AM@连续@间断点

文章目录

• • abstract
  • 增量
  • 变量增量
  • • 函数增量
    • 变量用定点和增量表示
  • 连续
  • • 点连续
    • 左连续
    • 右连续
    • 区间内连续
    • 闭区间端点连续
    • 连续函数的图形
    • 常见连续函数
    • 例
  • 间断点
  • • 第一类间断点
    • • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点

abstract

• 增量的概念
• 一元函数连续和间断点概念和分类

增量

变量增量

• 设变量$u$从它的一个初始值$u_1$变换到终值$u_2$,则$u_2-u_1$称为变量$u$的增量,记为$\Delta u=u_2-u_1$
• 增量可以正的,也可以时负的
  • $\Delta u>0$表示变量$u$从$u_1\to u_2=u_1+\Delta u_1$时是增大的
  • 否则$u_1\to u_2$是减小的
• 记号说明$\Delta u$是一个整体,而是不可分割的记号

函数增量

• 假定$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义,则当$x\to x_0+\Delta x$时,$f(x_0)\to f(x_0+\Delta x)$,因此函数值或因变量$f(x)$的对应增量为$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

• 习惯上称$\Delta y$为函数增量

变量用定点和增量表示

• 设$x=x_0+\Delta x$,那么$\Delta x\to 0$就是$x\to x_0$;
• 同时,$\Delta y$=$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$=$f(x)\to f(x_0)$,即$f(x)=f(x_0)+\Delta y$从而$\Delta y\to 0$就是$f(x)\to f(x_0)$,即$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$(0)

连续

• 若$\Delta x\to 0$时,函数的对应增量$\Delta y\to 0$,即
  • $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=0$(1)或$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$(2)
  • 则称$y=f(x)$在$x_0$处是连续的
• 上述分析可知,式(0),(1),(2),是相当的,通常习惯是用(0),该式更加接近一般的极限书写习惯

点连续

• 设$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域$(U(x_0))$内有定义,若式(0)(或(1)或(2))成立,则称**$y=f(x)$在点$x_0$连续**

  • (1,2,3)究竟使用哪种形式方便,需要具体分析
  • 式(0)指出:$y=f(x)$在$x\to x_0$时的极限存在且等于$f(x_0)$,则$f(x)$在$x_0$处连续(仅极限存在是不够的,还需要等于$f(x_0)$而不能是其他值)

• 并且,由式(0)容易将连续用"$ϵ-\delta$语言"表述:$f(x)$在点$x_0$ $\iff$ $\forall ϵ>0,\exists \delta >0$,当$|x-x_0|<\delta$时,$|f(x)-f(x_0)|<ϵ$

• Notes:

  • 几何的角度解释,就是$y=f(x)$在$x_0$处连续则$x_0$相邻的点$x_0+\delta$的函数值$f(x_0+\delta )$和$f(x_0)$要多接近有多接近
  • 和一般的自变量趋于$x_0$的极限表述不同的地方在于从去心邻域$\mathring{U}(x_0,\delta )$变成非去心邻域$U(x_0,\delta )$,因为连续要求$x=x_0$有定义

左连续

• 若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0^{-})$存在且等于$f(x_0)$,即$f(x_0^{-})=f(x_0)$,则$f(x)$在点$x_0$左连续

右连续

• 类似的,$f(x_0^{+})=f(x_0)$,则$f(x)$在$x_0$右连续

区间内连续

• 若$f(x)$在区间内每一点都连续,则称$f(x)$是在该区间上的连续函数,或说$f(x)$在该区间上连续

闭区间端点连续

• 若函数在闭区间上连续,则函数在区间右端点连续是指左连续,在左端点连续则是指右连续

连续函数的图形

• 连续函数的图形是一条连续而不断的曲线

常见连续函数

• 因为有理多项式函数定义域$(-\infty ,+\infty )$内的任意点处的极限都存在($\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$=$f(x_0)$),因此$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内是连续的
• 有理分式函数$F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$,$(Q(x)\ne 0)$类似的,在其定义域内任意点极限都存在,因而也是连续的

例

• $y=\sin x$在$(-\infty ,+\infty )$内是连续的

  • 设$x$是$(-\infty ,+\infty )$内任取的一点,则$\Delta y=\sin (x+\Delta x)-\sin x$

  • 由三角和差化积公式:$\Delta y=2\sin \frac{\Delta x}{2}\cos \frac{2x+\Delta x}{2}$

    • $|\cos \frac{2x+\Delta x}{2}|$=$|\cos (x+\frac{\Delta x}{2})|⩽1$
    • $2|\sin \frac{\Delta x}{2}||\cos \frac{2x+\Delta x}{2}|$ $⩽2|\sin \frac{\Delta x}{2}|\cdot 1$

  • $|\Delta y|$=$|2\sin \frac{\Delta x}{2}\cos \frac{2x+\Delta x}{2}|$=$2|\sin \frac{\Delta x}{2}||\cos \frac{2x+\Delta x}{2}|$ $⩽2|\sin \frac{\Delta x}{2}|$

  • 由不等式$|\sin \alpha |<|\alpha |$,$\alpha \in (-\infty ,+\infty )$,所以$2|\sin \frac{\Delta x}{2}|⩽2|\frac{\Delta x}{2}|=\Delta x$

  • 从而$0⩽|\Delta y|⩽|\Delta x|$

  • 当$x\to 0$,$|\Delta x|\to 0$,所以由夹逼准则,$|\Delta y|\to 0(\Delta x\to 0)$

  • 即$y=\sin x$在$(-\infty ,+\infty )$内连续

间断点

• 设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义,则$f(x)$在下列三种情形之一:

  1. $x=x_0$处无定义
  2. $x=x_0$处有定义,$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$不存在
  3. $x=x_0$处有定义,$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在但$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$

• 则称$f(x)$在$x_0$为不连续(其实3种情形归纳为一句话就是当$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$不成立)

• 点$x_0$称为函数$f(x)$的不连续点或间断点

第一类间断点

• 若$x_0$是函数$f(x)$的间断点,且左极限$f(x_0^{-})$和右极限$f(x_0^{+})$都存在,则$x_0$是$f(x)$的第一类间断点

可去间断点

• 第一类间断点中,左右极限都存在且相等$(f(x_0^{-})=f(x_0^{+})\ne f(x_0))$的间断点称为可去间断点

  • ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=f(x_0^{-})=A$
  • ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0^{+})=B$
  • $A=B$

• 换句话说:设$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义,若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在,但在$x=x_0$处无定义;或者虽然有定义,但不等于$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$(即$f(x_0)\ne \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$)

• 可去间断点是最好的间断点:可去间断点可通过补充间断点位置的点或者调整间断点处的定义,就能使得函数在该处变得连续

  • 例如$f(x)=\frac{\sin x}{x},(x\ne 0)$,$f(0)=1,(x=0)$,则$f(x)$连续($f(x)=\frac{\sin x}{x}$,在$x=0$处左右极限都为1)

• 例

  • $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }x=0,\\ x^2& \text{if }x\ne 0.\end{array}$$

  • $f(x)=x^2$,$(x\ne 0)$

跳跃间断点

• 第一类间断点中,左右极限都存在但不相等$(f(x_0^{-})\ne f(x_0^{+}))$的间断点称为跳跃间断点

  • 此时$f(x_0)$是否存在,存在时等于什么都无关

• 例

  • $$\mathrm{sgn}(x):=\{\begin{array}{ll}-1& \text{if }x<0,\\ 0& \text{if }x=0,\\ 1& \text{if }x>0.\end{array}$$

  • $$g(x)=\{\begin{array}{ll}-1& \text{if }x<0,\\ 1& \text{if }x>0.\end{array}$$

第二类间断点

• 第一类间断点以外的间断点属于第二类间断点,即

  • $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$和$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$至少有一个不存在,称$x=x_0$为$f(x)$的第二类间断点

• 例如无穷间断点和振荡间断点都是第二类间断点

  • 无穷间断点,例如:$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处为无穷间断点

  • 振荡间断点,例如:$g(x)=\sin \frac{1}{x}$,在$x=0$处为振荡间断点