LA@AM@向量间的位置关系@垂直@平行@共面判定@混合积

文章目录

• • abstract
  • 向量垂直
  • 向量平行👺
  • • 向量平行的充要条件👺
    • 向量外积表示平行
    • • 乘积式
      • 比例式(常用)
      • refs
      • 从向量积的坐标公式推导模长
  • 混合积🎈
  • • 定义
    • 混合积性质
    • • 行向量互换,混合积变号
      • 轮换对称性
      • 仅包含两个向量的混合积运算为零向量
    • 平行六面体体积
    • 三向量共面判定
    • 例👺
  • 向量乘积的应用
  • • 数量积的应用
    • 外积的应用
    • 混合积的应用

abstract

• 向量代数@向量乘积的应用@向量间的关系@垂直和平行判定@混合积

向量垂直

判定两个向量垂直$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}\iff \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

• 因为两个向量垂直,则他们的夹角为$\theta =\frac{\pi }{2}$,$\cos \theta =0$
• 根据夹角余弦公式,得出$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$的结论
• 反之,如果$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$则$\cos \theta =0,\theta \in [0,\pi ]$,从而$\theta =\frac{\pi }{2}$,推出向量$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$

向量平行👺

向量平行的充要条件👺

• 设向量$\mathbf{a}\ne 0$,则向量$\mathbf{b}$平行于$\mathbf{a}$的充分必要条件是:存在唯一的实数$\lambda$,使$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$
• 证明:
  • 条件的充分性显然
  • 必要性:根据$\mathbf{b}//\mathbf{a}$推导$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$中$\lambda$存在且唯一
    • 两个向量相等需要满足2个条件:
      • 方向平行(可以是同向或者反向(即夹角是0或者$\pi$))
        • 满足该条件的两个向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的关系可以描述为$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$
      • 两个向量的模相等
    • 设$\mathbf{b}//\mathbf{a}$,向量平行包含同向和反向两种可能
      • 令$|\lambda |=\frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}=t$,则$|\lambda \mathbf{a}|=|\lambda ||\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$
      • 当$\mathbf{b},\mathbf{a}$同向时,$\lambda =t$,反向时$\lambda =-t$,因此存在$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$,
    • 唯一性:
      • 设$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$,$\mathbf{b}=\mu \mathbf{a}$,将两式子相减:$(\lambda -\mu )\mathbf{a}=0$,分别求两边的摸
      • 则$|\lambda -\mu ||\mathbf{a}|=0$
      • 而$|\mathbf{a}|\ne 0$,从而$\lambda -\mu =0$,即$\lambda =\mu$
      • 因此$\lambda$唯一

向量外积表示平行

• 若$\mathbf{a}//\mathbf{b}$,则$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$
  • 则$a_y{b}_z-b_y{a}_z=0$;$b_x{a}_z-a_x{b}_z=0$;$a_x{b}_y-b_x{a}_y=0$

乘积式

• 乘积形式的平行关系方程:

  • $a_y{b}_z=b_y{a}_z$;$b_x{a}_z=a_x{b}_z$;$a_x{b}_y=b_x{a}_y$

比例式(常用)

• 比例形式的平行关系方程:

  • 在条件($b_x{b}_y{b}_z\ne 0$)下,即$\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}$(1)

• 满足比例形式的方程,那么一定满足乘积形式方程,反之不一定

  • 将式(1)扩展成不需要条件$b_x{b}_y{b}_z\ne 0$的形式,可将形式变换为若干组乘积形式:
    • $a_y{b}_z=b_y{a}_z$;
    • $b_x{a}_z=a_x{b}_z$;
    • $a_x{b}_y=b_x{a}_y$

• 当$b_x,b_y,b_z$中恰好一个为0(例如,$a_x=0$)

  • 此时比例式$\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}=k\ne 0$理解为

    • $$\begin{gathered} a_x=k{b}_x=0 \\ \frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}=k \end{gathered}$$

  • 其他2中情况类似($a_y=0,a_z=0$)

• 当$b_x,b_y,b_z$中恰好有2个为0,例如($b_x,b_y=0$)

  • $$\begin{gathered} a_x=a_y=0 \\ \frac{a_z}{b_z}=k \end{gathered}$$

refs

• 参考资料:叉积 (wikipedia.org)

  • 外积可以表达为这样的行列式：
    $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$
    这个行列式可以使用萨吕法则或拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为：
    $\begin{array}{rl}\mathbf{u}\times \mathbf{v}& =(u_2{v}_3\mathbf{i}+u_3{v}_1\mathbf{j}+u_1{v}_2\mathbf{k})-(u_3{v}_2\mathbf{i}+u_1{v}_3\mathbf{j}+u_2{v}_1\mathbf{k})\\ & =(u_2{v}_3-u_3{v}_2)\mathbf{i}+(u_3{v}_1-u_1{v}_3)\mathbf{j}+(u_1{v}_2-u_2{v}_1)\mathbf{k}\end{array}$
    使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为：[2]
    $\begin{array}{rl}\mathbf{u}\times \mathbf{v}& =\left|\begin{array}{cc}{u}_2& u_3\\ v_2& v_3\end{array}\right|\mathbf{i}-\left|\begin{array}{cc}{u}_1& u_3\\ v_1& v_3\end{array}\right|\mathbf{j}+\left|\begin{array}{cc}{u}_1& u_2\\ v_1& v_2\end{array}\right|\mathbf{k}\\ & =(u_2{v}_3-u_3{v}_2)\mathbf{i}-(u_1{v}_3-u_3{v}_1)\mathbf{j}+(u_1{v}_2-u_2{v}_1)\mathbf{k}\end{array}$

• 方向性

  • $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$=$-(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$
    • 这一点根据上面的展开公式(行列式的行互换一次,结果取反)均可以看出
    • 而从右手法则也可以发现两个向量交换位置作外积后结果向量方向取反

• 分配律

  • $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})$=$\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$
  • 容易根据叉乘的展开式(行列式形式,运用行列式性质)证明

• 叉乘和数乘结合律

  • $\lambda a\times b=a\times (\lambda b)=\lambda (a\times b)$

从向量积的坐标公式推导模长

• $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$=$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$

• $$\begin{array}{rl}|a\times b{|}^2=& (a\times b)\cdot (a\times b)\\ =& (a_y{b}_z-b_y{a}_z,b_x{a}_z-a_x{b}_z,a_x{b}_y-b_x{a}_y)\cdot (a_y{b}_z-b_y{a}_z,b_x{a}_z-a_x{b}_z,a_x{b}_y-b_x{a}_y)\\ =& (a_y{b}_z-b_y{a}_z{)}^2+(b_x{a}_z-a_x{b}_z{)}^2+(a_x{b}_y-b_x{a}_y{)}^2\\ =& (a_y{b}_z-a_z{b}_y{)}^2+(a_z{b}_x-a_x{b}_z{)}^2+(a_x{b}_y-a_y{b}_x{)}^2\\ =& a_x^2(b_z^2+b_y^2)+a_y^2(b_z^2+b_x^2)+a_z^2(b_x^2+b_y^2)-2(a_y{b}_y{a}_z{b}_z+a_x{b}_x{a}_z{b}_z+a_x{b}_x{a}_y{b}_y)\\ =& a_x^2(b_z^2+b_y^2)+a_y^2(b_z^2+b_x^2)+a_z^2(b_x^2+b_y^2)\\ & +(a_x^2{b}_x^2+a_y^2{b}_y^2+a_z^2{b}_z^2)-(a_x^2{b}_x^2+a_y^2{b}_y^2+a_z^2{b}_z^2)\\ & -2(a_y{b}_y{a}_z{b}_z+a_x{b}_x{a}_z{b}_z+a_x{b}_x{a}_y{b}_y)\\ =& (a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b_x^2+b_y^2+b_z^2)\\ & -(a_x^2{b}_x^2+a_y^2{b}_y^2+a_z^2{b}_z^2+2(a_y{b}_y{a}_z{b}_z+a_x{b}_x{a}_z{b}_z+a_x{b}_x{a}_y{b}_y))\\ =& (a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b_x^2+b_y^2+b_z^2)-(a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z{)}^2\\ =& |\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2\\ =& |\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta {)}^2\\ =& |\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2{\cos }^2\theta \\ =& |\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2(1-{\cos }^2\theta )\\ =& |\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2{\sin }^2\theta \end{array}$$

• $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$

混合积🎈

定义

• 三个向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$的混合积定义为$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$,简记为$(\mathbf{abc})$或$[\mathbf{abc}]$,混合积的值也是数量而不是向量

• $$\begin{gathered} (abc)=(a\times b)\cdot c \\ =(\left|\begin{array}{cc}{a}_y& a_z\\ b_y& b_z\end{array}\right|i-\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_z\\ b_x& b_z\end{array}\right|j+\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_y\\ b_x& b_y\end{array}\right|k)(c_{x}i+c_{y}j+c_{z}k) \\ =(\left|\begin{array}{cc}{a}_y& a_z\\ b_y& b_z\end{array}\right|c_x-\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_z\\ b_x& b_z\end{array}\right|c_y+\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_y\\ b_x& b_y\end{array}\right|c_z) \\ =\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& b_y& c_z\end{array}\right| \end{gathered}$$

• 逆向观察该公式:

  • $$\begin{gathered} A=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& b_y& c_z\end{array}\right|=(abc) \\ B=\left|\begin{array}{ccc}{b}_x& b_y& b_z\\ c_x& b_y& c_z\\ a_x& a_y& a_z\end{array}\right|=(bca) \\ C=\left|\begin{array}{ccc}{c}_x& b_y& c_z\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=(cab) \end{gathered}$$

  • 由行列式行(列)交换一次,结果取反的结论可知,B,C都是相对于A交换量词得到的,从而$A=B=C$

混合积性质

行向量互换,混合积变号

• $(\mathbf{abc})=-(\mathbf{acb})=-(\mathbf{cba})=-(\mathbf{bac})$

• Note:

  • 将1,2,3通过交换位置得到$3,2,1$至少需要交换3次,例如
    • 123,213,231,321
    • 因为321的逆序数是3,而将一个序列中的某两个数位置调换,逆序数变化1(可能增加1也可能减少1)
    • 123的逆序数为0,3-0=3,因此,假设每次变换都使得逆序数+1,也至少要交换3次
    • 相关原理见线性代数

轮换对称性

• 根据行列式的性质,行互换操作执行2次:$(\mathbf{abc})=(\mathbf{bca})=(\mathbf{cab})$

仅包含两个向量的混合积运算为零向量

• 设$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$中存在两个是相等的,则$(\mathbf{abc})=0$,
  • 由行列式性质容易证明,因为此时$\mathbf{abc}$对应的行列式中有相等的两行(甚至三行),那么行列式的值为0
• 例如$(\mathbf{aba})$=0

平行六面体体积

• $V_{parallelepiped}=|(\mathbf{abc})|$
  • $V=|(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}|$
    • 记底面的法向量$\mathbf{d}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$,$|\mathbf{d}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$是平行六面体的底面积S($S=|\mathbf{d}|$)
    • $V=|\mathbf{d}\cdot \mathbf{c}|=|\mathbf{d}||\mathbf{c}|\cos \varphi$,
      • 其中$\varphi =<\mathbf{d},\mathbf{c}>$
      • $h=|\mathbf{c}|\cos \varphi$是平行六面体的高度(底面处在$\mathbf{a},\mathbf{b}$所在的平面上)
• 平行六面体,可以由3条向量的棱唯一确定

  • 假设有3个共面但不同方向的向量,且假设他们的起点都位于$O$,终点分别为$A,B,C$

    • 将其中的一条的终点抬起,不妨设为C,则将$\overrightarrow{OC}$
    • 以$|OA|,|OB|$为一组邻构成的平行四边形是唯一的,不妨记为$\square OADB$
    • 将$\overrightarrow{OC}$沿着$\square OADB$平移一周,扫描过的面构成平行六面体的4个侧面,这些侧面的顶点共有8个,连接起来就是该组向量所确定的平行六面体,简记为$\mathcal{H}$,$\mathcal{H}$以$\square OADB$为底面的高是$\overrightarrow{OC}$在$\mathbf{d}=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}$上的投影$h={\text{Prj}}_{\mathbf{d}}\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{OA}||\cos \varphi |$

  • 平行六面体的一个特例是长方体

  • 平行六面体有六个面,12条棱

三向量共面判定

• $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$共面$\iff (\mathbf{abc})=0$(说明平行六面体的体积为0)

例👺

• 设$\mathbf{a}\times \mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=2$,(即$(\mathbf{abc})=2$),则$((\mathbf{a}+\mathbf{b})\times (\mathbf{b}+\mathbf{c}))\cdot (\mathbf{c}+\mathbf{a})$=$4$
  • 利用分配律展开计算;注意$\mathbf{b}\times \mathbf{b}=0$;$\mathbf{b}\times \mathbf{a}=-\mathbf{a}\times \mathbf{b}$,$\mathbf{aba}$这类包含仅$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$中的两个的混合积结果为0

向量乘积的应用

数量积的应用

• 模@夹角余弦@垂直判定
  1. 求模:$|\mathbf{a}|$=$\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}$=$\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
  2. 求夹角余弦:求两个向量$a,b$的夹角余弦:$\cos \theta$=$\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
  3. 判垂直:判定两个向量垂直$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$$\iff$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

外积的应用

• 求法向量@判定平行@计算平行四边形面积
  1. 求向量:利用$\mathbf{a},\mathbf{b}$的向量积可以直接接近需要找到同时垂直于$\mathbf{a},\mathbf{b}$的向量(法向量)
  2. 求面积:设以向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$为邻边的平行四边形面积为S,$S=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$=$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$
  3. 判平行:$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$ $\iff$ $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$

混合积的应用

• 求以$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$为棱的平行六面体的体积,$V=|(\mathbf{abc})|$
• 判定三向量共面:$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$共面$\iff$ $(\mathbf{abc})$=0