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文章目录

• • 求和式乘法
  • • • S展开后的项数
      • 每一项的基本因子(即$a_{ij}$)构成
      • 多重求和号要和乘法区别
    • 二项式乘积展开项相关问题
    • 应用
  • 求和中的对称性
  • refs
  • • 多项式相关内容

求和式乘法

• $$\begin{array}{rl}S=& \prod _{j=1}^m{\left(\sum _{k=1}^{n_j}{a}_{jk}\right)}_j\\ =& \sum _{i_1=1}^{n_1}\sum _{i_2=1}^{n_2}\cdots \sum _{i_m=1}^{n_m}(\prod _{k=1}^m{a}_{k,i_k})\end{array}$$

• 分析这个表达式,可以从以下几个方面入手

S展开后的项数

不做任何合并项操作和值为零的项的省略

• 首先,乘法对加法满足分配律关系:$a(b+c)=ab+ac$,利用该规律展开多项式之间的乘法

• $S=(a_1+a_2)(b_1+b_2)$

  • 可以记$B=b_1+b_2$

• $S=a_{1}B+a_{2}B=a_1(b_1+b_2)+a_2(b_1+b_2)=a_1{b}_1+a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_2{b}_2$

  • 共有4项

  • $S=(a_1+\cdots +a_m)(b_1+\cdots +b_n)=({\sum }_{i=1}^m{a}_i)({\sum }_{i=1}^n{b}_i)$

    • 记$B={\sum }_{i=1}^n{b}_i$

• $S=({\sum }_{i=1}^m{a}_i)B={\sum }_i^{m}B{a}_i$

  • 其中$B{a}_i={\sum }_{j=1}^n{b}_j{a}_i$,代入S,$S={\sum }_i^m({\sum }_j^n{b}_j{a}_i)$=${\sum }_i^m{\sum }_j^n{b}_j{a}_i$,共有$n\times m$项

  • 把这个结果记为$S_{AB}$,反复运用这个阶段的结论,可以得到下面的结论

  • $S=(a_1+\cdots +a_{n_1})(b_1+\cdots +b_{n_2})(c_1+\cdots +c_{n_3})=({\sum }_{i=1}^{n_1}{a}_i)({\sum }_{i=1}^{n_2}{b}_i)({\sum }_{i=1}^{n_3}{c}_i)$

    • $S=ABC=(AB)C$

    • $$S=\sum _{i_1=1}^{n_1}\sum _{i_2=1}^{n_2}\sum _{i_3=1}^{n_3}{a}_{i_1}{b}_{i_2}{c}_{i_3}$$

    • 因此有S有$(n_1\times n_2)\times n_3$项

  • 更一般的,对于:

    • $$\begin{array}{rl}S=& \prod _{j=1}^m{\left(\sum _{k=1}^{n_j}{a}_{jk}\right)}_j\\ =& (\sum _{k=1}^{n_1}{a}_{1k})(\sum _{k=1}^{n_2}{a}_{2k})\cdots (\sum _{k=1}^{n_m}{a}_{mk})\\ =& \sum _{i_1=1}^{n_1}\sum _{i_2=1}^{n_2}\cdots \sum _{i_m=1}^{n_m}{a}_{1i_1}{a}_{2i_2}\cdots a_{m{i}_m}\\ =& \sum _{i_1=1}^{n_1}\sum _{i_2=1}^{n_2}\cdots \sum _{i_m=1}^{n_m}(\prod _{k=1}^m{a}_{k,i_k})\end{array}$$

      • 记号说明:对于$a_{k,i_k}$其中:

        • k表示第k组求和式,$k=1,2,\cdots ,m$(比如前面说的$A,B,\cdots$)

        • $i_k$表示第k组求和式($a_{k1}+a_{k2}+\cdots +a_{k,n_k}$)中的第$i_k$个元素($i_k=1,2,\cdots ,n_k$)

    • S的项数为$\prod _{j=1}^m{n}_j$

  • 例如

    • 常见形式$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$,标准的展开方法,而不需要再由乘法对加法的分配律来展开

    • 例如$(a_{11}+a_{12})(a_{21}+a_{21})(a_{31}+a_{32})$,展开后有$2\times 2\times 2=8$项

      • $$\begin{gathered} a_{11}{a}_{21}{a}_{31}+a_{11}{a}_{21}{a}_{32}+a_{11}{a}_{22}{a}_{31}+a_{11}{a}_{22}{a}_{32} \\ +a_{12}{a}_{21}{a}_{31}+a_{12}{a}_{21}{a}_{32}+a_{12}{a}_{22}{a}_{31}+a_{12}{a}_{22}{a}_{32} \end{gathered}$$

每一项的基本因子(即$a_{ij}$)构成

• 根据上一问的讨论,可以知道每一项由m个元素构成

• 并且任意2组中的任意2个元素都一定有且只有相乘(构成一个项),

• 项$({\prod }_{k=1}^m{a}_{k,i_k})$的构成中可以看出项的m个因子一定来自不同的求和组

多重求和号要和乘法区别

• 例如

  • $$\sum _i^m\sum _j^n{a}_{ij}=\sum _j^n\sum _i^m{a}_{ij}$$

    • 应该要把$\sum _i^n\sum _j^m$看作一个整体符号,而不是$(\sum _i^n)(\sum _j^m)$
    • 上面这个式子可以完成矩阵$(a_{ij}{)}_{m\times n}$的所有元素求和,第一个是按行求和,第二个是按列求和

  • 求和号的结构

    • $\sum _{i=1}^n{a}_i$
    • $i$是求和指标,通常可以是任意字母(但是注意在求和项比较复杂时要选用不会导致混淆的字母作为指标)
      • 例如矩阵元素求和

  • 当相加的数具有多个指标的时候,可以用多重连加号(求和号)

    • $$\sum _{i+j+k=t}{a}_i{b}_j{c}_k=\sum _{i+r=t}\sum _{j+k=r}{a}_i{b}_j{c}_k$$

二项式乘积展开项相关问题

• $f(x)={\prod }_{i=1}^n(x+a_i)$,则$f(x)$的k次项的系数$c_k$为?
  • $c_n$=$1$
  • $c_{n-1}={\sum }_{i=1}^n{a}_i$
  • $c_{n-2}$=${\sum }_{i_1\ne i_2}{a}_{i_1}{a}_{i_2}=a_1{a}_2+\cdots +a_1{a}_n+\cdots +a_{n-1}{a}_n$
  • $\cdots$
  • $c_k={\sum }_{|set(i_1,i_2,\cdots ,i_k)|=k}{a}_{i_1}{a}_{i_2}\cdots a_{i_k}$,$set$表示取集合,$|set(i_1,i_2,\cdots ,i_k)|=k$表示$i_1,i_2,\cdots ,i_k$是不相同的k个数

应用

• 可以用来确定m此项的系数

• 例如

  • $$f(x)=\sum _i^n(x+a_i)$$

  • 将$f(x)$展开合并同类项后

    • 那么$x^{n-1}$的系数是多少?

      • $f(x)$是一个n次多项式
      • 在合并同类项之前,包含$x^{n-1}$的项有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{n}\right)$项
      • 它们的系数分别是$a_1,\cdots ,a_n$

    • $x^3$的系数又是多少?

      • $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$,这些项的系数分别是${\prod }_{i\in P_3}{a}_i$
        • 其中$P_r$表示对$a_1,\cdots ,a_n$做$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-r}\right)$的排列(本例中r=3)

    • 一般的,$x^r$的系数是

      • $$\begin{gathered} \sum _i^{n_r}(\prod _{i\in P_r}{a}_i) \\ 其中:n_r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right) \end{gathered}$$

  • 例如$(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x+2)(x+3)=x^3+6x^2+11x+6$

    • $x$的系数
      • $n_r=3$
      • $(2\times 3)+(1\times 3)+(1\times 2)=11$
    • $x^2$的系数为
      • $n_r=3$
      • $3+1+2=6$

求和中的对称性

$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^{i=n}{a}^i{b}^{n-i}=\sum _{i=0}^{i=n}{a}^{n-i}{b}^i \\ LHS=a^0{b}^n+a^1{b}^{n-1}+\cdots +a^{n-1}{b}^1+a^n{b}^0 \\ RHS=a^n{b}^0+a^{n-1}{b}^1+\cdots +a^1{b}^{n-1}+a^0{b}^n \end{gathered}$$

• 对比上述的$LHS\&RHS$,不难发现,LHS中的各项时RHS中各项顺序互为逆序,而互为逆序的两个数列各自的求和结果显然一致,即$HLS=RHS$
• 对称性需要保证a的指数和b的指数之和为n:$(i+(n-i)=n)$
• 求和式的各个项(term)的两个幂因子($a^i{b}^j)$(其中$i+j=n$(常数)),换句话说,确定了$i,j=n-i$这个值也就被唯一确定了(两个项如果有相同的幂因子($a^i$),则这两个项相等(在当前的上下文语境中,两个项来自于不同的两侧),
• 为此,我们考察求和的对称性的时候,只需要专注于项的第一个幂因子($a^i$),发现,仅仅只有累加的顺序不同,因此式子左边和右边式相等

refs

多项式相关内容

• 非数学专业的同学可能对多项式的认识比较薄弱,可以参考高等代数教材学习"多项式"章节的相关内容
• wikipedia多项式相关主题:
  • 多项式 (wikipedia.org)
  • Polynomial - Wikipedia