LA@二次型规范形

文章目录

• • 规范形
  • • 规范形的矩阵
    • 二次型标准形间的关系
    • • 惯性指数
      • 推论:惯性指数和特征值个数
  • 标准形可以转换为规范形定理👺惯性定理
  • • 实对称阵间相互合同的充要条件
  • 二次型规范化步骤
  • • 小结
  • 例

规范形

• 如果二次型$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$的标准形$f={\sum }_{i=1}^n{k}_i{y}_i^2$的系数$k_i\in G=\{-1,0,1\}$,则$f$可以表示为$f$=${\sum }_{i=1}^p{y}_i^2-{\sum }_{j=1}^{r-p}{y}_{p+j}^2$,则这个形式称为二次型$f$的规范形

• 另一种描述:如果$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$可以通过线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$化为:$N={\sum }_{i=1}^p{y}_i^2-{\sum }_{j=p+1}^r{y}_j^2$,

  • $r=r(A)=r(f)$即二次型$f$的秩

• 使用矩阵乘法表示规范形二次型

  • $$\begin{array}{rl}f(y_1,\cdots ,y_n)& =\sum _{i=1}^p{y}_i^2-\sum _{j=1}^q{y}_{p+j}^2\\ & =(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\left(\begin{array}{cccccccccc}1& & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & \\ & & 1& & & & & & & \\ & & & -1& & & & & & \\ & & & & & \ddots & & & & \\ & & & & & & -1& & & \\ & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\\ & ={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}({\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{G}})\mathbf{y}\end{array}$$

  • ${\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{G}}$表示规范形对角阵矩阵$(1_1,\cdots ,1_p,-1_{p+1},\cdots ,-1_r,0,\cdots ,0)$

规范形的矩阵

• $$\begin{gathered} {\Lambda }_G=\left(\begin{array}{ccc}{E}_p& & \\ & -E_q& \\ & & O_{n-r}\end{array}\right) \\ p+q=r⩽n \end{gathered}$$

• 其中$r=R(f)$,表示二次型的秩

二次型标准形间的关系

• 同一个二次型的标准形不唯一,但是它们具有相同的正负平方项个数

惯性指数

• 二次型的规范形$f={\sum }_{i=1}^p{y}_i^2-{\sum }_{j=1}^q{y}_{p+j}^2$($p+q=r$)中,

  • $p$称为正惯性指数

  • $q=r-p$称为负惯性指数

  • $p-q=p-(r-p)=2p-r$称为符号差

• 正负惯性指数统称惯性指数

推论:惯性指数和特征值个数

• 正(负)惯性指数是二次型矩阵$\mathbf{A}$的正(负)特征值个数
• 借助符号描述:
  • 设$p,q$分别是二次型$f={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$的标准形的正惯性指数和负惯性指数
  • 则$\mathbf{A}$的特征值${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$中有$p$个为正数,$q$个为负数

标准形可以转换为规范形定理👺惯性定理

• 定理:对于任意$n$元二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$,$({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}=\mathbf{A})$,一定存在一个正交(可逆)线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Cz}$,使得$f$可以化为规范形$g(\mathbf{z})=f(\mathbf{Cz})$

• 本定理作为二次型可规范化推论:二次型总是可以规范化

• 证明:

  • 由二次型可标准化定理可知,存在线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Py}$使得$f(\mathbf{x})$=$f(\mathbf{Py})$=${\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}$=${\sum }_{i=1}^n{k}_i{y}_i^2$
  • 设$R(f)=r$,则$\mathbf{\Lambda }$=$\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$的特征值${\lambda }_i,i=1,\cdots ,n$中恰好有$r$个不为0,其余$n-r$个为0,不妨设${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r=0$,${\lambda }_{r+1},\cdots ,{\lambda }_n\ne 0$,从而$\mathbf{\Lambda }$=$\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r,0,\cdots ,0)$
  • 不妨令矩阵$\mathbf{K}$=$\text{diag}(k_1,\cdots ,k_n)$,其中$k_i$=$\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_i|}}& i⩽r\\ 1& i>r\end{array}$,即构造可逆对角阵$\mathbf{K}$=$\text{diag}(\frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_1|}},\cdots ,\frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_r|}},1,\cdots ,1)$
    • 显然$|K|\ne 0$,从而$\mathbf{K}$可逆,构造线性变换$\mathbf{y}=\mathbf{Kz}$,则$\mathbf{x}=\mathbf{Py}=\mathbf{P}(\mathbf{Kz})$
      • 线性变换$\mathbf{y}=\mathbf{Kz}$,即
        • $y_1=\frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_1|}}{z}_1$
        • $⋮$
        • $y_r=\frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_r|}}{z}_r$
        • $y_{r+1}=z_{r+1}$
        • $⋮$
        • $y_n=z_n$
    • 从而$f(\mathbf{x})$=$f(\mathbf{PKz})$=${\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{K}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}\mathbf{APKz}$=${\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{K}}^{\mathbf{T}}({\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AP})\mathbf{Kz}$=${\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{K}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{K}\mathbf{z}$
    • 而$\mathbf{C}={\mathbf{K}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{K}$=$\text{diag}(\frac{{\lambda }_1}{|{\lambda }_1|},\cdots ,\frac{{\lambda }_r}{|{\lambda }_r|},0,\cdots ,0)$
      • 注意对角阵连乘计算公式:$c_j={\prod }_{i=1}^n{d}_{ij}$,$j=1,\cdots ,n$,$d_{ij}$表示第$i$个对角阵的第$j$个对角元素
      • $c_j=\frac{{\lambda }_i}{|{\lambda }_i|}\in \{-1,1\}$,$i=1,\cdots ,r$
    • $f(\mathbf{x})$=${\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Cz}$是一个规范形
  • 记$\mathbf{C}=\mathbf{PK}$,即有可逆变换$\mathbf{x}=\mathbf{Cz}$能使$f$化为规范形$f(\mathbf{x})$=$f(\mathbf{Cz})$=${\sum }_{i=1}^n\frac{{\lambda }_i}{|{\lambda }_i|}{z}_i^2$

• 附:为什么要这么构造$\mathbf{K}$?

  • $|k_i{y}_i^2|$=$z_i^2$(1),解得$y_i^2=\frac{z_i^2}{|k_i|}$,即$y_i=\pm \sqrt{\frac{z_i^2}{|k_i|}}$=$\pm \frac{|z_i|}{\sqrt{|k_i|}}$
  • 这说明$a=\frac{|z_i|}{\sqrt{|k_i|}}$,$b=-\frac{|z_i|}{\sqrt{|k_i|}}$都满足(1),而$c=\frac{z_i}{\sqrt{|k_i}}$的取值是$a,b$中的一个,因此$c$满足(1)
  • 虽然$a,b,c$都满足(1),甚至可以在$i$取不同值时混用也可以,即$\mathbf{K}$不是唯一的
  • 但是统一方便起见,我们采用$y_i=\frac{z_i}{\sqrt{|k_i|}}$,$i=1,\cdots ,r$作为规范化线性变换,而$y_{r+1},\cdots ,y_n$这部分变换可以随意(但是要保持变换的可逆性),为简单起见,通常取$y_j=z_j,j=r+1,\cdots ,n$

实对称阵间相互合同的充要条件

• 实对称阵$A,B$合同的充要条件它们有相同的秩$r(A)=r(B)$和正惯性指数$p$

二次型规范化步骤

• 先将二次型标准化为$f=g(\mathbf{y})={\sum }_{i=1}^n{k}_i{y}_i^2$=${\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}$,
  • 若二次型的秩$r=R(f)$,则$\mathbf{\Lambda }$的对角元素包含$n-r$个0,$f={\sum }_{i=1}^n{k}_i{y}_i^2$=${\sum }_{i=1}^r{k}_i{y}_i^2+{\sum }_{i=r+1}^{n}0$=${\sum }_{i=1}^r{k}_i{y}_i^2$
  • 设$\mathbf{\Lambda }=\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$=$\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r,0,\cdots ,0)$,
• 由惯性定理,规范化后的二次型的矩阵为${\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{G}}$=$\text{diag}(\frac{{\lambda }_1}{|{\lambda }_1|},\cdots ,\frac{{\lambda }_r}{|{\lambda }_r|},0,\cdots ,0)$
• $\mathbf{y}=({\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{G}})\mathbf{z}$能使$f={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}$规范化为$f={\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}({\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{G}})\mathbf{z}$

小结

• 从上述规范化步骤可以看出,若已求得而次形的标准形,只需要抽取各个系数的符号代替标准形的原系数,即得到规范形
• 但是如果需要给出规范化所用的线性变换(矩阵),则要用公式$\text{diag}(\frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_1|}},\cdots ,\frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_r|}},1,\cdots ,1)$计算

例

• 化二次型$f=x_1{x}_2+x_1{x}_3+2x_2{x}_3$为规范形
• 解:
  • 将$f$标准化,可得$f=z_1^2-z_2^2-2z_3^2$(过程在此处不是重点,略去)
    • 其矩阵为$\mathbf{\Lambda }=\text{diag}(1,-1,-2)$
    • 规范化后的矩阵${\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{G}}$=$\text{diag}(1,-1,-1)$
    • 用到的可逆线性变换$\mathbf{z}=\mathbf{Kw}$,其中$\mathbf{K}=\text{diag}(1,-1,-\frac{1}{\sqrt{2}})$(或$\mathbf{K}=\text{diag}(1,1,\frac{1}{\sqrt{2}})$)
  • $f=w_1^2-w_2^2-w_3^2$