LA@向量空间
文章目录
概念
线性封闭运算
-
设 V V V是 n n n维向量的非空集合,如果 V V V对向量的加法和数乘运算封闭,是指
- ∀ α , β ∈ V , ∀ k ∈ R \forall \alpha,\beta\in{V},\forall k\in{\mathbb{R}} ∀α,β∈V,∀k∈R, α + β , k α ∈ V \alpha+\beta,k\alpha\in{V} α+β,kα∈V
-
Note:数乘不是向量间乘法,而是常数与向量的乘法
向量空间
- 设 V V V是 n n n维向量的集合,若 V ≠ ∅ V\neq{\emptyset} V=∅,且 V V V对线性运算(加法和数乘)封闭,则 V V V称为向量空间
- 显然,同一个向量空间中的向量的维数相同
- 向量空间中涉及的是线性运算,因此也称向量空间为线性空间
- 本定义这也是证明一个向量集合是否为向量空间的基本依据
例
- 设 V = { ( x 1 , ⋯ , x n ) T ∣ x 1 = 0 , x i ∈ R , i = 2 , ⋯ , n } V=\{(x_1,\cdots,x_n)^T|x_1=0,x_i\in{\mathbb{R}},i=2,\cdots,n\} V={(x1,⋯,xn)T∣x1=0,xi∈R,i=2,⋯,n}
- 设
α
=
(
0
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
\alpha=(0,a_2,\cdots,a_n)
α=(0,a2,⋯,an),
β
=
(
0
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
\beta=(0,b_2,\cdots,b_n)
β=(0,b2,⋯,bn),则
- α + β \alpha+\beta α+β= ( 0 , a 2 + b 2 , ⋯ , a n + b n ) (0,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n) (0,a2+b2,⋯,an+bn),显然, a i + b i ∈ R a_i+b_i\in\mathbb{R} ai+bi∈R, i = 2 , ⋯ , n i=2,\cdots,n i=2,⋯,n,所以 α + β ∈ V \alpha+\beta\in{V} α+β∈V
- k α = ( 0 , k a 2 , ⋯ , k a n ) k\alpha=(0,ka_2,\cdots,ka_n) kα=(0,ka2,⋯,kan),显然 k a i ∈ R ka_i\in\mathbb{R} kai∈R, i = 2 , ⋯ , n i=2,\cdots,n i=2,⋯,n,所以 k α ∈ V k\alpha\in{V} kα∈V
- Note:容易验证,
V
=
{
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
T
∣
x
1
=
1
,
x
i
∈
R
,
i
=
2
,
⋯
,
n
}
V=\{(x_1,\cdots,x_n)^T|x_1=1,x_i\in{\mathbb{R}},i=2,\cdots,n\}
V={(x1,⋯,xn)T∣x1=1,xi∈R,i=2,⋯,n}不是向量空间
- 因为 k α = ( k , k a 2 , ⋯ , k a n ) ∉ V k\alpha=(k,ka_2,\cdots,ka_n)\notin{V} kα=(k,ka2,⋯,kan)∈/V, V V V的线性运算不封闭
齐次线性方程组的解空间是向量空间
- 齐次线性方程 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0的解集 S = { x ∣ A x = 0 } S=\{\bold{x}|\bold{Ax=0}\} S={x∣Ax=0}称为齐次线性方程解空间
- 设
x
1
,
x
2
∈
S
\bold{x_1,x_2}\in{S}
x1,x2∈S,则
A
x
1
=
A
x
2
=
0
\bold{Ax_1=Ax_2=0}
Ax1=Ax2=0,即
A
(
x
1
+
x
2
)
=
A
x
1
+
A
x
2
=
0
\bold{A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2=0}
A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0,所以
x
1
+
x
2
∈
S
\bold{x_1+x_2}\in{S}
x1+x2∈S
- A ( k x 1 ) = k ( A x 1 ) = 0 A(k\bold{x_1})=k(\bold{Ax_1})=0 A(kx1)=k(Ax1)=0,素以 k x 1 ∈ S k\bold{x_1}\in{S} kx1∈S
- 综上 S S S是向量空间,因此齐次线性方程组的解空间是向量空间
非齐次线性方程组的解空间不是向量空间
- 非齐次线性方程的解集
S
=
{
x
∣
A
x
=
b
}
S=\{\bold{x}|\bold{Ax=b}\}
S={x∣Ax=b}不是解空间
- S = ∅ S=\emptyset S=∅时, S S S不是向量空间
- S ≠ ∅ S\neq{\emptyset} S=∅时,设 ξ ∈ S \xi\in{S} ξ∈S,则 A ξ = b \bold{A\xi=b} Aξ=b,此时 A k ξ = k ( A ξ ) = k b \bold{Ak\xi=k(A\xi)=kb} Akξ=k(Aξ)=kb显然若 k ≠ 1 k\neq{1} k=1时, k ξ ∉ S k\xi\notin{S} kξ∈/S,因此 S S S不是向量空间
- 综上,命题成立
生成向量空间
-
设 a , b \bold{a,b} a,b为两个已知的 n n n维向量,集合 L = { x = λ a + μ b ∣ λ , μ ∈ R } L=\{\bold{x=\lambda{a}+\mu{b}}|\lambda,\mu\in{\mathbb{R}}\} L={x=λa+μb∣λ,μ∈R}是一个向量空间,称为 a , b \bold{a,b} a,b生成的向量空间
- 设
x
1
=
λ
1
a
+
μ
1
b
\bold{x_1=\lambda_1{a}+\mu_1{b}}
x1=λ1a+μ1b,
x
2
=
λ
1
a
+
μ
2
b
\bold{x_2=\lambda_1{a}+\mu_2{b}}
x2=λ1a+μ2b,
k
∈
R
k\in{\mathbb{R}}
k∈R,则:
- x 1 + x 2 = ( λ 1 + λ 2 ) a + ( μ 1 + μ 2 ) b \bold{x_1+x_2=(\lambda_1+\lambda_2)a+(\mu_1+\mu_2)b} x1+x2=(λ1+λ2)a+(μ1+μ2)b ∈ L \in{L} ∈L
- k x 1 = k λ 1 a + k μ 1 b ∈ L k\bold{x_1}=k\lambda_1{\bold a}+k\mu_1{\bold b}\in{L} kx1=kλ1a+kμ1b∈L
- 设
x
1
=
λ
1
a
+
μ
1
b
\bold{x_1=\lambda_1{a}+\mu_1{b}}
x1=λ1a+μ1b,
x
2
=
λ
1
a
+
μ
2
b
\bold{x_2=\lambda_1{a}+\mu_2{b}}
x2=λ1a+μ2b,
k
∈
R
k\in{\mathbb{R}}
k∈R,则:
-
一般的,由向量组 a 1 , ⋯ , a m \bold{a_1,\cdots,a_m} a1,⋯,am所生成的向量空间记为
- L = { x = ∑ i = 1 m k i a i ∣ k i ∈ R , i = 1 , ⋯ , m } L=\{\bold{x}=\sum_{i=1}^{m}k_{i}\bold{a_{i}}|k_i\in\mathbb{R},i=1,\cdots,m\} L={x=i=1∑mkiai∣ki∈R,i=1,⋯,m}
子空间
-
设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2是两个向量空间,若 V 1 ⊆ V 2 V_1\subseteq{V_2} V1⊆V2,则 V 1 V_1 V1是 V 2 V_2 V2的子空间
-
例如,任何 n n n维向量所构成的向量空间 V V V,总有 V ⊆ R n V\subseteq{\mathbb{R}^n} V⊆Rn
例
- 设矩阵 A ∈ R m × n A\in{\mathbb{R}^{m\times{n}}} A∈Rm×n齐次线性方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解集 S = { ξ ∣ A ξ = 0 , ξ ∈ R n } S=\{\xi|A\xi=0,\xi\in\mathbb{R}^n \} S={ξ∣Aξ=0,ξ∈Rn},证明S是 R n R^n Rn的子空间
- 证明:
- 因为
A
ξ
=
0
A\xi=0
Aξ=0至少又零解
A
0
=
0
A0=0
A0=0,所以
S
≠
∅
S\neq\empty
S=∅
- 如果 A ξ = 0 A\xi=0 Aξ=0只有零解,那么S是零空间向量 { 0 } \{0\} {0},它是 R n R^n Rn的一个(平凡)子空间
- 如果
A
ξ
=
0
A\xi=0
Aξ=0存在非零解,那么S含有无穷多个向量
- 对于任意的
ξ
1
,
ξ
2
∈
S
,
k
∈
R
\xi_1,\xi_2\in{S},k\in{R}
ξ1,ξ2∈S,k∈R,根据线性方程组解的性质,可知
- ξ = ξ 1 + ξ 2 \xi=\xi_1+\xi_2 ξ=ξ1+ξ2, η = k ξ 1 \eta=k\xi_1 η=kξ1依然是 A ξ = 0 A\xi=0 Aξ=0的解,即 ξ , η ∈ S \xi,\eta\in{S} ξ,η∈S
- 从而 S S S是一个向量空间(S中的元素都是n维向量)
- 又因为 S S S显然是 R n R^n Rn的一个子集,所以S是 R n R^n Rn的子空间
- 对于任意的
ξ
1
,
ξ
2
∈
S
,
k
∈
R
\xi_1,\xi_2\in{S},k\in{R}
ξ1,ξ2∈S,k∈R,根据线性方程组解的性质,可知
- 因为
A
ξ
=
0
A\xi=0
Aξ=0至少又零解
A
0
=
0
A0=0
A0=0,所以
S
≠
∅
S\neq\empty
S=∅
生成子空间
-
一组向量的 生成子空间（span）是原始向量线性组合后所能抵达的结果的集合。
-
确定 A x = b Ax = b Ax=b 是否有解相当于确定向量 b 是否在 A 列向量的生成子空间中。
- A ∈ R m × n A\in\mathbb{R}^{m\times{n}} A∈Rm×n
- x ∈ R n × 1 x\in\mathbb{R}^{n\times{1}} x∈Rn×1
- b ∈ R m × 1 b\in\R^{m\times{1}} b∈Rm×1
-
A向量组的生成子空间被称为 A 的 列空间（column space）或者 A 的 值域（range）。
-
为了使方程 A x = b Ax = b Ax=b 对于任意向量 b ∈ R m b\in\mathbb{R}^m b∈Rm 都存在解，我们要求 A 的列空间构成整个 R m \mathbb{R}^m Rm。
- 这意味者b一定会落在A的列空间
-
如果 R m \mathbb{R}^m Rm 中的某个点不在 A 的列空间中(向量b无法被矩阵A线性表出)，那么该点对应的 b 会使得该方程没有解。
-
矩阵 A 的列空间是整个 R m \mathbb{R}^m Rm 的要求，意味着 A 至少有 m 列，即
-
n
⩾
m
n\geqslant m
n⩾m。否则，A 列空间的维数会小于 m。
- 例如，假设 A 是一个 3 × 2 的矩阵。目标 b 是 3 维的，但是 x 只有 2 维。
- 所以无论如何修改二维向量 x x x 的值，也只能描绘出 R 3 \mathbb{R}^3 R3 空间中的二维平面,当且仅当向量 b 在该二维平面中时，该方程有解。
-
n
⩾
m
n\geqslant{m}
n⩾m仅是方程对每一点都有解的必要条件。这不是一个充分条件，因为有些列向量可能是冗余的。
- 假设有一个 R 2 × 2 \mathbb{R}^{2\times{2}} R2×2 中的矩阵，它的两个列向量是相同的。
- 那么它的列空间和它的一个列向量作为矩阵时的列空间是一样的。
- 换言之，虽然该矩阵有 2 列，但是它的列空间仍然只是一条线(只能描述某个方向)，不能涵盖整个 R 2 \mathbb{R}^2 R2 空间。
-
n
⩾
m
n\geqslant m
n⩾m。否则，A 列空间的维数会小于 m。
向量空间相等
- 设向量组
A
:
a
1
,
⋯
,
a
m
A:\bold{a_1,\cdots,a_m}
A:a1,⋯,am与
B
:
b
1
,
⋯
,
b
s
B:\bold{b_1,\cdots,b_s}
B:b1,⋯,bs等价,记
- L 1 = { x = ∑ i = 1 m λ i a i ∣ λ i ∈ R , i = 1 , ⋯ , m } L_1=\{\bold{x}=\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bold{a_{i}}|\lambda_i\in\mathbb{R},i=1,\cdots,m\} L1={x=∑i=1mλiai∣λi∈R,i=1,⋯,m}
- L 2 = { x = ∑ i = 1 s μ i b i ∣ μ i ∈ R , i = 1 , ⋯ , s } L_2=\{\bold{x}=\sum_{i=1}^{s}\mu_{i}\bold{b_{i}}|\mu_i\in\mathbb{R},i=1,\cdots,s\} L2={x=∑i=1sμibi∣μi∈R,i=1,⋯,s}
- 则 L 1 = L 2 L_1=L_2 L1=L2
- 证明:
- L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2分别表示可以由 A , b A,b A,b线性表示的向量集合(向量空间)
- 设 x ∈ L 1 \bold{x}\in{L_1} x∈L1,则 x \bold{x} x可以由 A A A线性表示
- 又因为 A A A可以用 B B B线性表示,所以 x \bold{x} x可以用 B B B线性表示
- 从而 \bold{} x ∈ L 2 \bold{x}\in L_2 x∈L2,即 L 1 ⊆ L 2 L_1\subseteq{L_2} L1⊆L2
- 同理,可以证明 L 2 ⊆ L 1 L_2\subseteq{L_1} L2⊆L1
- 所以 L 1 = L 2 L_1=L_2 L1=L2
n n n维向量空间
-
n
n
n维向量全体构成的集合
R
n
\mathbb{R}^n
Rn称为
n
n
n维向量空间
- 当一个向量空间强调维数是 n n n时,指的是其包含了所有 n n n维向量全体而不是部分
- n n n维向量空间显然是向量空间,而且是特殊的一类向量空间
- 为了更加深入理解 n n n维向量空间,参考向量空间的基和维数一节
向量空间的几何形象
-
以 n n n维向量空间为例,当 n ⩽ 3 n\leqslant{3} n⩽3时有几何形象
-
n = 3 n=3 n=3时,空间有向线段可以形象的表示三维向量,从向量空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3可以看作是以坐标原点为起点的有向线段的全体
-
由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应,因此 R 3 \mathbb{R}^3 R3还可以看作取定坐标原点的点空间
例
-
R
3
R^3
R3的子集
V
=
{
α
=
(
a
1
,
a
2
,
0
)
T
∣
a
1
,
a
2
∈
R
}
V=\{\alpha=(a_1,a_2,0)^T|a_1,a_2\in{R}\}
V={α=(a1,a2,0)T∣a1,a2∈R}
- 从几何的角度看,是空间直角坐标系中 x O y xOy xOy平面上的全体向量构成的
- 且 ϵ 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T , ϵ 2 = ( 0 , 1 , 0 ) \epsilon_1=(1,0,0)^T,\epsilon_2=(0,1,0) ϵ1=(1,0,0)T,ϵ2=(0,1,0)可以表示U内的任意向量( A = ϵ 1 , ϵ 2 A=\epsilon_1,\epsilon_2 A=ϵ1,ϵ2是U的一组基)
- A A A包含2个线性无关向量,因此U的维数为2,记为 dim U = 2 \dim{U}=2 dimU=2或 R ( V ) = 2 R(V)=2 R(V)=2
向量空间的属性
基和维数
-
设 V V V为向量空间,如果向量组 V 0 : α 1 , ⋯ , α r ∈ V V_0:\alpha_1,\cdots,\alpha_r\in{V} V0:α1,⋯,αr∈V,且
- A A A线性无关
- V V V中的任意向量可以用 V 0 V_0 V0线性表示
-
则:
- 称向量组 V 0 V_0 V0是 V V V的一组基,基包含的向量个数 r r r是 V V V的维数,记为 r = R ( V ) r=R(V) r=R(V)
- Note:其中基的概念和向量组的极大无关组描述形式相同,维数和向量组的秩描述形式相同
-
若 V V V没有基,那么 V V V的维数 R ( V ) = 0 R(V)=0 R(V)=0
-
0维向量空间仅有一个零向量 0 \bold{0} 0
- 若某个向量空间 V V V包含非零向量 ξ \xi ξ,则 V V V至少存在一个不为空的基(由向量 ξ \xi ξ这一个向量构成的向量组 V 0 : ξ V_0:\xi V0:ξ),从而 R ( V ) ⩾ 1 R(V)\geqslant{1} R(V)⩾1
- 所以 0 0 0维向量空间只有零向量
向量空间的维数
- 维数是 r r r的向量空间的是** r r r维向量空间**
- 向量空间的维数不是于空间内向量的维数,而取决于向量空间的基包含的向量个数
- 若向量空间 V V V的向量维数是 n n n,则 V V V的极大无关组包含的向量个数 r ⩽ n r\leqslant{n} r⩽n(由向量组线性相关性性质,任意任意 n + 1 n+1 n+1或更多 n n n维向量一定是线性相关的)
- 参考齐次线性方程组的基础解系
向量空间看作向量组
- 若把向量空间 V V V看作向量组,则有如下等价关系
向量空间的基和极大无关组
- V V V的基 V 0 V_0 V0就是一个极大无关组
- 因此,任意 n n n个线性无关的 n n n维向量都可以作为 R n \mathbb{R}^n Rn的一个基, R n \mathbb{R}^n Rn的维数为 n n n,因此我们把 R n \mathbb{R}^n Rn称为 n n n维向量空间
向量空间的维数和秩
- V V V的维数就是秩 ( R ( V ) = r ) (R(V)=r) (R(V)=r)
例
-
V
=
{
(
0
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
T
∣
x
i
∈
R
,
i
=
2
,
⋯
,
n
}
V=\{(0,x_2,\cdots,x_n)^T|x_i\in{\mathbb{R}},i=2,\cdots,n\}
V={(0,x2,⋯,xn)T∣xi∈R,i=2,⋯,n}
- 令 V 0 : e 2 , ⋯ , e n V_0:\bold{e_2,\cdots,e_n} V0:e2,⋯,en,其中 e i \bold{e}_i ei表示将 n n n维零向量的第 i i i个分量置为1的向量
- V 0 V_0 V0可以线性表示任意给定的向量 ξ ∈ V \xi\in{V} ξ∈V,所以 V 0 V_0 V0是 V V V一个基,包含 n − 1 n-1 n−1个向量
- 由此可知, V V V是一个 n − 1 n-1 n−1维向量空间
向量空间关于基的表示
- 设
L
=
{
x
=
∑
i
=
1
m
λ
i
a
i
∣
λ
i
∈
R
,
i
=
1
,
⋯
,
m
}
L_=\{\bold{x}=\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bold{a_{i}}|\lambda_i\in\mathbb{R},i=1,\cdots,m\}
L={x=∑i=1mλiai∣λi∈R,i=1,⋯,m}是
A
:
a
1
,
⋯
,
a
m
A:\bold{a_1,\cdots,a_m}
A:a1,⋯,am生成的向量空间
- 显然 L L L与 A A A等价,所以 A A A的极大无关组 A 0 A_0 A0同时也是 L L L的极大无关组,所以 A 0 A_0 A0也是 L L L的基
- 若 V 0 : a 1 , ⋯ , a r V_0:\bold{a_1,\cdots,a_{r}} V0:a1,⋯,ar是 V V V的一个基,则 V = { x = ∑ i = 1 r λ i a i ∣ λ i ∈ R , i = 1 , ⋯ , r } V=\{\bold{x}=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}\bold{a_{i}}|\lambda_i\in\mathbb{R},i=1,\cdots,r\} V={x=∑i=1rλiai∣λi∈R,i=1,⋯,r}是 V V V所生成的向量空间,同时是 V V V关于 V 0 V_0 V0的基
齐次线性方程组解空间的表示
- S = { x ∣ A x = 0 } S=\{\bold{x|Ax=0}\} S={x∣Ax=0}, r = R ( A ) r=R(\bold{A}) r=R(A), x \bold{x} x是 n n n维列向量,则 S S S的维数为 n − r n-r n−r(注意不是 r r r)
- 若 ξ 1 , ⋯ , ξ n − r \xi_1,\cdots,\xi_{n-r} ξ1,⋯,ξn−r是 S S S的一个基,则解空间可以表示维 S S S= { x = ∑ i = 1 n − r k i a i ∣ k i ∈ R , i = 1 , ⋯ , n − r } \{\bold{x}=\sum_{i=1}^{n-r}k_{i}\bold{a_{i}}|k_i\in\mathbb{R},i=1,\cdots,n-r\} {x=∑i=1n−rkiai∣ki∈R,i=1,⋯,n−r}
坐标
- 如果 V 0 : α 1 , ⋯ , α r V_0:\alpha_1,\cdots,\alpha_r V0:α1,⋯,αr是V的一组基,任意 ξ ∈ V \bold{\xi}\in{V} ξ∈V可以由 A A A唯一线性表示为: ξ = ∑ i = 1 r k i α i \xi=\sum\limits_{i=1}^{r}k_i\alpha_i ξ=i=1∑rkiαi数组 k 1 , ⋯ , k r k_1,\cdots,k_r k1,⋯,kr称为向量 x \bold{x} x在基 V 0 V_0 V0中的坐标,记为 x = ( k 1 , ⋯ , k r ) x=(k_1,\cdots,k_r) x=(k1,⋯,kr)
自然基
- 在 n n n维向量空间 R n \mathbb{R}^n Rn中取单位坐标向量组 E n : e 1 , ⋯ , e n E_n:\bold{e_1,\cdots,e_n} En:e1,⋯,en为基,则以 x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn为分量的向量 x \bold{x} x,可表示为 x = ∑ i = 1 n x i e i \bold{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\bold{e_i} x=∑i=1nxiei
- 可见,向量在 E n E_n En为基的坐标就是该向量的分量,因此 E n E_n En叫做 R n \mathbb{R}^n Rn的自然基
例
-
在 R 3 \mathbb{R}^3 R3中取基: A : α 1 , α 2 , α 3 A:\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 A:α1,α2,α3
- α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T α 2 = ( 0 , − 1 , 0 ) T α 3 = ( 0 , 0 , − 1 ) T \alpha_1=(1,0,0)^T \\ \alpha_2=(0,-1,0)^T \\ \alpha_3=(0,0,-1)^T α1=(1,0,0)Tα2=(0,−1,0)Tα3=(0,0,−1)T
-
求向量 α = ( 1 , 2 , 3 ) T \alpha=(1,2,3)^T α=(1,2,3)T在 A A A下的坐标
-
通过解 A x = α A{x}=\alpha Ax=α线性方程,其解向量就是坐标
-
( A ∣ α ) = ( 1 0 0 1 0 − 1 0 2 0 0 − 1 3 ) ∼ r ( 1 0 0 1 0 1 0 − 2 0 0 1 − 3 ) = B ( x 1 , x 2 , x 3 ) T = ( 1 , − 2 , − 3 ) T (A|\alpha)= \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\ 0&-1&0&2\\ 0&0&-1&3 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\ 0&1&0&-2\\ 0&0&1&-3 \end{pmatrix}=B \\ (x_1,x_2,x_3)^T=(1,-2,-3)^T (A∣α)= 1000−1000−1123 ∼r 1000100011−2−3 =B(x1,x2,x3)T=(1,−2,−3)T
-
其中 R ( A ) = 3 R(A)=3 R(A)=3,所以 A A A线性无关,是 R 3 \mathbb{R}^3 R3的基,能够表示任意3维向量的坐标
-
因此 α \alpha α在 A A A为基的坐标为 ( 1 , − 2 , − 3 ) (1,-2,-3) (1,−2,−3)
-
-
基变换和过渡矩阵
- 对于不同的基 A i A_i Ai,同一个向量的坐标一般因基的不同而不同
- 设n维空间向量的两组基: A : α 1 , ⋯ , α n A:\alpha_1,\cdots,\alpha_n A:α1,⋯,αn, B : β 1 , ⋯ , β n B:\beta_1,\cdots,\beta_n B:β1,⋯,βn,
- 求两个不同基的转换(一个基用另一个基表示)的公式称为基变换公式
- A = ( A ) , B = ( B ) ∈ R n × n \bold{A}=(A),\bold{B}=(B)\in\mathbb{R}^{n\times{n}} A=(A),B=(B)∈Rn×n,显然 A , B A,B A,B都是可逆方阵( R ( A ) = R ( B ) = n R(A)=R(B)=n R(A)=R(B)=n)
- 用 A A A表示 B B B的公式 B = A X \bold{B={AX}} B=AX称为 A → B \bold{A\to{B}} A→B的基变换公式;
- 称矩阵 X \bold{X} X为 A → B \bold{A\to{B}} A→B的过渡矩阵,过渡矩阵的计算公式: X = A − 1 B \bold{X=A^{-1}B} X=A−1B
基坐标变换公式
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求同一个向量在两个基中的坐标之间的关系称为坐标变换公式
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对于任意的向量 α ∈ R n \alpha\in{\mathbb R}^n α∈Rn, α \alpha α在 A A A下的坐标设为 x = ( x 1 , ⋯ , x n ) T \bold{x}=(x_1,\cdots,x_n)^T x=(x1,⋯,xn)T,在 B B B下的坐标设为 y = ( y 1 , ⋯ , y n ) T \bold{y}=(y_1,\cdots,y_n)^T y=(y1,⋯,yn)T
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即 α = A x = B y \bold{\alpha=Ax=By} α=Ax=By
- y = B − 1 A x \bold{{y}=B^{-1}Ax} y=B−1Ax;
- x = A − 1 B y \bold{x=A^{-1}By} x=A−1By
- 两个公式被称为基坐标变换公式
n维单位坐标向量的表示
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n维向量全体集合 R n \mathbb{R}^n Rn可构成的向量空间V
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用数学语言描述只有第 i i i个元素不为0的情况。一种可能的方法是使用克罗内克符号，它是一个二元函数，定义为：
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记 ϵ i \epsilon_i ϵi表示把零向量的第 i i i个元素改为1后的向量,通常取列向量;它的其他描述方法:
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ϵ i = ( δ i 1 , δ i 2 , ⋯ , δ i n ) T \epsilon_{i}=(\delta_{i1},\delta_{i2},\cdots,\delta_{in})^T ϵi=(δi1,δi2,⋯,δin)T
- δ i j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j \delta_{ij}= \begin{cases} 1,&i=j\\ 0,&i\neq{j} \end{cases} δij={1,0,i=ji=j
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ϵ i = ( a 1 , ⋯ , a n ) T \epsilon_i=(a_1,\cdots,a_n)^T ϵi=(a1,⋯,an)T
- a j = { 1 , j = i 0 , j ≠ i j = 1 , ⋯ , n a_{j}= \begin{cases} 1,&j=i\\ 0,&j\neq{i} \end{cases} \quad j=1,\cdots,n aj={1,0,j=ij=ij=1,⋯,n
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