AM@偏微分@全微分@二元函数可导@可微@连续的关系
文章目录
abstract
- 二元函数偏微分@全微分及其应用@多元函数估算问题
- 函数可导,可微,连续的关系
偏微分
- 二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时,因变量相对于该自变量的变化率
- 根据一元函数微分学中增量和微分的关系,有
- f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) ≈ f x ( x , y ) Δ x f(x+\Delta{x},y)-f(x,y)\approx{f_{x}(x,y)}\Delta{x} f(x+Δx,y)−f(x,y)≈fx(x,y)Δx
- f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ≈ f y ( x , y ) Δ y f(x,y+\Delta{y})-f(x,y)\approx{f_{y}(x,y)}\Delta{y} f(x,y+Δy)−f(x,y)≈fy(x,y)Δy
- 两式左端分别叫做二元函数对 x x x和对 y y y的偏增量,而右端分别叫做二元函数对 x , y x,y x,y的偏微分,可以分别记为: ∂ z ∂ x d x \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\mathrm{d}x ∂x∂zdx和 ∂ z ∂ y d x \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\mathrm{d}x ∂y∂zdx,习惯上,常把 Δ x , Δ y \Delta{x},\Delta{y} Δx,Δy分别用 d x , d y \mathrm{d}x,\mathrm{d}y dx,dy表示
全微分👺
- 研究一元函数的近似时,我们引入了一元函数微分的概念
- 为了近似计算二元函数的全增量,我们引入全微分的概念
- 和一元函数的情形一样,二元函数中,我们希望用自变量增量 Δ x , Δ y \Delta{x},\Delta{y} Δx,Δy的线性函数(即全微分)来近似代替函数的全增量 Δ z \Delta{z} Δz
点处全微分
-
设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)的某个领域内有定义,如果导数在点 P 0 P_0 P0的全增量 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0) f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
能够表示为 Δ z \Delta{z} Δz= A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\rho) AΔx+BΔy+o(ρ)
(0)(带有无穷小项的全增量分解形式)-
其中 A , B A,B A,B不依赖于 Δ x , Δ y \Delta{x},\Delta{y} Δx,Δy而仅和 x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0相关
-
ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2那么称函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可微分
-
-
并且 A Δ x + B Δ y A\Delta{x}+B\Delta{y} AΔx+BΔy称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 P 0 P_0 P0的全微分,记为 d z ∣ ( x 0 , y 0 ) \mathrm{d}z|_{(x_0,y_0)} dz∣(x0,y0)= A Δ x + B Δ y A\Delta{x}+B\Delta{y} AΔx+BΔy
(1)(不带无穷小项的全微分分解形式)
自变量增量的微分表示
- 习惯上,我们将自变量的增量 Δ x , Δ y \Delta{x},\Delta{y} Δx,Δy分别记为 d x , d y \mathrm{d}x,\mathrm{d}y dx,dy,并分别称为自变量 x , y x,y x,y的微分
函数可微
- 若函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D D D内各点处可微分,则称 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D D D内可微分,简称可微,记为 d z \mathrm{d}z dz
全微分叠加原理👺
- 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,这个规律称为二元函数的微分符合叠加原理
- 多余
n
n
n元函数也适用
- 例如三元函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)的全微分: d u \mathrm{d}u du= f x ( x , y , z ) d x f_{x}(x,y,z)\mathrm{d}x fx(x,y,z)dx+ f y ( x , y , z ) d y f_{y}(x,y,z)\mathrm{d}y fy(x,y,z)dy+ f z ( x , y , z ) d z f_{z}(x,y,z)\mathrm{d}z fz(x,y,z)dz
可微@连续@可偏导之间的关系定理
定理1: 函数可微分必连续👺
- 若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)处可微分,则函数在点 P 0 P_0 P0处连续
证明
-
因为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微分,则: Δ z \Delta{z} Δz= A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\rho) AΔx+BΔy+o(ρ)
-
从而 lim ( x , y ) → x 0 , y 0 Δ z \lim\limits_{(x,y)\to{x_0,y_0}}\Delta{z} (x,y)→x0,y0limΔz= lim ( x , y ) → x 0 , y 0 [ A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) ] \lim\limits_{(x,y)\to{x_0,y_0}}{[A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\rho)]} (x,y)→x0,y0lim[AΔx+BΔy+o(ρ)]=0
-
根据连续的等价定义,函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y),在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续
-
推论:若函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 P_0 P0处不连续,则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 P 0 P_0 P0处不可微
定理2:可微偏导必存在(可微的必要条件)
- 若
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P0(x0,y0)处可微,则
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)在该点处的两个偏导数都存在且
-
A
=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
A=f_{x}(x_0,y_0)
A=fx(x0,y0);
(3-1) -
B
=
f
y
(
x
0
,
y
0
)
B=f_{y}(x_0,y_0)
B=fy(x0,y0)
(3-2) - 式(1)改写为:
d
z
∣
(
x
0
,
y
0
)
\mathrm{d}z|_{(x_0,y_0)}
dz∣(x0,y0)=
A
Δ
x
+
B
Δ
y
A\Delta{x}+B\Delta{y}
AΔx+BΔy=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
d
x
f_{x}(x_0,y_0)\mathrm{d}x
fx(x0,y0)dx+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
d
y
f_{y}(x_0,y_0)\mathrm{d}{y}
fy(x0,y0)dy
(4)
-
A
=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
A=f_{x}(x_0,y_0)
A=fx(x0,y0);
证明
-
在式(0)中令 Δ y = 0 \Delta{y}=0 Δy=0,则全增量转换为偏增量:
- ρ = ( Δ x ) 2 + 0 2 \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+0^2} ρ=(Δx)2+02= ∣ Δ x ∣ |\Delta{x}| ∣Δx∣
-
Δ
x
z
\Delta_{x}z
Δxz=
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x_0+\Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)
f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)=
A
Δ
x
+
o
(
∣
Δ
x
∣
)
A\Delta{x}+o(|\Delta{x}|)
AΔx+o(∣Δx∣)
(4-1)
-
所以 f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx(x0,y0)= lim Δ x → 0 Δ x z Δ x \lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta_{x}z}{\Delta{x}} Δx→0limΔxΔxz= lim Δ x → 0 A Δ x + o ( ∣ Δ x ∣ ) Δ x \lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{A\Delta{x}+o(|\Delta{x}|)}{\Delta{x}} Δx→0limΔxAΔx+o(∣Δx∣)= A A A这就证明了(3-1);
-
同理,令 Δ x = 0 \Delta{x}=0 Δx=0,则
- ρ = 0 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{0^2+(\Delta{y})^2} ρ=02+(Δy)2= ∣ Δ y ∣ |\Delta{y}| ∣Δy∣
-
Δ
y
z
\Delta_{y}z
Δyz=
f
(
x
0
,
y
0
+
Δ
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x_0,y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0)
f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)=
B
Δ
y
+
o
(
∣
Δ
y
∣
)
B\Delta{y}+o(|\Delta{y}|)
BΔy+o(∣Δy∣)
(4-2)
-
f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}(x_0,y_0) fy(x0,y0)= lim Δ y → 0 Δ y z Δ y \lim\limits_{\Delta{y}\to{0}}\frac{\Delta_{y}z}{\Delta{y}} Δy→0limΔyΔyz= B B B,这就证明了(3-2)
-
综上,定理成立
-
为了方便后续讨论可微和可偏导之间的差异
- 令等式(4)的右端
θ
=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
d
x
\theta=f_{x}(x_0,y_0)\mathrm{d}x
θ=fx(x0,y0)dx+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
d
y
f_{y}(x_0,y_0)\mathrm{d}{y}
fy(x0,y0)dy
(5-1),不妨称为候选微分公式 -
δ
\delta
δ=
Δ
z
−
[
f
x
(
x
0
,
y
0
)
d
x
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
d
y
]
\Delta_{z}-[f_{x}(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f_{y}(x_0,y_0)\mathrm{d}{y}]
Δz−[fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy]=
Δ
z
−
θ
\Delta{z}-\theta
Δz−θ
(5-2) - 判断式
Δ
z
−
θ
=
o
(
ρ
)
\Delta{z}-\theta=o(\rho)
Δz−θ=o(ρ)
(5-3)是否成立,即 lim ρ → 0 δ ρ \lim\limits_{\rho\to{0}}\frac{\delta}{\rho} ρ→0limρδ= 0 0 0(5-4)是否成立,是判断函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)是否可微的方法
- 令等式(4)的右端
θ
=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
d
x
\theta=f_{x}(x_0,y_0)\mathrm{d}x
θ=fx(x0,y0)dx+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
d
y
f_{y}(x_0,y_0)\mathrm{d}{y}
fy(x0,y0)dy
-
例如任给一个可偏导的二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)时,尽管我们可以按照公式(5-1)写出一个表达式,
- 式(5-1)的值作为微分的前提是微分存在(可微)
- 计算式(5-1)与 Δ z \Delta{z} Δz之差 δ \delta δ不一定是 ρ \rho ρ的高阶无穷小,因此(4-1)也就不一定是函数的全微分
- 若能证明 δ = o ( ρ ) \delta=o(\rho) δ=o(ρ),则说明 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)可微
定理3:可微的充分条件
- 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)的某个邻域内可偏导,且偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0), f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}(x_0,y_0) fy(x0,y0)都在点 P 0 P_0 P0处连续,则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微
证明
-
可由一元化处理和Lagrange中值定理证明
-
由条件假定,函数的偏导数在点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)某个邻域内存在
-
设点 ( x + Δ x , y + Δ y ) (x+\Delta{x,y+\Delta{y}}) (x+Δx,y+Δy)为此邻域内的任意一点,考察函数的全增量 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x + Δ x , y + Δ y ) f(x+\Delta{x},y+\Delta{y}) f(x+Δx,y+Δy)- f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= [ f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y + Δ y ) ] [f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y+\Delta{y})] [f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]- [ f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ] [f(x,y+\Delta{y})-f(x,y)] [f(x,y+Δy)−f(x,y)]
(0)-
第一个方括号由于 y + Δ y y+\Delta{y} y+Δy不变,可以堪称 x x x的一元函数 f ( x , y + Δ y ) f(x,y+\Delta{y}) f(x,y+Δy)的增量
- 类比 f ( x + Δ y , y ) − f ( x , y ) f(x+\Delta{y},y)-f(x,y) f(x+Δy,y)−f(x,y),由于 y y y不变,可以看作是 x x x的一元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的增量
-
第二个中括号也类似,看作是 y y y的一元函数 f ( x , y + Δ y ) f(x,y+\Delta{y}) f(x,y+Δy)的增量
-
由Lagrange中值定理, f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y + Δ y ) f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y+\Delta{y}) f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)= f x ( x + θ Δ x , y + Δ y ) Δ x f_{x}(x+\theta\Delta{x},y+\Delta{y})\Delta{x} fx(x+θΔx,y+Δy)Δx, ( θ ∈ ( 0 , 1 ) ) (\theta\in(0,1)) (θ∈(0,1))
(1) -
又依假设, f x ( x , y ) f_{x}(x,y) fx(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处连续,所以式(1)可以写为 f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y + Δ y ) f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y+\Delta{y}) f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)= f x ( x , y ) Δ x + ϵ 1 Δ x f_{x}(x,y)\Delta{x}+\epsilon_1\Delta{x} fx(x,y)Δx+ϵ1Δx
(2),- 其中 ϵ \epsilon ϵ是 Δ x , Δ y \Delta{x},\Delta{y} Δx,Δy的函数,且 ϵ 1 → 0 ( Δ x → 0 , Δ y → 0 ) \epsilon_1\to{0}(\Delta{x}\to{0},\Delta{y\to{0}}) ϵ1→0(Δx→0,Δy→0)
-
Note:
- 由连续, lim Δ x → 0 ; Δ y → 0 Δ f x \lim\limits_{\Delta{x}\to{0};\Delta{y}\to{0}}\Delta{f_{x}} Δx→0;Δy→0limΔfx=0; lim Δ x → 0 ; Δ y → 0 [ f x ( x + Δ x , y + Δ y ) − f x ( x , y ) ] \lim\limits_{\Delta{x}\to{0};\Delta{y}\to{0}}{[f_{x}(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f_{x}(x,y)]} Δx→0;Δy→0lim[fx(x+Δx,y+Δy)−fx(x,y)]= lim Δ x → 0 ; Δ y → 0 [ f x ( x + Δ x , y + Δ y ) ] \lim\limits_{\Delta{x}\to{0};\Delta{y}\to{0}}{[f_{x}(x+\Delta{x},y+\Delta{y})]} Δx→0;Δy→0lim[fx(x+Δx,y+Δy)]= f x ( x , y ) f_{x}(x,y) fx(x,y)
- 由极限的无穷小表示关系, f x ( x + Δ x , y + Δ y ) f_{x}(x+\Delta{x},y+\Delta{y}) fx(x+Δx,y+Δy)= f x ( x , y ) + ϵ 1 f_{x}(x,y)+\epsilon_1 fx(x,y)+ϵ1,其中 ϵ 1 → 0 ( Δ x → 0 , Δ y → 0 ) \epsilon_1\to{0}(\Delta{x}\to{0},\Delta{y\to{0}}) ϵ1→0(Δx→0,Δy→0)
- 类似的 f x ( x + θ Δ x , y + Δ y ) f_{x}(x+\theta{\Delta{x}},y+\Delta{y}) fx(x+θΔx,y+Δy)= f x ( x , y ) + ϵ 1 f_{x}(x,y)+\epsilon_1 fx(x,y)+ϵ1
-
同理,式(0)的第二个方括号可以表示为 f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) f(x,y+\Delta{y})-f(x,y) f(x,y+Δy)−f(x,y)= f y ( x , y ) Δ y + ϵ 2 Δ y f_{y}(x,y)\Delta{y}+\epsilon_2{\Delta{y}} fy(x,y)Δy+ϵ2Δy
(3)- 其中 ϵ 2 \epsilon_2 ϵ2为 Δ y \Delta{y} Δy的函数,且 ϵ 2 → 0 ( Δ y → 0 ) \epsilon_2\to{0}(\Delta{y}\to{0}) ϵ2→0(Δy→0)
-
由(3),(4),在偏导数连续的假定下, Δ z \Delta{z} Δz可以表示为 Δ z \Delta{z} Δz= f x ( x , y ) Δ x f_{x}(x,y)\Delta{x} fx(x,y)Δx+ f y ( x , y ) Δ y f_{y}(x,y)\Delta{y} fy(x,y)Δy+ ϵ 1 Δ x + ϵ 2 Δ y \epsilon_1\Delta{x}+\epsilon_2\Delta{y} ϵ1Δx+ϵ2Δy
(4) -
对(4),令 δ = ϵ 1 Δ x + ϵ 2 Δ y \delta=\epsilon_1\Delta{x}+\epsilon_2\Delta{y} δ=ϵ1Δx+ϵ2Δy, ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2,则 ∣ δ ρ ∣ ⩽ ∣ ϵ 1 ∣ + ∣ ϵ 2 ∣ |\frac{\delta}{\rho}|\leqslant{|\epsilon_1|+|\epsilon_2|} ∣ρδ∣⩽∣ϵ1∣+∣ϵ2∣
- Note:显然 ρ ⩾ ( Δ x ) 2 \rho\geqslant{\sqrt{(\Delta{x})^2}} ρ⩾(Δx)2= ∣ Δ x ∣ |\Delta{x}| ∣Δx∣;同理 ρ ⩾ ∣ Δ y ∣ \rho\geqslant{|\Delta{y}|} ρ⩾∣Δy∣;
- 因此 ∣ Δ x ∣ ρ ⩽ 1 \frac{|\Delta{x}|}{\rho}\leqslant{1} ρ∣Δx∣⩽1; ∣ Δ y ∣ ρ ⩽ 1 \frac{|\Delta{y}|}{\rho}\leqslant{1} ρ∣Δy∣⩽1
- ∣ δ ρ ∣ |\frac{\delta}{\rho}| ∣ρδ∣= ∣ ϵ 1 Δ x ρ + ϵ 2 Δ y ρ ∣ {|\frac{\epsilon_1\Delta{x}}{\rho}+\frac{\epsilon_2\Delta{y}}{\rho}|} ∣ρϵ1Δx+ρϵ2Δy∣ ⩽ \leqslant ⩽ ∣ ϵ 1 Δ x ρ ∣ + ∣ ϵ 2 Δ y ρ ∣ {|\frac{\epsilon_1\Delta{x}}{\rho}|+|\frac{\epsilon_2\Delta{y}}{\rho}|} ∣ρϵ1Δx∣+∣ρϵ2Δy∣ ⩽ \leqslant ⩽ ∣ ϵ 1 ∣ + ∣ ϵ 2 ∣ {|\epsilon_1|+|\epsilon_2|} ∣ϵ1∣+∣ϵ2∣,
-
定理得证
-
-
此定理表明,若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)对 x , y x,y x,y的一阶偏导数都存在且连续,则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 P 0 P_0 P0可微
相关参考
例
- 一般的,若已知函数可微,则计算全微分直接套用公式(4)计算即可
- 例:计算
z
=
cos
x
y
z=\cos{\frac{x}{y}}
z=cosyx在
P
0
(
π
,
2
)
P_0(\pi,2)
P0(π,2)处的全微分
- 先计算各个偏导数: z x ( P 0 ) z_{x}(P_0) zx(P0)= − 1 y sin x y ∣ P 0 -\frac{1}{y}\sin{\frac{x}{y}}|_{P_0} −y1sinyx∣P0= − 1 2 -\frac{1}{2} −21; z y ( P 0 ) = π 4 z_{y}(P_0)=\frac{\pi}{4} zy(P0)=4π
- d z \mathrm{d}z dz= − 1 2 d x + π 4 d y -\frac{1}{2}\mathrm{d}x+\frac{\pi}{4}\mathrm{d}y −21dx+4πdy= − 1 4 ( 2 d x − π d y ) -\frac{1}{4}(2\mathrm{d}x-\pi\mathrm{d}y) −41(2dx−πdy)
全微分的应用
- 和一元函数微分类似,全微分可用来作近似计算
- 设函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P0(x0,y0)处可微,则函数在该点处的全增量为
Δ
z
=
d
z
+
o
(
ρ
)
\Delta{z}=\mathrm{d}z+o(\rho)
Δz=dz+o(ρ)
(1)- 其中 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + Δ x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+\Delta{x_0},y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0) f(x0+Δx0,y0+Δy)−f(x0,y0); d z \mathrm{d}z dz= f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y f_{x}(x_0,y_0)\Delta{x}+f_{y}(x_0,y_0)\Delta{y} fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy; ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2
- 当
∣
Δ
x
∣
,
∣
Δ
y
∣
|\Delta{x}|,|\Delta{y}|
∣Δx∣,∣Δy∣
(P0)很小时,有-
Δ
z
≈
d
z
\Delta{z}\approx{\mathrm{d}z}
Δz≈dz
(2); - 或者写成
f
(
x
0
+
Δ
x
0
,
y
0
+
Δ
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
≈
d
z
f(x_0+\Delta{x_0},y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0)\approx{\mathrm{d}z}
f(x0+Δx0,y0+Δy)−f(x0,y0)≈dz,即
f
(
x
0
+
Δ
x
0
,
y
0
+
Δ
y
)
f(x_0+\Delta{x_0},y_0+\Delta{y})
f(x0+Δx0,y0+Δy)=
f
(
x
0
,
y
0
)
+
d
z
f(x_0,y_0)+\mathrm{d}z
f(x0,y0)+dz
(3)
-
Δ
z
≈
d
z
\Delta{z}\approx{\mathrm{d}z}
Δz≈dz
- 总之,估算增量可以用公式(2),估算函数值,可以用公式(3);前提条件都是(P0)
例
-
锻造一个圆柱形无盖铁桶,其内半径为 r r r,高度为 h h h,桶的侧壁和底的厚度均为 d = 0.01 d=0.01 d=0.01单位长度,求该桶需要多少铁(体积)
-
利用体积差来求解铁的体积:
- 通过绘制示意图可知,外体积的底面半径为 r + d r+d r+d;高度为 h + d h+d h+d
- 圆柱体的体积为 V ( r , h ) = π r 2 h V(r,h)=\pi r^2h V(r,h)=πr2h,则 Δ V ≈ d V \Delta{V}\approx\mathrm{d}V ΔV≈dV= V r ( r , h ) d r + V h ( r , h ) d h V_r(r,h)\mathrm{d}r+V_{h}(r,h)\mathrm{d}h Vr(r,h)dr+Vh(r,h)dh= 2 π h r d r + π r 2 d h 2\pi{hr}\mathrm{d}r+\pi{r}^2\mathrm{d}h 2πhrdr+πr2dh,
- 令 d r \mathrm{d}r dr= d h \mathrm{d}h dh= 0.01 0.01 0.01,当 r = 0.25 , h = 0.5 r=0.25,h=0.5 r=0.25,h=0.5时, Δ V \Delta{V} ΔV近似为 9.81 9.81 9.81
-
对比:精确式: Δ V \Delta{V} ΔV= π ( r + d ) 2 ( h + d ) \pi(r+d)^2(h+d) π(r+d)2(h+d)- π r 2 h 2 \pi{r^2}h^2 πr2h2
-
例
- 以较高的精度估算
z
=
(
1.04
)
2.02
z=(1.04)^{2.02}
z=(1.04)2.02
- 令 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= x y x^y xy
- 则
z
=
f
(
1.04
,
2.02
)
=
f
(
1
+
0.04
,
2
+
0.02
)
z=f(1.04,2.02)=f(1+0.04,2+0.02)
z=f(1.04,2.02)=f(1+0.04,2+0.02)
≈
\approx
≈
d
z
∣
(
1
,
2
)
+
f
(
1
,
2
)
\mathrm{d}z|_{(1,2)}+f(1,2)
dz∣(1,2)+f(1,2)
- d x = 0.04 \mathrm{d}x=0.04 dx=0.04; d y = 0.02 \mathrm{d}y=0.02 dy=0.02
- d z ∣ ( 1 , 2 ) \mathrm{d}z|_{(1,2)} dz∣(1,2)= f x ( 1 , 2 ) d x f_{x}(1,2)\mathrm{d}x fx(1,2)dx+ f y ( 1 , 2 ) d y f_{y}(1,2)\mathrm{d}y fy(1,2)dy= 2 × 0.04 + 0 2\times{0.04}+0 2×0.04+0= 0.08 0.08 0.08
- f ( 1 , 2 ) f(1,2) f(1,2)= 1 1 1
- 所以 z ≈ 1.08 z\approx{1.08} z≈1.08
【推荐】国内首个AI IDE，深度理解中文开发场景，立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验，更懂你的AI，立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包，你的智能百科全书，全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell：AI 加持，快人一步
· 分享4款.NET开源、免费、实用的商城系统
· 全程不用写代码，我用AI程序员写了一个飞机大战
· MongoDB 8.0这个新功能碉堡了，比商业数据库还牛
· 记一次.NET内存居高不下排查解决与启示
· 白话解读 Dapr 1.15：你的「微服务管家」又秀新绝活了