常用逻辑用语@命题@猜想@量词@否命题和命题的否定@充要条件的证明步骤

文章目录

• 常用逻辑用语@命题@猜想@量词@充要条件的证明步骤
• • ref
  • 命题
  • 猜想
  • 量词
  • • 全称命题
    • 特称命题
  • 命题的否定🎈
  • • 全称量词和存在量词的否定
    • 全称量词命题与存在量词命题的否定
    • 归纳
  • 四种命题
  • • 互逆命题
    • • [原命题original proposition@逆命题inverse proposition]
    • 互否命题negative proposition
    • • 非运算符$\neg$
    • 逆否命题inverse and negative proposition
  • 小结🎈👺
  • • 四种命题的真假性🎈
    • 利用逆否命题求解证明问题
  • 区分@否命题@命题的否定@逆命题🎈
  • 充分条件@必要条件
  • • 条件与结论
    • • 4种等价形式🎈
      • 不常见说法
      • 推出@被推出🎈
  • 充要条件@等价@当且仅当🎈
  • • 充要条件类证明题的证明步骤😎
  • 逻辑联结词🎈
  • • 且或非@交并补
  • 逻辑用语结构总结

常用逻辑用语@命题@猜想@量词@充要条件的证明步骤

ref

• book/高中数学选修(人教A版)电子书2-1.pdf at master · linhuic99/book (github.com)
• 1.1命题及其关系_人教版高中数学选修2-1_高中课本-中学课本网 (szxuexiao.com)
• 命题的否定_百度百科 (baidu.com)

命题

• 类似“对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题
• 而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题
• 数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达。
  • 例如，命题“9的算术平方根是3”可表示为“$\sqrt{9}=3$”
• 一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，
• 也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.

猜想

• 实际上，数学界中，有一些命题至今还没有人能判新真假，比如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和”，到目前为止数学家们还不能肯定它是一个真命题还是一个假命题。
  • 通常，未能得到真假判断的命题称为猜想。
  • 前面提到的这个命题是数学家哥德巴赫提出来的，所以称为哥德巴赫猜想，在数学和其他学科的研究中，如果有人能解决一个大家都认为很难的猜想，那是一件非常了不起的事情.

量词

全称命题

• 一般的,“任意”,“所有”,"每一个"在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号$\forall$表示

• 含有全程量词的命题称为全称量词命题,简称为全称命题

  • 他们形如:$对集合M中的所有元素x,满足:r(x)$的命题,可以简记为

    • $$\forall x\in M,r(x)$$

    • 例如:$\forall x,x^2⩾0$

特称命题

• “存在”,“有”,“至少”,在陈述中表示所述个体或部分,称为存在量词,用符号$\exists$表示

• 含有存在量词的命题,称为存在量词命题,或称为特称命题

  • 简记为:

    • $$\exists x\in M,s(x)$$

    • 例如:$\exists x\in Q,3x-2=0$

命题的否定🎈

• 命题的否定就是对这个命题的真值进行取反;有时简称为"命题否定"

• 命题的否定,即原命题的真值取反("原命题"与其"命题的否定"具有相反的真假性)

• 英文资料中,命题的否定称为Negation,国内将negative proposition最为"否命题"而不是命题否定

• google词典:中的解释:Truth Negation

  • a proposition whose assertion specifically denies the truth of another proposition.

  • “the negation of A is, briefly, ‘not A’”

• 命题的否定与原命题真假性相反。

  • 如果一个命题p是真命题,那么这个命题的否定$\neg p$就是假命题

  • 反之亦然

全称量词和存在量词的否定

• 一般地,对命题$p$加以否定,就得到一个新的命题,记为$\neg p$
  • 读作:“非$p$”,或"$p的否定$"
• 这部分会在逻辑联结词小节再次提到

全称量词命题与存在量词命题的否定

• 如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定?

• 若记s：“存在整数是自然数”，这个命题的否定是$\neg s$:"不存在整数是自然数”。

• 这里的命题s实际上是个存在量词命题，而且可以用符号表示为

  • $$\begin{gathered} s:\exists x\in Z,x\in N \\ \neg s:\forall x\in Z,x\notin N \end{gathered}$$

归纳

• 存在量词命题$p:\exists x\in M,p(x)$的否定是全称量词命题$\neg p:\forall x\in M,\neg p(x)$

  • 若记$q=\neg p$,则p的否定命题可以记为$q:\forall x\in M,q(x)$

• 全称量词命题$s:\forall x\in M,s(x)$的否定是存在量词命题$\neg s:\exists x\in M,\neg s(x)$

四种命题

互逆命题

[原命题original proposition@逆命题inverse proposition]

• 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。(互逆命题之间的条件和结论是对调位置的)
• 其中一个命题叫做原命题（original proposition),另一个叫做原命题的逆命题(inverse proposition)
• 也就是说，如果原命题为"$若p则q$",对应的逆命题为"$若q则p$"
• 例如
  • 将命题“同位角相等，两直线平行”的条件和结论互换，就得到它的逆命题“两直线平行，同位角相等”。

互否命题negative proposition

• 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。

• 如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题(negative proposition).

• 如果原命题为$若p则q$,否命题为$若\neg p,则\neg q$

• 例如:

  • 如果原命题是“同位角相等，两直线平行”，那么它的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”

非运算符$\neg$

• 为了书写简便,通常将条件p的否定和结论q的否定,分别记为$\neg p,\neg q$,分别读作"非p"和"非q"
• 非运算符$\neg$也成为否定运算符

逆否命题inverse and negative proposition

• ref

  • 逆否命题_百度百科 (baidu.com)
  • 逆否命题 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)
  • book/高中数学选修(人教A版)电子书2-1.pdf at master · linhuic99/book (github.com)

• 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

  • 如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题(inverse and negative proposition).
  • 也就是说，如果原命题为$若p则q$,逆否命题为$若\neg q则\neg p$

• 例

  • 如果原命题是“同位角相等，两直线平行”，那么它的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”

• 逆否命题（英语：contrapositive)是逻辑和数学的一种结构变换推理，一般用于在逻辑等价的前提下改变条件命题的结构。

  • 逆否命题也用于对位证明法（英语：proof by contrapositive）。
  • 逆否定将前件与后件否定和互逆。

小结🎈👺

• 一般的,原命题,否命题,逆命题,逆否命题间的关系

  • 

  • 若$f(x)$是正弦函数，则$f(x)$是周期函数；(原:真)

    1. 若$f(x)$是周期函数，则$f(x)$是正弦函数；(逆:假)
    2. 若$f(x)$不是正弦函数，则$f(x)$不是周期函数；(否:假)
    3. 若$f(x)$不是周期函数，则$f(x)$不是正弦函数。(逆否:真)
    4. 若$f(x)$是正弦函数,则$f(x)$不是周期函数(原命题的否定:假)

  • 例

    1. $a=0,则a^2=0(原:真)$
    2. $a^2=0,则a=0(逆:真)$
    3. $a\ne 0,则a^2\ne 0(否:真)$
    4. $a^2\ne 0$则$a\ne 0$(逆否:真)
    5. 原命题的否定:$a=0,则a^2\ne 0$(假命题)

四种命题的真假性🎈

• 一般地，四种命题的真假性，有而且仅有下面四种情况：

  • 原命题	逆命题	否命题	;	逆否命题	命题的否定
    真	真	真	;	真	假
    真	假	假	;	真	假
    假	真	真	;	假	真
    假	假	假	;	假	真

• 由于逆命题和否命题也是"互为逆否命题"，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：

  • (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性：
  • (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系

• 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性

利用逆否命题求解证明问题

• 所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

  • 例
    • 证明:命题A:若$x^2+y^2=0则x=y=0$
    • 可以考虑证明命题A逆否命题IN(A):$若x,y至少一个不等0,则x^2+y^2\ne 0$
    • 证:
      • 若x,y至少一个不为0,(不妨设$x\ne 0$),则$x^2>0$,又因为$y^2⩾0$从而$x^2+y^2>0$
      • 这于已知条件$x^2+y^2=0$矛盾,所以x=y=0
      • 所以IN(A)为真命题
      • 所以原命题A也为真命题

区分@否命题@命题的否定@逆命题🎈

• 假设一个命题包括条件和结论两个部分

  • 否定动作可以对命题执行;也可以对构成命题的条件和结论执行,具有不同的含义

• 否命题:同时否定原命题的"条件和结论"

• 命题的否定:只否定该命题的"结论"(是命题结论的否定的简称)

• Note1:

  • 互为否命题的两个命题真假性没有关系
  • 相互否定的命题具有相反的真假性

充分条件@必要条件

• 充分条件和必要条件都是对于真命题而言的

条件与结论

• 在形式命题s:"如果p,那么q"的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论

  • 上述命题也可以简称:若p则q
  • 如果s是一个真命题,称由p可以推出q,记为:$p\Rightarrow q$
  • 如果s是假命题($\neg s$是真命题),称p推不出q,记为:$p\nRightarrow q$
  • 条件和结论从形式上看没有明显区别,有时可以交换角色构成逆命题🎈

• 例如:

  • $$\begin{gathered} 命题s:若x=-y,则x^2=y^2,该命题是一个真命题 \\ 命题r:若x^2=y^2则x=-y,该命题是一个假命题 \\ 可以看出命题r,s的条件和结论互换! \end{gathered}$$

• 对于真命题$s:若p则q$,(即$p\Rightarrow q$)时,称

  • p是q的充分条件(sufficient condition)
  • q是p的必要条件(necessary condition)
  • q是p可推出的一个结论

4种等价形式🎈

• 以下四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已

  • “如果p,那么g”是真命题，

  • $p\Rightarrow q$,(p推出q)

  • p是q的充分条件

    • 这不同于说q的充分条件是p.例如,1是小于2的数,但小于2的数不一定是1(还可以是其他数)

  • q是p的必要条件

    • 也不同于说p的必要条件是q

不常见说法

• p的必要条件是q,
  • 常说"q是p的必要条件(之一)"
• p的充分条件是q,
  • 常说:q是p的(一个)充分条件

推出@被推出🎈

• 对于真命题s:“$p\Rightarrow q$”,可以将$\Rightarrow$称为推出
  • 即由p推出q
  • 紧条件p可以推出松条件q,
  • 紧条件的必要条件是松条件
    • 紧条件对应充分条件
    • 松条件对应必要条件
    • 可以用Venn图描述.$Q\subseteq P$,则P是Q的必要条件,Q是P的充分条件

充要条件@等价@当且仅当🎈

• 如果"$p\Rightarrow q且q\Rightarrow p$"则称p是q充分必要条件(充要条件);

  • 此时也称"p与q等价",可以记为$p\iff q$
  • 若$p\iff q$,则p,q互为充要条件
  • $q当且仅当p$

• 例如:

  • $$\begin{gathered} x\in Q\Rightarrow x\in R且x\in R\nRightarrow x\in Q \\ 记p:x\in Q,q:x\in R \end{gathered}$$

  • p是q的充分不必要

  • q是p的必要不充分条件

充要条件类证明题的证明步骤😎

• 若要证明:命题s:p是q的充要条件
  • 将上述命题s用符号表示:$p\Rightarrow q,q\Rightarrow p$,只需要从上述两个方向证明即可
• 对于等价的p,q,它们的充分性和必要性的区分不是必须的
  • 充分性证明:$p\Rightarrow q$
  • 必要性证明:$q\Rightarrow p$
• Note
  • p是q的充分条件(若p则q)
  • p是q的必要条件(若q则p)
• 判断p是否是q的充分条件,等价于判断:$p\Rightarrow q$是否成立
• 判断p是否是q的必要条件,等价于判断:p是否能够由q推出($q\Rightarrow p$是否成立)
• 另一类常用的描述方式是:“q的充要条件是p”
  • 这种方式将结论放在前面,将条件放在后面,在证明的时候可以:
    • 先证明条件的充分性($p\Rightarrow q$)
    • 再证明条件的必要性($q\Rightarrow p$)

逻辑联结词🎈

• 且:记为$\wedge$

• 或:记为$\vee$

• 否(非):记为$\neg$

  • 一般地,对一个命题p的全盘否定,就得到一个新命题,记为$\neg p$,(区别于否命题)
  • $p$和$\neg p$具有相反的真假性($p\wedge \neg p$必为假命题,$p\vee \neg p$必为真命题)

• 当$p,q$都是真命题时,$p\wedge q$时真命题

• 当$p,q$中至少一个是假命题,则$p\wedge q$是假命题

• 当p,q中有一个真命题,则$p\wedge q$是真命题

• 当$p,q$都是假命题时,$p\vee q$为假

• p	q	$p\wedge q$	$p\vee q$
  T	T	T	T
  T	F	F	T
  F	T	F	T
  F	F	F	F

  • T代表真命题,F代表假命题

且或非@交并补

• 且,或,非分别对应的是集合中的交,并,补

逻辑用语结构总结

• 常用逻辑用语
  • 命题及其关系
  • 推到关系
    • 充分条件
    • 必要条件
    • 充要条件
  • 简单逻辑联结词
    • 且
    • 或
    • 非
  • 量词
    • 全称量词
    • 存在量词