EM@三角函数诱导公式
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诱导公式
单位圆坐标和三角函数
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例如, s i n ( θ + π ) = − s i n ( θ ) ; 这里 ϕ ( θ ) = π + θ sin(\theta+\pi)=- sin(\theta);这里\phi(\theta)=\pi+\theta sin(θ+π)=−sin(θ);这里ϕ(θ)=π+θ
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途中各个点的横纵坐标分值分别对应 p ( c o x ( ϕ ( θ ) ) , s i n ( ϕ ( θ ) ) ) 途中各个点的横纵坐标分值分别对应p(cox(\phi(\theta)),sin(\phi(\theta))) 途中各个点的横纵坐标分值分别对应p(cox(ϕ(θ)),sin(ϕ(θ)))
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途中设定了两个超级点(主超级点为 A ( c o s θ , s i n θ ) , 副超级点 B ( s i n θ , c o s θ ) A(cos\theta,sin\theta),副超级点B(sin\theta,cos\theta) A(cosθ,sinθ),副超级点B(sinθ,cosθ)
- 所有的其他角度都可以由超级点关于 x 轴或者 y 轴或者圆心原点 ( 或者 θ = π 2 ) 对称 所有的其他角度都可以由超级点关于x轴或者y轴或者圆心原点(或者\theta=\frac{\pi}{2})对称 所有的其他角度都可以由超级点关于x轴或者y轴或者圆心原点(或者θ=2π)对称
- 比如 ϕ ( θ ) = θ − π 2 ; 则 s i n ( ϕ ( θ ) ) = − c o s θ ; c o s ( ϕ ( θ ) ) = s i n θ \phi(\theta)=\theta-\frac{\pi}{2};则sin(\phi(\theta))=-cos\theta;cos(\phi(\theta))=sin\theta ϕ(θ)=θ−2π;则sin(ϕ(θ))=−cosθ;cos(ϕ(θ))=sinθ
记忆口诀
- 对于 k π 2 ± α ( k ∈ Z ) k\frac{\pi}{2}\pm\alpha(k\in \mathbb{Z}) k2π±α(k∈Z)的三角函数值，
符号看象限
- 口诀总是把 α \alpha α看作锐角， 2 π − α ∈ ( 270 ° ， 360 ° ) , 弧度角 2 π − α 终边落在第 4 象限， s i n ( 2 π − α ) < 0 2π-α∈(270°，360°),弧度角2\pi-\alpha终边落在第4象限，sin(2π-α)<0 2π−α∈(270°，360°),弧度角2π−α终边落在第4象限，sin(2π−α)<0，符号为“-”
奇变偶不变
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当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
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当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即
- sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan
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然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号
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对于 tan , sec , csc , cot \tan,\sec,\csc,\cot tan,sec,csc,cot可以转化为 cos , sin \cos,\sin cos,sin处理
例
- s i n ( 2 π − α ) = s i n ( 4 ⋅ π 2 − α ) sin(2π-α)=sin(4·\frac{\pi}{2}-α) sin(2π−α)=sin(4⋅2π−α)，k=4为偶数，所以函数名(绝对值部分)是 sin α \sin\alpha sinα。
- 所以 s i n ( 2 π − α ) = − s i n α sin(2π-α)=-sinα sin(2π−α)=−sinα
常用诱导公式🎈
常用部分(5对)
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sin ( − α ) = − sin α \sin(-\alpha)=-\sin{\alpha} sin(−α)=−sinα
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cos ( − α ) = cos α \cos(-\alpha)=\cos{\alpha} cos(−α)=cosα
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sin ( π 2 − α ) = cos α \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos{\alpha} sin(2π−α)=cosα
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cos ( π 2 − α ) = sin α \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin{\alpha} cos(2π−α)=sinα
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sin ( π 2 + α ) = cos α \sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos{\alpha} sin(2π+α)=cosα
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cos ( π 2 + α ) = − sin α \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin{\alpha} cos(2π+α)=−sinα
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sin ( π − α ) = sin α \sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha} sin(π−α)=sinα
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cos ( π − α ) = − cos α \cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha} cos(π−α)=−cosα
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sin ( π + α ) = − sin α \sin(\pi+\alpha)=-\sin{\alpha} sin(π+α)=−sinα
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cos ( π + α ) = − cos α \cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{\alpha} cos(π+α)=−cosα
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总之,第一象限全是正的,第三象限全是负的
倒数关系
正弦 ( s i n e ) × 余割 ( c o − s e c a n t ) = 1 正割 ( s e c a n t ) × 余弦 ( c o − s i n e ) = 1 正切 ( t a n g e n t ) × 余切 ( c o − t a n g e n t ) = 1 正弦(sine)\times余割(co-secant)=1 \\正割(secant)\times余弦(co-sine)=1 \\ 正切(tangent)\times余切(co-tangent)=1 正弦(sine)×余割(co−secant)=1正割(secant)×余弦(co−sine)=1正切(tangent)×余切(co−tangent)=1
| tan·gent | co·tan·gent | se·cant | co·se·cant |
|---|---|---|---|
| /ˈtanjənt/ | /kōˈtanjənt/ | /ˈsēˌkant,ˈsēˌkənt/ | /kōˈsēkənt/ |
| 正切 | 余切 | 正割 | 余割 |
六种三角函数间的转换关系
- 正弦余弦&正割余割&正切余切间的转换(
π
2
\frac{\pi}{2}
2π)
小结
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π 2 − α \frac{\pi}{2}-\alpha 2π−α:关于 y = x y=x y=x对称
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关于 y = x y=x y=x对称的两点 P 1 = ( x 1 , y 1 ) , P 2 = ( x 2 , y 2 ) P_1=(x_1,y_1),P2=(x_2,y_2) P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)坐标关系:
- x 1 = y 2 x_1=y_2 x1=y2
- x 2 = y 1 x_2=y_1 x2=y1
Reflections
Shifts and periodicity
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