再应用定积分计算"平行截面面积为已知的立体体积"的方法,的曲定柱体$V$的体积式(3)

      • $$V={\int }_a^{b}A(x)dx={\int }_a^b\left({\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x$$

      • 从而式(0)为的计算公式:$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=${\int }_a^b\left({\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x$(4)

    • 上式(4)的右端积分称为:先对$y$,后对$x$的二次积分($X$型区域的二次积分)

      • 先把$x$看作常数,此时$f(x,y)$就被看作关于$y$的一元函数
      • 再对$y$计算$[{\varphi }_1(x),{\varphi }_2(x)]$的定积分,然后把算得的结果($x$的函数)再对$x$计算在区间$[a,b]$上的定积分

    • 记法:

      • 先对$y$,后对$x$的二次积分也常记为${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$(4-1)
      • 这样两个积分区间$[a,b]$,$[{\varphi }_1(x),{\varphi }_2(x)]$分别对应于$x$和$y$的积分区间表示的更突出,书写起来更加对应二次积分的意思;对于$X$型区域,那么第一段就是$f_a^b\mathrm{d}x$,第二段就是${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$
      • 然后算的时候,第一次积分算第二段,第二次积分算第一段,因为第二段被积函数是明确的,而第一段被积函数是第二段积分的结果
      • 简单来讲,从右往左逐次积分

Y型区域二次积分

• 对于$Y$型区域$D=\{(x,y)\mid c⩽y⩽d,{\psi }_1(y)⩽x⩽{\psi }_2(y)\}$,类似地有:
  • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=${\int }_c^d\left({\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$(5)
    • 式(5)也表示为${\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$(5-1)
  • 式(5,5-1)右端积分称为:先对$x$,后对$y$的二次积分

计算步骤

• 通常,$X$型公式能解决的,通过一定的分割处理,$Y$型公式也能解决,但是解决的成本不一样

• 对于一个直角坐标系的二重积分,选择$X$型还是$Y$型公式取决于

  • 积分区域,积分区域决定了积分限,应该首先考虑
  • 被积函数,影响运算过程,是其次考虑

• 为例确定积分区域,通常要绘制区域草图

• Note:草图不能太粗糙,在直角坐标系上的$x,y$轴坐标 的单位长度要差不多,否则某些曲线围成闭区域就看不出来)

小结

• $X$型区域(先$y$后$x$)

  • $(D=\{(x,y)\mid a⩽x⩽b,{\varphi }_1(x)⩽y⩽{\varphi }_2(x)\})$

  • $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$

• $Y$型区域(先$x$后$y$)

  • $D=\{(x,y)\mid c⩽y⩽d,{\psi }_1(y)⩽x⩽{\psi }_2(y)\}$

  • $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

• $XY$型区域(任意次序)

  • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$
  • 说明累次积分与积分顺序无关,但是计算难度往往不同,根据被积函数选择合适的积分顺序是有必要的

例

• $V=\underset{D}{\iint }xy\mathrm{d}\sigma$,$D=\{(x,y)\mid C(y=1,x=2,y=x)\}$,$C(e_1,e_2,e_3)$表示方程$e_1,e_2,e_3$围成的封闭区域

  • 通过绘制$D$区域,发现它是$XY$型
  • 方法1:这里选用$X$型的方法计算
    • $V$=${\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_1^{x}xy\mathrm{d}y$=${\int }_1^2\frac{1}{2}(x^3-x)\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2){|}_1^2$=$\frac{9}{8}$
      • ${\int }_1^{x}xy\mathrm{d}y$=$x{\int }_1^{x}y\mathrm{d}y$=$\frac{1}{2}x{y}^2{|}_1^x$=$\frac{1}{2}(x^3-x)$
  • 方法2:$Y$型方法计算
    • $V$=${\int }_1^2\mathrm{d}y{\int }_y^{2}xy\mathrm{d}x$=${\int }_1^2(2y-\frac{1}{2}{y}^3)\mathrm{d}y$=$[y^2-\frac{1}{8}{y}^4]{|}_1^2$=$\frac{9}{8}$
      • ${\int }_y^{2}xy\mathrm{d}x$=$2y-\frac{1}{2}{y}^3$

• 如果将积分区域$D$改为$C(y^2=x,y=x-2)$,

  • 若用$X$型方法,需要分成两个区间$D_1,D_2$,分别为$\{(x,y)\mid x\in [0,1],y\in [-\sqrt{x},\sqrt{x}]\}$;$\{(x,y)\mid x\in [1,4],y\in [x-2,\sqrt{x}]\}$
    • 也就是要作2个二重积分
  • 若使用$Y$型方法,则只需要作一个二重积分(先$x$后$y$),更加简单
    • $S$=${\int }_{-1}^2\mathrm{d}y{\int }_{y^2}^{y+2}xy\mathrm{d}x$=$\cdots$=$\frac{45}{8}$

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1. 这个底是一条线段,如果用曲面方程组来表述并不方便(两个曲面方程描述一条曲线),简单讲就是坐标$P_1(x_0,{\varphi }_1(x_0),0)$和$P_2(x_0,{\varphi }_2(x_0),0)$这两点连结而成的直线段,就是这所谓的曲边梯形的底 ↩︎

2. 准确来讲是曲线段,是曲线$C_1$:$z=f(x,y);x=x_0$两曲面的交线(平面也属于曲面,特殊曲面),并且添加区间约束,即($y$轴)区间$[{\varphi }_1(x_0),{\varphi }_2(x_0)]$上的曲线$C_1$的一段 ↩︎