PT_随机变量函数的分布_随机变量线性函数的正态分布

文章目录

• 随机变量函数分布
• • 离散型
  • • • 例
  • 连续型随机变量的情形
  • • $求Y=h(X)的概率密度f_Y(y)$
    • • 单调函数的情况
      • 例
      • 例
    • 小结
    • 随机变量函数和正态分布😊
    • • 从标准正态分布到一般正态分布
    • ${\chi }^2分布$
    • 例🎈

随机变量函数分布

• X是一个随机变量,其分布函数或者密度函数已知
  • $h=h(x)也是一个已知函数$
  • $随机变量X的函数Y=h(X)也是一个随机变量$

离散型

• 主要问题

  • $确定Y=h(X)$的所有可能取值
    • $值得注意的是,h(X)可能不是单调的,这意味着,可能存在多个x_{i_j},j=1,2,\cdots 使得h(x_{i_j}取同一个值y_k)$
  • $确定Y取每一种值的概率$

• $如果P(X=x_i)=p_i,i=1,2\cdots ,n$

  • $Y=h(X)的值域(离散值域)表示为\{y_j\},j=1,2,\cdots ,m;(m⩽n)$

  • $$\begin{gathered} P(Y=y_j)=P(\bigcup _{h(x_i)=y_j}\{X=x_i\})=\sum _{h(x_i)=y_j}P(X=x_i) \\ 注意,对于h(x)非单调的情况下\bigcup _{h(x_i)=y_j}\{X=x_i\} \\ 表示所有使得h(x_i)=y_j的X=x_i事件并起来 \end{gathered}$$

例

• $$\begin{gathered} P(X=k)=\frac{1}{2^n}=2^{-n},(k\in I=\{1,2,\cdots \}) \\ 另外有一个已知函数Y=\sin \frac{\pi }{2}X \\ 容易知道,y的取值有三种:-1,0,1 \\ 对应X=1,2,\cdots , \\ Y是1,0,-1,0的循环 \\ 由三角函数的周期性,可以知道y=-1是发生自sin(2k\pi -\frac{\pi }{2});k\in \mathbb{Z} \\ 因此\frac{\pi }{2}X=2k\pi -\frac{\pi }{2}的解集S和X的取值集合I做交集 \\ 得到的结果就是使得y=-1的X的取值,从而可以用P(X=x_i)表示出P(y_j) \\ S=\{X=4k-1\mid k\in \mathbb{Z}\} \\ R=S\cap I=\{4k-1\mid k\in I\} \\ P(Y=-1)=P(\bigcup _{k=1}^{\infty }X=4k-1)=\sum _1^{\infty }{2}^{-(4k-1)}=\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{16}}=\frac{2}{15} \end{gathered}$$

  $$P(Y=0)=P(\bigcup _{k=1}^{\infty }(X=2k))=\sum _{k=1}^{\infty }(2^{-2k})=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$$

  $$\begin{gathered} P(Y=1)=1-(P(Y=-1)+P(Y=0))=\frac{8}{15} \\ 或者直接计算: \\ P(Y=1)=P(\bigcup _{k=0}^{\infty }(X=4k+1))=\sum _{k=0}^{\infty }{2}^{-(4k+1)} \\ =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{2}{2}^{-4k}=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\infty }(2^{-4}{)}^k=\frac{1}{2}\frac{1}{1-2^{-4}} \\ =\frac{8}{15} \end{gathered}$$

连续型随机变量的情形

• $设连续型随机变量X的分布函数F_X(x),概率密度为f_X(x)$
  • $y=h(x)是连续函数$

$求Y=h(X)的概率密度f_Y(y)$

• 确定Y=h(x)的取值范围

  • $如果得出Y\in (c,d)$
    • $c,d可以分别是-\infty ,+\infty$
    • $当y\notin (c,d)时,就容易判断出f_Y(y)=0$
  • $当y\in (c,d),先求出Y的分布函数F_Y$
    • $将事件\{Y⩽y\}用与随机变量X=g^{-1}(Y)有关的事件(表达式)表示$
    • 计算关于$X=g^{-1}(Y)$的不等式的概率
  • $由分布函数和概率密度的关系(F_Y(y)\&f_Y(y)),可以知道,对F_Y(y)进行求导即可得到f_Y(y)$

• $$F_Y(y)=P(Y⩽y)=P(express(X))=G(F_X(t(y)))$$

单调函数的情况

• 先求随机变量X的函数Y=g(X)的反函数$X=g^{-1}(Y)$

• 将$X=g^{-1}(Y)$执行以下带入计算

  • 根据的是随机变量分布函数及其和概率的关系

    • 分布函数的定义基于事件发生(随机变量取值小于给定值)的概率所抽象出来的函数定义

  • $$\begin{gathered} 对于g(x)是递增时,其反函数g^{-1}(x)也为递增函数(比如e^x和\ln x) \\ {F}_Y(y)=P(Y⩽y)=P(X⩽g^{-1}(y))=F_X(g^{-1}(y)) \\ 对于g(x)是递减函数,其反函数g^{-1}(x)也是递减函数(比如2x+1和\frac{1}{2}(x-1)) \\ {F}_Y(y)=P(Y⩽y)=P(X⩾g^{-1}(y)) \\ =1-P(X⩽g^{-1}(y))=1-F_X(g^{-1}(y)) \end{gathered}$$

  • 得到分布函数$F_Y(y)$

  • 对上式两边同时对y求导

    • $$\frac{d}{dy}{F}_Y(y)=f_Y(y)$$

    • 递增情况

    • $$\frac{d}{dy}{F}_X(g^{-1}(y))=f_X(g^{-1}(y))\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)$$

    • 对于递减情况,类似的有

    • $$\frac{d}{dy}{F}_X(g^{-1}(y))=-f_X(g^{-1}(y))\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)$$

  • $$|f_Y(y)|=|\frac{h^{-1}(y)}{dy}|f_X(h^{-1}(y))$$

• 在根据分布函数和密度函数的关系($f_Y(y)=\frac{d}{dy}{F}_Y(y)$)

例

• $设有f_X(x),Y=aX+b,(a\ne 0),f_Y(y)=f_{aX+b}(aX+b)=?$

  • $$\begin{gathered} 先求分布函数F_Y(y),根据分布函数的定义: \\ {F}_Y(y)=P(Y⩽y)=P(aX+b⩽y)=P(aX⩽y-b) \\ =P(X)=\{\begin{array}{ll}P(X⩽\frac{y-b}{a}),& a>0\\ P(X⩾\frac{y-b}{a}),& a<0\end{array} \\ {F}_Y(y)=P(X)=\{\begin{array}{ll}P(X⩽\frac{y-b}{a})=F_X(\frac{y-b}{a}),& a>0\\ P(X⩾\frac{y-b}{a})=1-P(X⩽\frac{y-b}{a})=1-F_X(\frac{y-b}{a}),& a<0\end{array} \end{gathered}$$

    $$\begin{gathered} 对两边同时对y求导:(是复合函数求导) \\ {f}_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{a}{f}_X(\frac{y-b}{a}),& a>0\\ -\frac{1}{a}{f}_X(\frac{y-b}{a}),& a<0\end{array}=\frac{1}{|a|}{f}_X(\frac{y-b}{a}) \end{gathered}$$

例

• 已知随机变量X的密度函数为

  • $$f(x)=\{\begin{array}{l}3x^2,0<x<1\\ 0,else\end{array}$$

  • 求随机变量$Y=1-X^2$的密度函数

• 分析

  • 根据X的密度函数$f_X(x)=f(x)$,X的取值只可能落在区间[0,1]内

    • $X^2\in [0,1]$
    • $-X^2\in [-1,0]$
    • $1-X^2\in [0,1]$

  • 所以,对应的Y的取值范围:

    • $Y\in [0,1]$

      • $当y\notin [0,1]$时,$f_Y(y)=0$

      • 当$y\in [0,1]时$

        • $$\begin{gathered} F_Y(y)=P(Y⩽y)=P(1-X^2⩽y)=P(1-y⩽X^2) \\ y\in [0,1] \\ 1-y\in [0,1] \\ {F}_Y(y)=P((X⩽-\sqrt{1-y})\cup (\sqrt{1-y}⩽X) \\ =F_X(-\sqrt{1-y})+F_X(\sqrt{1-y}) \\ 根据X的密度函数可知F_X(x)=0,(x⩽0) \\ -\sqrt{1-y}⩽0 \\ 所以F_X(-\sqrt{1-y})=0 \\ {F}_Y(y)=0+F_X(\sqrt{1-y}) \\ 两边同时对y求导 \\ {f}_Y(y)=f_X(\sqrt{1-y})\frac{1}{2\sqrt{1-y}} \\ =\frac{3}{2}(1-y{)}^{\frac{1}{2}} \end{gathered}$$

    • 所以

      • $$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}(1-y{)}^{\frac{1}{2}}& 0<y<1\\ 0& else\end{array}$$

    • 注意到,计算$f_Y(y)的过程中不需要计算F_X(x),只需要F_X(x)的导函数f_X(x)$

小结

• $如果连续型随机变量X的概率密度函数为f_X(x),如果y=h(x)为单调函数,则Y=h(X)的概率密度为$

  • $$\begin{gathered} f_y(y)=|\frac{h^{-1}(y)}{dy}|f_X(h^{-1}(y)) \\ 其中h^{-1}(y)是h(y)的反函数 \\ \frac{\mathrm{d}{h}^{-1}(y)}{dy}是h^{-1}(y)的导数 \end{gathered}$$

  • $该公式仅在y=h(x)$是单调函数的时候成立

    • 否则,按照初始步骤进行求解

随机变量函数和正态分布😊

• 针对一维情况(随机变量的线性函数)

• $$\begin{gathered} 设X服从一般的正态分布:X\sim N(\mu ,{\sigma }^2) \\ 关于X的随机变量Y=aX+b \\ 则有:Y\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2) \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 特别的,当X\sim N(\mu =0,{\sigma }^2=1),即标准型正态分布时: \\ Y=aX+b\sim N(b,a^2) \end{gathered}$$

  • 推导:

  • $$\begin{gathered} Y=h(X)=aX+b恰好满足单调函数(关于其自变量X) \\ y=h(x)=ax+b \\ x=h^{-1}(y)=\frac{y-b}{a} \\ 可以套用公式:f_Y(y)=|\frac{\mathrm{d}{h}^{-1}(y)}{dy}|f_X(h^{-1}(y)) \\ {f}_X(x)=f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}} \\ 带入x=h^{-1}(y)=\frac{y-b}{a} \\ f(\frac{y-b}{a})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(\frac{y-b}{a}-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{\frac{(y-(b+au){)}^2}{a^2}}{2{\sigma }^2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(y-(b+au){)}^2}{2{\sigma }^2{a}^2}} \\ |\frac{\mathrm{d}{h}^{-1}(y)}{dy}|=\frac{\mathrm{d}(\frac{b-y}{a})}{dy}=\frac{1}{a} \\ {f}_y(y)=|\frac{\mathrm{d}{h}^{-1}(y)}{dy}|f_X(h^{-1}(y))=\frac{1}{a}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(y-(b+au){)}^2}{2{\sigma }^2{a}^2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }a\sigma }{e}^{-\frac{(y-(b+au){)}^2}{2{\sigma }^2{a}^2}} \\ 则Y\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2) \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 特别地,当a=\frac{1}{\sigma },b=\frac{-\mu }{\sigma } \\ 令Z=Z(X)=\frac{1}{\sigma }x-\frac{\mu }{\sigma }=\frac{x-\mu }{\sigma } \\ {\mu }_Z=a\mu +b=\frac{1}{\sigma }\mu +\frac{-\mu }{\sigma }=0 \\ {\sigma }_Z=a^2{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2}=1 \\ Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N({\mu }_Z,{\sigma }_Z^2)=N(0,1) \end{gathered}$$

    • 通过解方程组

      • $$\begin{gathered} a\mu +b=0 \\ {a}^2{\sigma }^2=1 \\ 得到a=\pm \frac{1}{\sigma } \\ b=\mp \frac{\mu }{\sigma } \\ {Z}_1=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1) \\ {Z}_2=\frac{-X+\mu }{\sigma }\sim N(0,1) \\ 其中:Z_1=-Z_2;(a=-1,b=0) \end{gathered}$$

从标准正态分布到一般正态分布

• 特别的,当${\mu }_0=0,{\sigma }_0=1$

  • $$\begin{gathered} X\sim N({\mu }_0=0,{\sigma }_0^2=1) \\ Y=aX+b \\ Y\sim N(a{\mu }_0+b,a^2{\sigma }_0^2)=N(b,a^2) \\ 也就是说,Y\sim N(b,a^2) \\ 换个字母表示: \\ Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2) \end{gathered}$$

${\chi }^2分布$

• 同样可以基于正态分布得到

  • $令Y=X^2$

  • $$\begin{gathered} y⩽0时 \\ {F}_Y(y)=P(X^2⩽y)=0 \end{gathered}$$

    $$\begin{gathered} y>0时 \\ {F}_Y(y)=P(Y⩽y)=P(X^2⩽y)=P(-\sqrt{y}⩽X⩽\sqrt{y}) \\ =\Phi (\sqrt{y})-\Phi (\sqrt{-y})=2\Phi (\sqrt{y})-1 \\ 两边求导 \\ {f}_Y(y)=2\varphi (\sqrt{y})\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-\frac{y}{2}} \end{gathered}$$

    $$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y⩽0\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-\frac{y}{2}},& y>0\end{array}$$

    • 具有上述形式的概率密度的随机变量Y服从自由度为1的${\chi }^2$分布

例🎈

• $$\begin{gathered} 设X\sim U(-1,2) \\ {f}_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -1⩽x⩽2\\ 0,& else\end{array} \\ Y=|X| \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 先求解X的取值范围: \\ 也就是f_X(x)>0的区间f_X(x)>0的区间为[-1,2] \\ 再求Y的取值区间 \\ Y=|X|\in [0,2]从而可以确定,y\notin [0,2]的情况下,f_Y(y)=0 \\ y\in [0,2]情况下: \\ {F}_Y(y)=P(Y⩽y)=P(|X|⩽y)=P(-y⩽X⩽y)=F_X(y)-F_X(-y) \\ 对两边求导 \\ {f}_Y(y)=f_X(y)-(-1)f_X(-y)=f_X(y)+f_X(-y) \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} f_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y),y\in [0,2] \\ 等式右边是函数f_X(x)的表达式:f_X(y),f_X(-y) \\ 结合区间,绘制草图,会很有帮助 \\ y\in [0,2] \\ -y\in [-2,0]这两个区间并起来,结果是[-2,2] \\ 现在,我们只对f_X(x)函数在范围[-2,2]内的部分感兴趣 \\ {f}_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -1⩽x⩽2\\ 0,& else\end{array} \\ 为协调,将自变量字母换成y,方便进行讨论: \\ {f}_X(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -1⩽y⩽2\\ 0,& else\end{array} \\ {f}_X(-y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -1⩽-y⩽2\\ 0,& else\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -2⩽y⩽1\\ 0,& else\end{array} \\ 容易发现,f_X(y)在区间[-2,2]内发生分段(不连续) \\ [-2,2]内有一个间断点(跳跃间断点:x=-1) \\ {f}_X(y)的解析式在[0,2]内全程不变,为\frac{1}{3} \\ {f}_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y)=\frac{1}{3}+f_X(-y) \end{gathered}$$

  $$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3},& [0,1]\\ \frac{1}{3}+0=\frac{1}{3},& [1,2]\\ 0,& else\end{array}$$