LA@二次型@相关概念@矩阵合同对角化
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二次型引言
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二次型的理论起源于解系几何中的"二次曲线"和"二次曲面"方程的化简问题
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在解析几何中,为了便于研究二次曲线 a x 2 + b x y + c y 2 = 1 ax^2+bxy+cy^2=1 ax2+bxy+cy2=1
(1)(或 ∑ i = 0 2 a i x 1 2 − i x 2 i = 1 \sum_{i=0}^{2}a_ix_1^{2-i}x_2^{i}=1 ∑i=02aix12−ix2i=1)的几何性质,可以选择适当的坐标旋转变换-
旋转前后曲线"形状"不变,只是位置可能发生改变;
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图像旋转 θ \theta θ角,等价于图像上所有点作同样角度的旋转;
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假设 θ \theta θ就是满足需求的旋转角度,能够使得曲线方程仅包含平方项的标准形
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还可以理解为,曲线
(1)可以通过对标准形方程 m x ′ 2 + n y ′ 2 = 1 mx'^2+ny'^2=1 mx′2+ny′2=1(1.1)对应的曲线旋转 θ \theta θ后得到 -
变换公式
(2)-
x = x ′ cos θ − y ′ sin θ y = x ′ sin θ + y ′ cos θ x=x'\cos{\theta}-y'\sin{\theta}\\ y=x'\sin{\theta}+y'\cos{\theta} x=x′cosθ−y′sinθy=x′sinθ+y′cosθ
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变换矩阵为 ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} (cosθsinθ−sinθcosθ)
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若曲线
(1.1)上的任意一点在极坐标系上表示为 P ′ ( r , ϕ ) P'(r,\phi) P′(r,ϕ),则 P P P的直角坐标系坐标表示为 P ′ ( r cos ϕ , r sin ϕ ) P'(r\cos\phi,r\sin{\phi}) P′(rcosϕ,rsinϕ) -
(1.1)经过线性变换(2)(即逆时针旋转 θ \theta θ角)后的曲线(1)上的任意点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)= ( r cos ( ϕ + θ ) , r sin ( ϕ + θ ) ) (r\cos(\phi+\theta),r\sin(\phi+\theta)) (rcos(ϕ+θ),rsin(ϕ+θ)),由于 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)在曲线(1)上,所以 a ( r 2 cos 2 ( ϕ + θ ) ) + b ( r 2 cos ( ϕ + θ ) sin ( ϕ + θ ) ) + c ( r 2 sin ( ϕ + θ ) ) a(r^2\cos^2(\phi+\theta))+b(r^2\cos(\phi+\theta)\sin(\phi+\theta))+c(r^2\sin(\phi+\theta)) a(r2cos2(ϕ+θ))+b(r2cos(ϕ+θ)sin(ϕ+θ))+c(r2sin(ϕ+θ))=1- 若想要其中的非平方项消去,需要满足 cos ( ϕ + θ ) = 0 \cos(\phi+\theta)=0 cos(ϕ+θ)=0或 sin ( ϕ + θ ) = 0 \sin(\phi+\theta)=0 sin(ϕ+θ)=0,例如 θ = 1 2 π − ϕ \theta=\frac{1}{2}\pi-\phi θ=21π−ϕ或 − ϕ -\phi −ϕ
- 此时 a x ′ 2 + c y ′ 2 = 1 ax'^2+cy'^2=1 ax′2+cy′2=1
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从代数学的观点看,化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使得它仅含有平方项
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将这个问题一般化,即讨论 n n n个变量的二次齐次多项式的化简问题,由此引出二次型
n元二次型定义
- 含有
n
n
n个未知数(变量)
x
1
,
⋯
,
x
n
x_1,\cdots,x_n
x1,⋯,xn的二次齐次多项式
f
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
f(x_1,\cdots,x_n)
f(x1,⋯,xn)=
∑
i
=
1
n
a
i
i
x
i
2
\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_i^2
∑i=1naiixi2+
2
(
∑
i
,
j
n
a
i
j
x
i
x
j
)
2(\sum_{i,j}^{n}a_{ij}x_ix_j)
2(∑i,jnaijxixj)
- ∑ i , j \sum_{i,j} ∑i,j表示所有可能的不超过 n n n的正整数组合,因为 x i x j x_ix_j xixj= x j x i x_jx_i xjxi,所以 i , j i,j i,j和 j , i j,i j,i视为同一种组合
- 不妨设 0 < i ⩽ j ⩽ n 0<i\leqslant {j}\leqslant{n} 0<i⩽j⩽n
- 这个二次多项式包含的(不可合并)二次项数目为 n + ( n 2 ) n+\binom{n}{2} n+(2n)= ( n + 1 ) n 2 \frac{(n+1)n}{2} 2(n+1)n= n + n ( n − 1 ) 2 n+\frac{n(n-1)}{2} n+2n(n−1)
实二次型和复二次型
- a i j a_{ij} aij是实数的二次型称为实二次型
- a i j a_{ij} aij是复数的二次型称为复二次型
- 显然实二次型是复二次型的子集,这里仅讨论实二次型
二重求和表示
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不妨将 f f f的非平方二次项的部分拆成两部分(不合并): 2 ( ∑ i , j n a i j x i x j ) 2(\sum_{i,j}^{n}a_{ij}x_ix_j) 2(∑i,jnaijxixj)= ∑ i , j n a i j x i x j \sum_{i,j}^{n}a_{ij}x_ix_j ∑i,jnaijxixj+ ∑ i , j n a j i x j x i \sum_{i,j}^{n}a_{ji}x_jx_i ∑i,jnajixjxi
- 其中 a j i = a i j a_{ji}=a_{ij} aji=aij; x j x i = x i x j x_{j}x_{i}=x_{i}x_{j} xjxi=xixj
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那么 f f f的展开项有 n + 2 ( n 2 ) n+2\binom{n}{2} n+2(2n)= n 2 n^2 n2;从而: f f f= ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j i=1∑nj=1∑naijxixj
内积表示
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熟悉向量内积的同学可以想到求和可以用内积简洁的表达
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如果是多重求和,那么可以用内积链表达
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∑ k = 1 n a k x k \sum_{k=1}^{n}a_kx_k ∑k=1nakxk= ( a 1 , ⋯ , a n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T (a_1,\cdots,a_n)(x_1,\cdots,x_n)^{T} (a1,⋯,an)(x1,⋯,xn)T
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∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x j = ( 1 , ⋯ , 1 ) ( ∑ j = 1 n a 1 j x j ⋮ ∑ j = 1 n a n j x j ) = ( 1 , ⋯ , 1 ) ( ( a i 1 , ⋯ , a i n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T ⋮ ( a n 1 , ⋯ , a n n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T ) = ( 1 , ⋯ , 1 ) ( ( a 11 , ⋯ , a 1 n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T , ⋯ , ( a n 1 , ⋯ , a n n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T ) T \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j} &=(1,\cdots,1) \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_j \end{pmatrix} \\&=(1,\cdots,1) \begin{pmatrix} (a_{i1},\cdots,a_{in})(x_1,\cdots,x_n)^T\\ \vdots\\ (a_{n1},\cdots,a_{nn})(x_1,\cdots,x_n)^T \end{pmatrix}\\ &=(1,\cdots,1)((a_{11},\cdots,a_{1n})(x_1,\cdots,x_n)^T,\cdots,(a_{n1},\cdots,a_{nn})(x_1,\cdots,x_n)^T)^T \end{aligned} i=1∑nj=1∑naijxj=(1,⋯,1) ∑j=1na1jxj⋮∑j=1nanjxj =(1,⋯,1) (ai1,⋯,ain)(x1,⋯,xn)T⋮(an1,⋯,ann)(x1,⋯,xn)T =(1,⋯,1)((a11,⋯,a1n)(x1,⋯,xn)T,⋯,(an1,⋯,ann)(x1,⋯,xn)T)T
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定义矩阵
P = ( ∑ j = 1 n a 1 j x j ⋮ ∑ j = 1 n a n j x j ) \bold{P}=\begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_j \end{pmatrix} P= ∑j=1na1jxj⋮∑j=1nanjxj -
这个矩阵是我们数系的形式,即线性方程组等号左边的表达式矩阵,它可以用矩阵乘法进行分解:
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P = A x = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \bold{P=Ax} =\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} P=Ax= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann x1x2⋮xn
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对于 f = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j f=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j f=i=1∑nj=1∑naijxixj= ∑ i = 1 n x i ( ∑ j = 1 n a i j x j ) \sum\limits_{i=1}^{n}x_i (\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j) i=1∑nxi(j=1∑naijxj)
- f = ( x 1 , ⋯ , x n ) ( ( a 11 , ⋯ , a 1 n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T , ⋯ , ( a n 1 , ⋯ , a n n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T ) T f=(x_1,\cdots,x_n) ( (a_{11},\cdots,a_{1n})(x_1,\cdots,x_n)^T, \cdots,(a_{n1},\cdots,a_{nn}) (x_1,\cdots,x_n)^T )^T f=(x1,⋯,xn)((a11,⋯,a1n)(x1,⋯,xn)T,⋯,(an1,⋯,ann)(x1,⋯,xn)T)T
矩阵表示式👺
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f = ∑ i = 1 n x i ( ∑ j = 1 n a i j x j ) = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ( ∑ j a 1 j x j ∑ j a 2 j x j ⋮ ∑ j a n j x j ) = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \begin{aligned} f&=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i (\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)\\ &=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix} \sum\limits_{j}a_{1j}x_j \\ \sum\limits_{j}a_{2j}x_j \\ \vdots \\ \sum\limits_{j}a_{nj}x_j \\ \end{pmatrix}\\ &=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \end{aligned} f=i=1∑nxi(j=1∑naijxj)=(x1,x2,⋯,xn) j∑a1jxjj∑a2jxj⋮j∑anjxj =(x1,x2,⋯,xn) a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann x1x2⋮xn
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定义如下矩阵
x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) x T = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) \bold{x}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \\\bold{x}^T=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ \bold A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \\ \end{pmatrix} x= x1x2⋮xn xT=(x1,x2,⋯,xn)A= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann -
则二次型 f = x T A x f=\bold{x^{T}Ax} f=xTAx
小结
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f ( x 1 , ⋯ , x n ) = ∑ i = 1 ∑ j = 1 a i j x i x j = ∑ 1 ⩽ i < j ⩽ n 2 a i j x i x j + ∑ i = j a i j x i x j = x T A x \begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_n) &=\sum_{i=1}\sum_{j=1}a_{ij}x_ix_j \\ &=\sum\limits_{1\leqslant {i}< {j}\leqslant{n}}^{}2a_{ij}x_ix_j +\sum\limits_{i=j}^{}a_{ij}x_ix_j \\ &=\bold{x^{T}Ax} \end{aligned} f(x1,⋯,xn)=i=1∑j=1∑aijxixj=1⩽i<j⩽n∑2aijxixj+i=j∑aijxixj=xTAx
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对于二次型矩阵 A \bold{A} A, ( A T = A ) (\bold{A^{T}=A}) (AT=A),因为 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji
hadamard乘积表示
X = x x T = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ( x 1 x 1 x 1 x 2 ⋯ x 1 x n x 2 x 1 x 2 x 2 ⋯ x 2 x n ⋮ ⋮ ⋮ x n x 1 x n x 2 ⋯ x n x n ) n × n S = A ⊙ X = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ⊙ ( x 1 x 1 x 1 x 2 ⋯ x 1 x n x 2 x 1 x 2 x 2 ⋯ x 2 x n ⋮ ⋮ ⋮ x n x 1 x n x 2 ⋯ x n x n ) = ( a 11 x 1 x 1 a 12 x 1 x 2 ⋯ a 1 n x 1 x n a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 x 2 ⋯ a 2 n x 2 x n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 ⋯ a n n x n x n ) n × n 其中 ⊙ 是 h a d a m a r d 乘积 X=xx^T=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} (x_1,x_2,\cdots,x_n) =\begin{pmatrix} x_1x_1&x_1x_2&\cdots&x_1x_n \\ x_2x_1&x_2x_2&\cdots&x_2x_n \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_nx_1&x_nx_2&\cdots&x_nx_n \\ \end{pmatrix}_{n\times{n}} \\ S=A\odot X =\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \\ \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} x_1x_1&x_1x_2&\cdots&x_1x_n \\ x_2x_1&x_2x_2&\cdots&x_2x_n \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_nx_1&x_nx_2&\cdots&x_nx_n \\ \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} a_{11}x_1x_1&a_{12}x_1x_2&\cdots&a_{1n}x_1x_n \\ a_{21}x_2x_1&a_{22}x_2x_2&\cdots&a_{2n}x_2x_n \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}x_nx_1&a_{n2}x_nx_2&\cdots&a_{nn}x_nx_n \\ \end{pmatrix}_{n\times{n}} \\其中\odot是hadamard乘积 X=xxT= x1x2⋮xn (x1,x2,⋯,xn)= x1x1x2x1⋮xnx1x1x2x2x2⋮xnx2⋯⋯⋯x1xnx2xn⋮xnxn n×nS=A⊙X= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann ⊙ x1x1x2x1⋮xnx1x1x2x2x2⋮xnx2⋯⋯⋯x1xnx2xn⋮xnxn = a11x1x1a21x2x1⋮an1xnx1a12x1x2a22x2x2⋮an2xnx2⋯⋯⋯a1nx1xna2nx2xn⋮annxnxn n×n其中⊙是hadamard乘积
二次型的主要问题
- 二次型的主要问题是化简问题,即:寻找一可逆的线性变换
x
=
C
y
\bold{x=Cy}
x=Cy
(1),使得二次型 f ( x ) f(\bold{x}) f(x)(2)仅包含平方项 - 即,将
(1)代入(2),得到简化的形式 f ( y ) f(\bold{y}) f(y)= ∑ k = 1 n k i y i 2 \sum_{k=1}^{n}k_iy_{i}^{2} ∑k=1nkiyi2,这种简单的形式成为标准形(法式)
线性变换和二次型
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设可逆矩阵 C = ( c i j ) \bold{C}=(c_{ij}) C=(cij),对应可逆线性变换 x = C y \bold{x=Cy} x=Cy
(1),代入二次型 f ( x ) = x T A x f(\bold{x})=\bold{x^{T}Ax} f(x)=xTAx(2)可得 f = ( C y ) T A ( C y ) f=\bold{(Cy)^{T}A(Cy)} f=(Cy)TA(Cy)= y T C T A C y \bold{y^{T}C^{T}ACy} yTCTACy= y T ( C T A C ) y \bold{y^{T}(C^{T}AC)y} yT(CTAC)y -
经过可逆变换 x = C y \bold{x=Cy} x=Cy后,二次型 f f f的矩阵由 A \bold{A} A变为 A \bold{A} A合同的矩阵 D = C T A C \bold{D=C^{T}AC} D=CTAC
方阵合同
- 设
A
,
B
,
C
∈
R
n
×
n
\bold{A,B,C}\in\mathbb{R}^{n\times{n}}
A,B,C∈Rn×n,如果存在可逆矩阵
C
\bold{C}
C,使得
B
=
C
T
A
C
\bold{B={C}^{T}A{C}}
B=CTAC,则称
A
\bold{A}
A和
B
\bold B
B是合同的,记为
A
≃
B
\bold{A\simeq{B}}
A≃B
- 形式上类似于方阵相似 P − 1 A P = B , A ∼ B \bold{P^{-1}AP=B,A\sim{B}} P−1AP=B,A∼B
- 经过可逆变换,新二次型和原二次型的矩阵是合同的
合同的性质
- A ≃ A \bold{A\simeq{A}} A≃A
- A ∼ B ⇒ B ≃ A \bold{A\sim{B}\Rightarrow{B\simeq{A}}} A∼B⇒B≃A
- A ≃ B , B ≃ C ⇒ A ≃ C \bold{A\simeq{B},B\simeq{\bold{C}}\Rightarrow{A\simeq{\bold{C}}}} A≃B,B≃C⇒A≃C
对称阵合同
- 若
A
\bold{A}
A是对称阵,则与
A
\bold{A}
A合同的
B
=
C
T
A
C
\bold{B=C^{T}A{C}}
B=CTAC,则
- B \bold{B} B也是对称的: B T \bold{B}^{T} BT= C T A T C \bold{C^{T}A^{T}{C}} CTATC,又因为 A \bold{A} A对称,即 A T = A \bold{A^{T}=A} AT=A,所以 B T = B \bold{B^{T}=B} BT=B,从而 B \bold{B} B是对称阵
- R ( B ) = R ( A ) R(\bold{B})=R(\bold{A}) R(B)=R(A),因为 C \bold{C} C是可逆矩阵, C T \bold{C^{T}} CT也可逆, B \bold{B} B相当于由 A \bold{A} A通过初等变换若干次得到的,因此 A , B \bold{A,B} A,B有相同的秩
合同与相似
- 若
Q
T
A
Q
=
B
\bold{Q^{T}AQ={B}}
QTAQ=B且
Q
\bold{Q}
Q是正交矩阵(
Q
−
1
=
Q
T
\bold{Q^{-1}=Q^{T}}
Q−1=QT),此时合同与相似等价:
A
≃
B
⇔
A
∼
B
\bold{A\simeq{B}\Leftrightarrow{A\sim{B}}}
A≃B⇔A∼B
- 因为 Q − 1 = Q T \bold{Q^{-1}=Q^{T}} Q−1=QT,所以 Q T A Q = B \bold{Q^{T}AQ={B}} QTAQ=B ⇔ \Leftrightarrow ⇔ Q − 1 A Q = B \bold{Q^{-1}AQ={B}} Q−1AQ=B
推论:实对称阵必定是合同于对角阵的
- 任意实对称阵 A \bold A A合同于对角阵 Λ \bold\Lambda Λ,
- 符号描述:
∀
A
T
=
A
,
A
≃
Λ
\forall \bold{A^{T}=A,A\simeq{\Lambda}}
∀AT=A,A≃Λ
- 因为: ∀ A , A T = A \bold{\forall{A},A^{T}=A} ∀A,AT=A, ∃ Q , Q − 1 = Q T \bold{\exist{Q},Q^{-1}={Q^{T}}} ∃Q,Q−1=QT,s.t. Q − 1 A Q = Λ \bold{Q^{-1}AQ=\Lambda} Q−1AQ=Λ,即 Q − 1 A Q = B \bold{Q^{-1}AQ={B}} Q−1AQ=B
- 即 ∀ A , A T = A ⇒ A ≃ Λ \bold{\forall{A},A^{T}=A\Rightarrow{A\simeq{\Lambda}}} ∀A,AT=A⇒A≃Λ
二次型的矩阵
- 给定一个二次型,可以唯一确定一个矩阵 A \bold{A} A,且 A \bold{A} A是对称阵
- 对于一个对称阵 A \bold A A,可以唯一确定一个二次型 x T A x \bold{x^{{T}}Ax} xTAx
- 二次型和对称阵可以确立一 一对应的关系
- 对称阵 A A A称为二次型 f f f的矩阵
- f f f称为对称阵 A A A的二次型
二次型的秩
- 二次型的对称阵 A \bold{A} A的秩 R ( A ) R(\bold A) R(A)称为二次型 f f f的秩 R ( f ) = R ( A ) R(f)=R(\bold{A}) R(f)=R(A)
- 及你给过线性变换后,二次型的矩阵变为原二次型矩阵的合同阵,因此秩不变
利用对称阵研究二次型
- 由于二次型和对称阵关系密切,可以通过研究二次型的对称阵来研究二次型本身
例:计算给定二次型的对称阵
-
参考二次型的以下形式,方便我们从给定的二次型 f f f中还原出对称阵A
f ( x 1 , ⋯ , x n ) = ∑ i = j = k n a k k x k 2 + 2 ∑ 1 ⩽ i < j ⩽ n a i j x i x j f(x_1,\cdots,x_n) =\sum\limits_{i=j=k}^{n}a_{kk}x_k^2 +2\sum\limits_{1\leqslant {i}< {j}\leqslant{n}}^{}a_{ij}x_ix_j f(x1,⋯,xn)=i=j=k∑nakkxk2+21⩽i<j⩽n∑aijxixj -
例: f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 − 3 x 3 2 − 4 x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-3x_3^2-4x_1x_2+2x_2x_3 f(x1,x2,x3)=x12−3x32−4x1x2+2x2x3= x 1 2 + 0 x 2 − 3 x 3 2 x_1^2+0x^2-3x_3^2 x12+0x2−3x32+ 2 ( − 2 x 1 x 2 + 0 x 1 x 3 + 1 x 2 x 3 ) 2(-2x_1x_2+0x_1x_3+1x_2x_3) 2(−2x1x2+0x1x3+1x2x3)
-
容易读出 a 12 = − 2 ; a 13 = 0 ; a 23 = 1 a_{12}=-2;a_{13}=0;a_{23}=1 a12=−2;a13=0;a23=1并且有对称性得到 a 12 = a 21 = − 2 ; a 31 = a 13 = 0 ; a 23 = a 32 = 1 a_{12}=a_{21}=-2;a_{31}=a_{13}=0;a_{23}=a_{32}=1 a12=a21=−2;a31=a13=0;a23=a32=1
-
事实上,我们不需要关心系数为0的项,只需要将非零的项的系数求出即可,其余的全部用0补满整个对称阵即可
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( 1 − 2 − 2 1 1 − 3 ) \begin{pmatrix} 1 & -2& \\ -2& &1 \\ &1& -3 \\ \end{pmatrix} 1−2−211−3
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其余非对角线元素默认补零,因此得到对称阵A
A = ( 1 − 2 0 − 2 0 1 0 1 − 3 ) A=\begin{pmatrix} 1 & -2&0 \\ -2& 0&1 \\ 0&1& -3 \\ \end{pmatrix} A= 1−20−20101−3 -
A → ( 1 − 2 0 0 1 − 3 0 0 − 11 ) ∴ r ( f ) = r ( A ) = 3 A\to \begin{pmatrix} 1 & -2&0 \\ 0&1&-3 \\ 0&0&-11 \\ \end{pmatrix} \\ \therefore r(f)=r(A)=3 A→ 100−2100−3−11 ∴r(f)=r(A)=3
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f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( 1 − 2 0 − 2 0 1 0 1 − 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) f(x_1,x_2,x_3) =\bold{x^{T}Ax} =(x_1,x_2,x_3) \begin{pmatrix} 1 & -2&0 \\ -2& 0&1 \\ 0&1& -3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \\ \end{pmatrix} f(x1,x2,x3)=xTAx=(x1,x2,x3) 1−20−20101−3 x1x2x3
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根据矩阵 A \bold A A写出对应的二次型 f f f是类似的过程,依然使用上述的公式
- 根据矩阵 A \bold{A} A的对角线元素确定平方项的系数
- 根据 A \bold{A} A的上三角确定出非平方项的系数
- f = x 1 2 − 3 x 3 2 f=x_1^2-3x_3^2 f=x12−3x32+ 2 ( − 2 x 1 x 2 + 1 x 2 x 3 ) 2(-2x_1x_2+1x_2x_3) 2(−2x1x2+1x2x3)
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