LA@复矩阵及其运算性质@实对称阵相关定理以及实对称阵的对角化

文章目录

• • 复矩阵和复向量
  • • 共轭矩阵
    • • 复矩阵共轭运算的性质
  • 定理
  • • 实对称阵的特征值都是实数
    • 对称阵的关于不同特征值的特征向量彼此正交
    • 实对称阵可以对角化👺
    • 存在对角化变换正交阵的矩阵是对称阵
    • 实对称阵特征值和特征向量性质定理👺
    • $n$阶实对称阵有$n$个正交单位特征向量
  • 例

复矩阵和复向量

• 元素是复数的矩阵和向量分别称为复矩阵和复向量

共轭矩阵

• 设$a_{ij}$是复数,$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n},\overline{\mathbf{A}}=(\overline{a_{ij}}{)}_{m\times n}$,$\overline{a_{ij}}$和$a_{ij}$互为共轭复数,则称$\mathbf{A},\overline{\mathbf{A}}$互为共轭矩阵
• 设下列讨论的矩阵$\mathbf{B}$是$n\times l$的

复矩阵共轭运算的性质

• $\overline{\overline{\mathbf{A}}}=\mathbf{A}$

• $\overline{{\mathbf{A}}^T}={\overline{\mathbf{A}}}^T$

• 如果$\mathbf{A}$是实矩阵,则$\overline{\mathbf{A}}=\mathbf{A}$

• 如果$\mathbf{A}$是实对称阵,则$\overline{{\mathbf{A}}^T}=\mathbf{A}$

  • 对称阵:${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$
  • $\overline{{\mathbf{A}}^T}=\overline{\mathbf{A}}=\mathbf{A}$

• $\overline{k\mathbf{A}}=\bar{k}\overline{\mathbf{A}}$

  • $\overline{kz}=\overline{k}\overline{z}$
  • $k,z\in \mathbb{C}$

• $\overline{\mathbf{A}+\mathbf{B}}=\overline{\mathbf{A}}+\overline{\mathbf{B}}$

• $\overline{\mathbf{AB}}$=$\overline{\mathbf{A}}\overline{\mathbf{B}}$

  • 证明:根据矩阵乘的元素计算公式
  • 分别记$\overline{\mathbf{AB}}=\overline{\mathbf{C}}$=$(\overline{c_{ij}}{)}_{m\times l}$;$\overline{\mathbf{A}}\overline{\mathbf{B}}=\overline{\mathbf{D}}$=$(\overline{d_{ij}}{)}_{m\times l}$
  • $\overline{c_{ij}}$=$\overline{{\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}}$
  • $\overline{d_{ij}}$=${\sum }_{k=1}^n\overline{a_{ik}}\overline{b_{kj}}$=${\sum }_{k=1}^n\overline{a_{ik}{b}_{kj}}$=$\overline{{\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}}$
  • 显然$\overline{c_{ij}}=\overline{d_{ij}}$,所以公式成立

• $\overline{(\mathbf{AB}{)}^T}=\overline{{\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T}=\overline{{\mathbf{B}}^T}\overline{{\mathbf{A}}^T}$

• 注意公式的逆用

  • $\overline{\mathbf{A}}+\overline{\mathbf{B}}=\overline{\mathbf{A}+\mathbf{B}}$
  • $\bar{\mathbf{A}}\bar{\mathbf{B}}=\overline{\mathbf{AB}}$

• 若$\mathbf{A}$可逆,则$\overline{{\mathbf{A}}^{-1}}$=$(\overline{\mathbf{A}}{)}^{-1}$

  • $$\begin{gathered} \overline{\mathbf{A}}(\overline{\mathbf{A}}{)}^{-1}=\mathbf{E} \\ \overline{\mathbf{A}}(\overline{{\mathbf{A}}^{-1}})=\overline{\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}}=\overline{\mathbf{E}}=\mathbf{E} \end{gathered}$$

• $|\overline{\mathbf{A}}|=\overline{|\mathbf{A}|}$

  • $$|\overline{\mathbf{A}}|=\sum _{j_1\cdots j_n}{(-1)}^{\tau (j_1\cdots j_n)}\prod _{i=1}^n\overline{a_{i{j}_i}}=\overline{\sum _{j_1\cdots j_n}{(-1)}^{\tau (j_1\cdots j_n)}\prod _{i=1}^n{a}_{i{j}_i}}=\overline{|\mathbf{A}|}$$

  • 即共轭方阵的行列式是共轭的

定理

实对称阵的特征值都是实数

• 实对称阵的特征值都是实数
• 证明:

  • 设$\lambda$是实对称阵$\mathbf{A}$的任意一个特征值$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$(0),$\alpha \ne 0$

    • 特征向量的共轭向量也不为零向量$\bar{\alpha }\ne 0$
    • $(\bar{\alpha }{)}^T\alpha ={\sum }_i^n(a_i^2+b_i^2)>0$
    • 因为$\mathbf{A}$是实对称阵$\overline{\mathbf{A}}=\mathbf{A}$,
    • ${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$;$(\overline{\mathbf{A}}{)}^T=\overline{{\mathbf{A}}^T}$

  • 只需要证明$\bar{\lambda }=\lambda$,就能说明$\lambda$是实数

  • 对(0)两边同时左乘${\overline{\alpha }}^T$,得到$(\bar{\alpha }{)}^{\mathbf{T}}(\mathbf{A}\alpha )$=$\lambda (\overline{\alpha }{)}^T\alpha$(1)

    • $(\bar{\alpha }{)}^{\mathbf{T}}(\mathbf{A}\alpha )$=$(\bar{\alpha }{)}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\alpha$=$(\mathbf{A}\bar{\alpha }{)}^{\mathbf{T}}\alpha$=$(\bar{\mathbf{A}}\bar{\alpha }{)}^{\mathbf{T}}\alpha$=$(\overline{\mathbf{A}\alpha }{)}^{\mathbf{T}}\alpha$(2)

  • 用$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$代入(3),得$(\bar{\alpha }{)}^{\mathbf{T}}(\mathbf{A}\alpha )$=$(\overline{\lambda \alpha }{)}^T\alpha$=$\overline{\lambda }(\bar{\alpha }{)}^T\alpha$(3)

    • 比较(1),(3):$\lambda (\overline{\alpha }{)}^T\alpha$=$\overline{\lambda }(\bar{\alpha }{)}^T\alpha$
    • $(\lambda -\bar{\lambda })(\bar{\alpha }{)}^T\alpha =0$
    • $(\bar{\alpha }{)}^T\alpha >0$,所以$\lambda -\bar{\lambda }=0$,即$\lambda =\bar{\lambda }$

Note:

• 当${\lambda }_i\in \mathbb{R}$,则$(\mathbf{A}-{\lambda }_{\mathbf{i}}\mathbf{E})\mathbf{x}=0$(1)是实系数方程组,(1)必有实的基础解系,对应的特征向量可以取实向量

对称阵的关于不同特征值的特征向量彼此正交

• 对称阵的关于不同特征值的特征向量彼此正交

• 证法1:

  • 设${\lambda }_1,{\lambda }_2$是对称阵$\mathbf{A}$的两个特征值,${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2$是对应的特征向量,若${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$,则${\mathbf{p}}_1\perp {\mathbf{p}}_2$
  • ${\lambda }_i{\mathbf{p}}_i={\mathbf{Ap}}_i$,$i=1,2$(1)
  • ${\lambda }_1{\mathbf{p}}_1^T$=$({\lambda }_1{\mathbf{p}}_1{)}^T$=$({\mathbf{Ap}}_1{)}^T$=${\mathbf{p}}_1^T{\mathbf{A}}^T$(2)
  • 因为${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}=\mathbf{A}$,所以${\lambda }_1{\mathbf{p}}_1^T$=${\mathbf{p}}_1^T\mathbf{A}$(3)
  • 对(3)两边同时乘以${\mathbf{p}}_2$,得${\lambda }_1{\mathbf{p}}_1^T{\mathbf{p}}_2$=${\mathbf{p}}_1^T\mathbf{A}{\mathbf{p}}_2$(4)
  • 对(4)右边代入(1),得${\mathbf{p}}_1^T\mathbf{A}{\mathbf{p}}_2$=${\mathbf{p}}_1^T({\lambda }_2{\mathbf{p}}_2)$=${\lambda }_2{\mathbf{p}}_1^T{\mathbf{p}}_2$(5)
  • 比较(4),(5)可知${\lambda }_1{\mathbf{p}}_1^T{\mathbf{p}}_2$=${\lambda }_2{\mathbf{p}}_1^T{\mathbf{p}}_2$,即$({\lambda }_1-{\lambda }_2){\mathbf{p}}_1^T{\mathbf{p}}_2=0$
  • 因为${\lambda }_1-{\lambda }_2\ne 0$,所以${\mathbf{p}}_1^T{\mathbf{p}}_2$=0,所以${\mathbf{p}}_1\perp {\mathbf{p}}_2$

• 证法2:

  • 若${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}=\mathbf{A}$,$\mathbf{A}{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$,${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$,$i=1,\cdots ,s$,则$({\alpha }_i,{\alpha }_j)=0$

  • 设$\lambda ,\mu$是对称阵的两个不同的特征值($\lambda \ne \mu$),$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha ;\mathbf{A}\beta =\mu \beta$

  • $$\begin{gathered} \lambda (\alpha ,\beta )=(\lambda \alpha ,\beta )=(A\alpha ,\beta ) \\ =(A\alpha {)}^T\beta ={\alpha }^T{A}^T\beta ={\alpha }^{T}A\beta ={\alpha }^T(A\beta ) \\ =(\alpha ,A\beta )=(\alpha ,\mu \beta )=\mu (\alpha ,\beta ) \\ (\lambda -\mu )(\alpha ,\beta )=0 \\ \because \lambda \ne \mu \\ \therefore (\alpha ,\beta )=0 \end{gathered}$$

实对称阵可以对角化👺

• 实对称阵可以对角化
  • 一定存在正交矩阵Q(即${\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}$)使得实对称阵$\mathbf{A}$满足${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}={\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$($\Lambda$为某个对角阵),
  • $\forall \mathbf{A},({\mathbf{A}}^T=\mathbf{A})$,$\exists \mathbf{Q},({\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}})$,$s.t.{\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$
  • 也可用合同的概念描述该定理:实对称阵$\mathbf{A}$合同于对角阵$\Lambda$
• 其中$\mathbf{Q}$称为对角化变换正交阵,它的列向量组标准正交,而不是一般正交
• 证明:TODO

存在对角化变换正交阵的矩阵是对称阵

• 如果实矩阵$\mathbf{A}$和某个对角阵$\Lambda$相似,并且对角化变换阵是正交阵,则$\mathbf{A}$一定是对称阵
• 符号语言描述:if $\exists \mathbf{Q},({\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}})$,s.t.${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$,then:${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}=\mathbf{A}$
• 即:$\mathbf{A}$存在正交的对角化变换阵当且仅当${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$
• 证明:分别计算$\mathbf{A},{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$,比较两个值即可
  • 当$\mathbf{A}$正交相似于对角阵$\mathbf{\Lambda }$时,即${\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$
  • $\mathbf{A}=({\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{-1}$=$({\mathbf{Q}}^{-1}{)}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{-1}$
  • 而${\mathbf{\Lambda }}^{\mathbf{T}}=\mathbf{\Lambda }$则:${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}=({\mathbf{Q}}^{-1}{)}^{\mathbf{T}}{\mathbf{\Lambda }}^{\mathbf{T}}{\mathbf{Q}}^{-1}$=$({\mathbf{Q}}^{-1}{)}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{-1}$
  • 可见$\mathbf{A}={\mathbf{A}}^T$,说明$\mathbf{A}$是一个对称阵

实对称阵特征值和特征向量性质定理👺

• 设$\mathbf{A}$为$n$阶实对称阵,${\lambda }_i$是$n_i$,$i=1,\cdots ,s$重互异特征值(${\sum }_{i=1}^s{n}_i=n$),则$\mathbf{A}$的属于${\lambda }_i$的线性无关的特征向量恰好有$n_i$个
• 换句话说,矩阵${\mathbf{V}}_i=\mathbf{A}-{\lambda }_i\mathbf{E}$的秩$R(\mathbf{V})=n-n_i$
• 因此,由方阵可对角化的条件可知,是对称阵可以对角化
• 证明:
  • 由${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$,${\mathbf{Q}}_1=\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}$,则${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{QP}$=${\mathbf{P}}^{-1}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{P}$=$({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}-\lambda {\mathbf{P}}^{-1})\mathbf{P}$=${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}-\lambda \mathbf{E}$=$\mathbf{\Lambda }-\lambda \mathbf{E}$
  • 可见${\mathbf{Q}}_1=\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}$和${\mathbf{Q}}_2=\mathbf{\Lambda }-\lambda \mathbf{E}$=$\text{diag}({\lambda }_1-\lambda ,\cdots ,{\lambda }_n-\lambda )$相似,${\mathbf{Q}}_1$的秩等于${\mathbf{Q}}_2$的秩
  • 当${\lambda }_i$是$\mathbf{A}$的$n_i$重特征值时,即${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$中有$n_i$个等于${\lambda }_i$,余下$n-n_i$个不等于${\lambda }_i$
  • 令${\mathbf{V}}_1$=$\mathbf{A}-{\lambda }_{\mathbf{i}}\mathbf{E}$,${\mathbf{V}}_2$=$\mathbf{\Lambda }-{\lambda }_{\mathbf{i}}\mathbf{E}$;对角阵${\mathbf{V}}_2$的对角元中恰好有$n_i$个为0,从而$R({\mathbf{V}}_2)$=$n-n_i$,从而$R({\mathbf{V}}_1)=R({\mathbf{V}}_2)$=$n-n_i$
  • 此外,${\lambda }_i$对应的齐次线性方程${\mathbf{V}}_1\mathbf{x}=0$的基础解系($\mathbf{A}$的属于${\lambda }_i$的线性无关特征向量组)含有$n_i$个向量

$n$阶实对称阵有$n$个正交单位特征向量

• $n$阶实对称阵$\mathbf{A}$一定有$n$个正交的单位特征向量$S:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$
  • 由施密特正交化性质和是对称阵的可对角化性质可知:将$n$阶实对称阵$\mathbf{A}$的每个$n_i$重特征值${\lambda }_i$对应的$n_i$个线性无关特征向量作施密特正交化并单位化,得到的向量组仍然对应于${\lambda }_i$的特征向量
  • 即每个$n_i$重特征值都有$n_i$个(标准)正交特征向量
  • 又因为不同特征值对应得特征向量间相互正交,因此,$n$阶实对称阵的线性无关特征向量中存在$n$个正交单位特征(标准正交特征向量)
  • 记$\mathbf{Q}=(S)$,则:${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$

例

• 设矩阵$\mathbf{A}$=$\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$,求一个正交阵$\mathbf{P}$,使得${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$

• 解:

  • $f(\lambda )=|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|$=$(1-\lambda )({\lambda }^2+\lambda -2)$=$-(\lambda -1{)}^2(\lambda +3)$,
  • 求得${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2={\lambda }_3=1$
  • 由上述特征值可以构建两个不同的齐次线性方程组:
    • $(\mathbf{A}+2E\mathbf{x})=0$,解得基础解系${\xi }_1$=$(-1,-1,1{)}^T$,单位化得${\mathbf{p}}_1$=$\frac{1}{\sqrt{3}}(-1.-1,1{)}^T$
    • $(\mathbf{A}-\mathbf{E}\mathbf{x})=0$,解得基础解系${\xi }_2=(-1,1,0{)}^T$,${\xi }_3=(1,0,1{)}^T$,
      • $({\xi }_2,{\xi }_3)\ne 0$,进行施密特正交化可得${\eta }_2={\xi }_2$,${\eta }_3=\frac{1}{2}(1,1,2{)}^T$
      • ${\eta }_2,{\eta }_3$是此线性方程得正交基础解系
      • 再分别单位化${\eta }_1,{\eta }_2$得${\mathbf{p}}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0{)}^T$,${\mathbf{p}}_2=\frac{1}{6}(1,1,2{)}^T$
    • 此时$\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,{\mathbf{p}}_3)$构成所求的正交阵;
    • $\mathbf{\Lambda }=\text{diag}(-2,1,1)$是$\mathbf{A}$由$\mathbf{P}$对角化后的对角阵