空间直角坐标系@空间向量坐标分解式

文章目录

• • abstract
  • 空间直角坐标系
  • • 坐标面
    • 坐标和点
  • 向量的坐标分解式

abstract

• 空间直角坐标系@空间向量坐标分解式

空间直角坐标系

• 在空间取定1点O和3个两两垂直的单位向量$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$,就确定了3条都以O为原点的两两垂直的数轴;

  • 三个数轴依次记为$x,y,z$轴,分别称为横轴,纵轴,竖轴,统称为坐标轴(经常用$u$轴表示其中的某一个轴)

• 上述元素构成一个空间直角坐标系,称为$Oxyz$坐标系或者$[O;\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}]$坐标系

• 通常将$x,y$轴配置在水平面上,$z$轴作为铅垂线

• 它们的正向符合右手规则的是右手系,当右手的四个手指从正向$x$轴以$\frac{\pi }{2}$角度转向正向$y$轴时,大拇指的指向就是$z$轴

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• 其中$D$是$M$在$xOy$上的投影点

• A,B分别是$M$在$x,y$轴上的投影点

• 由立体几何的知识(过平面外的一点作垂直于平面的直线,则该直线垂直于平面上的任意直线),此处$x$轴垂直于平面${\Pi }_{ADM}$所确定的平面,且$AM\in {\Pi }_{AMD}$,所以$AM\perp OA$

坐标面

• 三条坐标轴的任意两条可以构成一个面,这样给出的面称为坐标面,例如,$x,y$轴确定的平面可以记为$xOy$面
  • 类似的有$xOz,yOz$坐标面
• 三个坐标面将空间分为8个部分,每个部分称为一个卦限
  • 分为2层,每层4个卦限,第一个卦限有三个坐标轴的正方向指出
  • 从第一卦限开始逆时针编号第一层的四个卦限
  • 第5卦限位于第一卦限正下方,从第5卦限开始逆时针编号5~8卦限

坐标和点

• 过空间任意点$P$作3个平面,分别垂直于$x,y,z$轴,

  • 设3个垂足对应的实数分别时$a,b,c$
  • 于是点$P$对应于一个三元实数组

• 反之,任给一个三元组$(a,b,c)$,可过$x,y,z$轴上的$a,b,c$分别作三张平面,它们分别垂直于$x,y,z$轴,这三张平面交于空间中的一点$P$

• 因此三元实数组和空间的点一一对应,$(a,b,c)$被称为点$P$的坐标,点$P$的坐标是$(a,b,c)$

向量的坐标分解式

• 任意向量$\mathbf{r}$,有对应点$M$,使得$\overrightarrow{OM}=\mathbf{r}$

• 以$OM$为对角线,三条坐标轴为棱,构建长方体,比如按8个顶点编号为$RHMK-OPNQ$,前4个字母表示长方体的第一层的4个顶点,后4个字母表示长方体的第二层的4个顶点

• 长方体的面可以有过点M的垂直于坐标面的平面以及3个坐标面相互截取围成的区域

• 设$R,P,Q$分别位于$x,y,z$轴上,设$\overrightarrow{OP}=x\mathbf{i}$,$\overrightarrow{OQ}=y\mathbf{j}$,$\overrightarrow{OR}=z\mathbf{k}$,则$\mathbf{r}=\overrightarrow{OM}$=$x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$(1)该式称为向量$\mathbf{r}$的坐标分解式

  • $x\mathbf{i},y\mathbf{j},z\mathbf{k}$称为向量$\mathbf{r}$的沿着3个坐标轴方向的分向量
  • 因此在坐标系$Oxyz$中,点坐标和向量有一 一对应的关系:$\mathbf{r}=(x,y,z)$

• 又比如:设向量$\mathbf{a}=(a_x,a_y,z_y)$对应的向量分别为

  • $\mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}$
  • $\mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k}$
  • $\lambda \mathbf{a}=\lambda a_x\mathbf{i}+\lambda a_y\mathbf{j}+\lambda a_z\mathbf{k}$