LA@向量组@线性组合

文章目录

• • 向量组
  • • 向量组集合操作
  • 向量组和矩阵的关系
  • • 线性组合
    • 线性表出(线性表示)
    • 线性表示与线性方程组
    • n维单位向量

向量组

• 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所构成的集合称为向量组
  • 向量组内的向量都是行向量或者都是列向量,分别称为行向量组和列向量组
  • 向量组内的向量调整位置顺序,仍然认为是同一个向量组
• 例如:一个$m\times n$的矩阵$A$它的:
  • 全体列向量是一个含有$n$个$m$维列向量的向量组
  • 全体行向量是一个含有$m$个$n$维行向量的向量组
• 例如:线性方程组$A_{m\times n}\mathbf{x}=0$,当$R(A)<n$时具有无穷多解,其全体解是一个无限多个$n$维列向量的向量组

向量组集合操作

• 由于向量组是集合,所以像向量组$A$添加一个向量$\beta$可以表示为$A_1=A\cup \beta$
• 类似的,从$A$中去掉向量$\gamma$可以表示为$A_2=A-\{\gamma \}$;从$A$中去掉一个部分组$B$可以表示为$A_3=A-B$

向量组和矩阵的关系

• 矩阵的列向量组和行向量组都是含有有限个向量的向量组;
• 反之,一个含有有限个向量的向量组可以构成一个矩阵
• 含有有限个向量的有序向量组可以和矩阵一一对应
  • 但是向量组不能够直接等同于矩阵
  • 通常含有列向量${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_m$的向量组记为$X:{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_m$,$X$对应的矩阵记为$\mathbf{X}=(X)=({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_m)$,(注意到这里用的时粗体的$\mathbf{X}$表示矩阵,为了书写方便,在联系上下文不引起混淆的情况下,有时仍然使用$X$表示矩阵)
  • 含有行向量${\mathbf{x}}_1^T,{\mathbf{x}}_2^T,\cdots ,{\mathbf{x}}_m^T$的向量记为$X:{\mathbf{x}}_1^T,{\mathbf{x}}_2^T,\cdots ,{\mathbf{x}}_m^T$;$X$对应的矩阵记为$\mathbf{X}=(X)=({\mathbf{x}}_1^T,{\mathbf{x}}_2^T,\cdots ,{\mathbf{x}}_m^T{)}^T$
• $m$个$n$维列向量构成的向量组$A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$对应于一个$n\times m$的矩阵:$A=({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m)$(分块矩阵表示法)
• $m$个$n$维行向量构成的向量组$B:{\mathbf{b}}_1^T,{\mathbf{b}}_2^T,\cdots ,{\mathbf{b}}_m^T$对应于一个$n\times m$的矩阵:$B=({\mathbf{b}}_1^T,{\mathbf{b}}_2^T,\cdots ,{\mathbf{b}}_m^T{)}^T$(分块矩阵表示法)

线性组合

• 给定向量组$A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$,对于任何一组实数$k_1,k_2,\cdots ,k_m$,表达式$S=\sum _{i=1}^m{k}_i{\mathbf{a}}_i$称为$A$的一个线性组合;
• 其中$k_1,\cdots ,k_m$称为这个线性组合的系数(组合系数或表出系数)
• 零向量是任意一个向量组的线性组合(取表出系数全为0,$K=0$,则$0=\sum _{i=1}^{s}0{\alpha }_i$)

线性表出(线性表示)

• 给定向量组$A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$和向量$\mathbf{b}$,若存在${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$使得$\mathbf{b}={\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{\mathbf{a}}_i$;则$\mathbf{b}$是向量组$A$的线性组合
• 这时称向量$\mathbf{b}$能由向量组$A$线性表示

线性表示与线性方程组

• 向量$\mathbf{b}$能被$A$线性表示,即向量方程$\mathbf{b}={\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{\mathbf{a}}_i$有解;

• 设$A$是$n\times m$的,这个方程可以展开为

  • $$\mathbf{b}=\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{\mathbf{a}}_i=\sum _{i=1}^m{\lambda }_i\left(\begin{array}{c}{a}_{1i}\\ a_{2i}\\ ⋮\\ a_{ni}\end{array}\right)=\sum _{i=1}^m\left(\begin{array}{c}{\lambda }_i{a}_{1i}\\ {\lambda }_i{a}_{2i}\\ ⋮\\ {\lambda }_i{a}_{ni}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{a}_{1i}\\ {\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{a}_{2i}\\ ⋮\\ {\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{a}_{ni}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

  • 即${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{a}_{ki}=b_k$,$k=1,2,\cdots ,n$

• 可见这个方程恰好等价线性方程组:$A\mathbf{\lambda }=\mathbf{b}$,其中$\mathbf{\lambda }$=$({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n{)}^T$作为未知数矩阵

• $A\mathbf{\lambda }=\mathbf{b}$有解 $\iff$ $\mathbf{b}$可以被$A$线性表示 $\iff$ $R(A)=R(A,\mathbf{b})$

n维单位向量

• $$\begin{gathered} {\epsilon }_i=(c_1,\cdots ,c_i,\cdots ,c_n)=(0,\cdots ,1,\cdots ,0), \\ 其中c_k=\{\begin{array}{ll}1,& (k=i)\\ 0,& (k\ne i)\end{array}k=1,2,\cdots ,n \\ i=1,2,\cdots ,n \end{gathered}$$

  • 任意一个向量$\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=\sum _{i=1}^n{a}_i{\epsilon }_i$