math@python双阶乘@累乘的多种实现方式

• $$\begin{gathered} m!!=m(m-2)(m-4)\cdots =\prod _{i=0}^k(m-2i) \\ q=floor[\frac{m}{2}] \\ r=(m)\%2\in \{0,1\} \\ k=\{\begin{array}{l}q,r=1\\ q-1,r=0\end{array} \\ 熟悉计算机的同学,应该能够写出k展开式的简写形式 \\ k=q-1+r(r=1或0);从0开始计数 \end{gathered}$$

  • 上面两个k的展开式具有相同的效果,后者的好处是可以简化代码(不需要判断r的值)

  • 事实上,容易发现序列S=m,m-2,m-4,...是一个等差数列

    • $a_1=m$

    • $d=-2$

    • $a_k=a_1-2(k-1)$

      • 从1开始计数

    • 根据m的奇偶性,最后一项记为$a_k$

      • $a_k=1,m\%2=1$
      • $a_k=2,m\%2=0$
      • 合起来写,就是$a_k=2^{1-m\%2}$

    • $$\begin{gathered} 2(k-1)=a_1-a_k \\ k=\frac{a_1-a_k}{2}+1 \\ {k}_1=\frac{m-1}{2}+1=\frac{m+1}{2},m\%2=1 \\ {k}_2=\frac{m-2}{2}+1=\frac{m}{2},m\%2=0 \\ 合起来写 \\ k=ceil(\frac{m}{2});从1计数 \\ {k}_0=ceil(\frac{m}{2})-1=floor(\frac{m}{2})+m\%2-1;从0开始计数 \\ \lceil x\rceil =\{\begin{array}{ll}\lfloor x\rfloor =x,& x\in Z\\ \lfloor x\rfloor +1,& x\notin Z\end{array} \end{gathered}$$

地推关系

• $$m!!=m\cdot (m-2)!!$$

  • 从分割的角度,序列S包含的项数n可以这样确定
    • 相邻项的关系是$a_i=a_{i-1}-2$
  • 对于有限数列
    • 将第一项理解为,资源总量$a_1$
    • 第二项为每次消耗的固定量资源(d)
    • 那么数列的项数和第一项和公差的比值$\frac{a_1}{d}$有关

参考代码

• # importing functools for reduce()
  # import functools as ft
  from functools import reduce
   
   
  def df_reduce(n):
      l = range(n, 0, -2)
      res = reduce(lambda x, y: x * y, l)
      #     print("n=%-3d-->" % n, "{:-^30}".format(list_str), "product_res=%d" % res)
   
      return res
   
  def df_while(n):
      res = 1
      while (n > 0):
          res *= n
          n = n-2
      return res
   
   
  def product(x, y):
      return x*y
   
   
  def df_k(n):
      q = n//2
      r = n % 2
      k = q-1+r
      l = range(0, k+1)
      res_list = [n-2*i for i in l]
      res = reduce(product, res_list)
      return res
   
   
  def df_recursive(n):
      if (n == 1 or n == 2):
          return n
      return n*df_recursive(n-2)
   
   
  def df_print(df_fun, n):
      res = df_fun(n)
      print("n=%-3d-->" % n, "product_res=%d" % res)
   
   
  def df_reduce_print(n):
      df_print(df_reduce, n)
   
   
  def df_while_print(n):
      df_print(df_while, n)
   
  def df_k_print(n):
      df_print(df_k, n)
  def df_recursive_print(n):
      df_print(df_recursive, n)
  def test(df_implements):
      for df_fun in df_implements:
          print("{:*^70}".format(str(df_fun)))
          list(map(df_fun, test_list))
      
   
  ##
  test_list = [3, 4, 5, 8, 9, 16]
  if __name__ == "__main__":
      # res = list(map(df_while_print, test_list))
      df_implements = [df_k_print, df_while_print, df_reduce_print,df_recursive_print]
      test(df_implements)
      # list(map(df_recursive_print,test_list))
      # print(df_k(5))
   

• PS D:\repos\PythonLearn\scripts>  py double_factorial.py
  *************<function df_k_print at 0x00000194A7110160>**************
  n=3  --> product_res=3
  n=4  --> product_res=8
  n=5  --> product_res=15
  n=8  --> product_res=384
  n=9  --> product_res=945
  n=16 --> product_res=10321920
  ***********<function df_while_print at 0x00000194A71100D0>************
  n=3  --> product_res=3
  n=4  --> product_res=8
  n=5  --> product_res=15
  n=8  --> product_res=384
  n=9  --> product_res=945
  n=16 --> product_res=10321920
  ***********<function df_reduce_print at 0x00000194A7110040>***********
  n=3  --> product_res=3
  n=4  --> product_res=8
  n=5  --> product_res=15
  n=8  --> product_res=384
  n=9  --> product_res=945
  n=16 --> product_res=10321920
  *********<function df_recursive_print at 0x00000194A71101F0>**********
  n=3  --> product_res=3
  n=4  --> product_res=8
  n=5  --> product_res=15
  n=8  --> product_res=384
  n=9  --> product_res=945
  n=16 --> product_res=10321920
  PS D:\repos\PythonLearn\scripts>