PC_@BCD码(8421BCD)@定点数加减法@补码减法公式

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编码

BCD码

• 用4为二进制数(可以表示$2^4=16$种不同的值)来表示10个十进制数0~9
  • 这种编码方法使得二进制数和十进制数可以快速进行转换
  • 容易发现,BCD码中有6中冗余码不代表某个十进制数

8421BCD

• 有权BCD码
  • 权值从高到低为$8,4,2,1$
  • $b_4{b}_3{b}_2{b}_1$代表的十进制数就是按权展开$\sum _{i=1}^4{b}_i{2}^{i-1}$
• 具有的6个冗余码为:$1010\sim 1111$

修正

• $两个4位8421BCD码相加的结果如果不大于9即:(1001{)}_{8421BCD}$,则不需要修正
• 否则需要修正:
  • $例如:15=6+9=0110_2+1001_2=1111_2$
    • 而$15=\underline{0001}\overline{0101}$,即,1,5的权分别用一个8421BCD码分别表示
    • 显然1111不是正确结果
  • 修正方法简单,假设某个结果X=A+B落在冗余码区间内的$1010\sim 1111$,则对X+6,即可
    • 从16进制的角度(对应4为8421BCD码)来看容易理解
    • 超过9的部分记为T落入冗余区间(跨度为$6(=0110_2$)),为了还原T,额外+6来填补冗余区间,还原了T,得到正确结果
    • $上例1111_2+0110_2=10101_2$用8421BCD表示(高位补0)得到$00010101_{8421BCD}$

BCD转10进制数

• 不同于按权展开,根据8421BCD的定义,将BCD二进制串从低位向高位每四个一组,分别转换为10进制的数码(0~9)中的一个即可
  • eg.$101001_{8421BCD}=29_{10}$

算数逻辑单元ALU

• ALU是一种功能强的组合逻辑电路
• 能够进行多种算数运算和逻辑运算
  • 加减乘除都能够归结为加法运算,ALU的核心是带标志的加法器

定点数加减计算

• 对于定点数
  • 小数点约定在最左边就是顶点小数;
  • 约定在最右边就是定点整数
• 实际上机器内部没有小数点
  • 因此在运算过程中,可以不考虑是小数还是整数,只需要关心它们的符号和数值位

补码加减法运算

• 不同于原码的加减法,(原码的符号位是单独处理,而不是统一做加法)
• 补码才可以将符号位和数值位一样做加法

补码加法的基本公式如下:

加法

• $整数[A{]}_{补}+[B{]}_{补}=[A+B{]}_{补}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^{n+1}\right)$
  $小数[A{]}_{\text{补 }}+[B{]}_{补}=[A+B{]}_{补}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$
• 即补码表示的两个数在进行加法运算时,可以把符号位与数值位同等处理,
  • 只要结果不超出机器能表示的数值范围,
    • 运算后的结果按 $ 2^{n+1}$ 取模 ( 对于整数 )
    • 或按 2 取模 ( 对于小数 ) ,
  • 就能得到本次加法的运算结果。
• 可根据补码定义,按两个操作数的四种正负组合情况加以证明。

减法

• $记y=A-B=A+(-B)$
• 则对上述三个表达式同时取补码
  • $[y{]}_{补}=[A-B{]}_{补}=[A+(-B){]}_{补}$
• 由补码加法基本公式,展开可得
• 整数$[A-B{]}_{补}=[A{]}_{补}+[-B{]}_{补}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^{n+1}\right)$
• 小数$[A-B{]}_{\text{补 }}=[A{]}_{\text{补}}+[-B{]}_{\text{补 }}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$

小结

• 符号位和数值位一起参与运算,加/减结果的符号位也在运算中直接得出
• 最终的运算结果保留最低位开始的n+1位(也就是能够刚好放在寄存器中),而更高位丢弃

补码之间的减法:

• 此外,还成立:

  • $C=A-B$

    • $C(C)=C(A)-C(B)$
    • $C(C)=C(A)+C(-B)$

  • $$\begin{gathered} [A{]}_{补}-[B{]}_{补}=[A{]}_{补}+(-[B{]}_{补}) \\ =[A{]}_{补}+[-B{]}_{补}=[A-B{]}_{补} \end{gathered}$$

• 这里的A,B都是真值.

• 因此,若机器数采用补码, 当求 A-B 时, 只需先求 $[-B{]}_{补}$

• $由C(B)求C(-B)是容易的,利用规律:$

  • $真值x的相反数-x的补码C(-x)可通过将C(x)的每一位(包括符号位)取反再加1得到$
  • $对于给定的A-B算式,通常A,B都是正数,从而x的补码和原码相同:C(x)=T(x)$

总结和案例

• 设机器数字长为8bit(含有1bit符号位)
  • 若A=+15;B=+24;
  • 记$y=A-B$;求:
    • $C(y)=C(A-B);$
    • 并从$C(y)$还原出y真值
• 分析:主要分为是3~4个步骤(第4个步骤取决于是否要得到真值形式)

将真值用二进制表示

• A=+15=+0001111
• B=+24=+(3*8)=+11*1000=+0011000

计算被减数,减数和减数相反数的补码

• 从真值直接得到对应的补码形式
  • 原码和真值仅相差符号位的表现形式而已
• C(A)=0,000 1111
• C(B)=0,001 1000或T(-B)=1,001 1000
  • 这两个用其中一个即可,取决于习惯,用来计算C(-B)
• C(-B)=1,110 0111+1=1,110 1000

计算C(-B)有3条路🎈

• C(-B)=$\overline{C(B)}+1$

  • 无论B是正是负都适用
  • 利用的是真值(X)与真值相反数(-X)的补码间的关系
  • 这里$\overline{X}$表示对X所有bit取反(包括符号位一同取反)

• $C(-B)=\overline{data(T(-B))}+1$

  • 只有当B>0(-B<0)的情况下适用,
  • 这里$\overline{data(X)}$表示的是对$X$除了符号位以外的所有bit(数值位data bits)进行取反
    • $\overline{X}$和$\overline{data(X)}$是不同的(差异在于符号位是否参与取反,后者符号位不参于取反)
  • 利用的是负数的求补方法

• $C(-B)=PQ(T(-B))=P@Q$

  • $P@Q=\overline{Z[1:m-1]}@Z[m:n]$
  • m表示Z串的最后出现的1的位置
  • n表示Z串的最后一个bit的位置(长度)
  • 位置从高位1开始计数🎈
  • $Z=data(T(x))$表示T(x)的数值位部分
    • Z串中含有1的时候,Q串至少含有1个bit
    • 否则(Z串中没有1),那么更简单了,说明B=-B=0,C(-B)=0
  • @表示比特串拼接
  • 简写为$C(-B)=\overline{Z[:m-1]}@Z[m:]$🎈
  • 也即是说,只需要确定m的位置即可
  • 左右法,原理是,某个数的补码可以看做两部分,高部分和反码相同,低部分和原码相同
  • 这是唯一一种不需要末尾加一的方法了
    • 符号位不参于取反,保留T(x)的符号位
    • 虽然看上去形式复杂,但是操作起来却十分便利!
    • 比如说,本例中T(-B)=1,001 **1**000
      • 下线出就是位置m
      • 那么可以直接得出C(-B)=1,110 1000

带入公式:

• C(y)=C(A-B)=C(A+(-B))=C(A)+C(-B)=0,000 1111+1,110 1000=1,111 0111
• T(y)=T(A-B)=1,000 1001

按需还原为真值

• y=-000 1001=-9

手工计算顶点数减法(补码法)

• 记y=A-B
• y=A-B=C(C(y))=C(C(A-B))=C(C(A)+C(-B))

例

• A=+10010;(18)
• B=+1011;(11)
• T(A)=0,10010
• T(B)=0,01011(在原码对齐位数,后期不易出错)
• C(-B)=PQ(T(-B))=PQ(1,01011)=1,10101
• y=A-B=10010-1011=C(C(A)+C(-B))=C(0,10010+1,10101)=C(10,00111)=C(0,00111)=+00111=+111