AM@空间直线方程@线线@线面位置关系

文章目录

• • 直线的方向向量
  • 空间直线方程
  • • 一般方程
    • 参数方程
    • 点向式(对称式)方程
    • 两点式方程
  • 直线方程的形式转化
  • • 三面交于点
    • 从一般方程到点向式方程
    • • 例
  • 两直线间的问题
  • • 两直线夹角问题
    • 直线夹角范围
    • 直线夹角余弦公式
    • 直线夹角和向量夹角的比较
    • 两直线的位置关系
    • • 两直线平行
      • 两直线垂直
  • 直线与平面问题
  • • 直线与平面的夹角
    • 线面位置关系
    • 线面垂直👺
    • 线面平行

直线的方向向量

• 如果一个非零向量$\mathbf{s}$平行于一条已知直线$\mathbf{l}$,那么向量$\mathbf{s}$就是$\mathbf{l}$的方向向量

• 过空间一点$M$有且仅有一条直线$\mathbf{s}$能和已知直线$\mathbf{l}$平行(夹角为$0$或$\pi$)

• 因此,若直线$\mathbf{l}$上的某点$M_0(x_0,y_0,z_0)$和方向向量$\mathbf{s}=(m,n,p)$已知时,直线$\mathbf{l}$就确定下来,其中$m,n,p$称为直线的方向数

• 两条直线平行的条件是方向数成比例

• 由$\mathbf{s}\ne 0$可知,$m,n,p$最多有2个为0

  • 当$m,n,p$中的某一个为0时,以$m=0$为例

    • $x-x_0=0k=0$
    • $\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

  • 当$m,n,p$中的某2个为0,以$m,n=0$为例

    • $x-x_0=0k=0$

    • $y-y_0=0k=0$

空间直线方程

一般方程

• 空间直线是空间曲线中的一种特殊情况,可以看作是某两个平面的交线

• 空间直线的一般方程可以表示为"方程组"

  • $$\begin{gathered} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0 \\ {A}_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0 \end{gathered}$$

• 过空间中某一直线的平面总是有无数个,只需要找到其中的2个,计算交线方程即可

参数方程

• 设直线$L$过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$,点$M(x,y,z)$是直线$L$上的任意一点,则向量$\overrightarrow{M_{0}M}$与$L$的方向向量$\mathbf{s}$平行,即$\overrightarrow{M_{0}M}//\mathbf{s}$,所以存在$t$使得$\overrightarrow{M_{0}M}=t\mathbf{s}$,即

  • $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$=$t(m,n,p)$(1),即方程组(1-1)

    1. $x-x_0=km$

    2. $y-y_0=kn$

    3. $z-z_0=kp$

  • 进一步变形为参数方程(2),参数为$t$

    1. $x=km+x_0$
    2. $y=kn+y_0$
    3. $z=kp+z_0$

  • 方程(2)称为直线的参数方程

点向式(对称式)方程

• 若$mnp\ne 0$,方程组(1-1)可以变形为

  • $\frac{x-x_0}{m}$=$\frac{y-y_0}{n}$=$\frac{z-z_0}{p}$(3),

• 但为了方便,这里我们允许$m,n,p$中至多出现2个0,并且将形如$\frac{x-x_0}{0}$的情形作除法之外的含义解释

  • 若$m,n,p$中存在0,例如$m=0$,则$\frac{x-x_0}{m}$理解为$x-x_0=m=0$

    • 此时方程(3)为:$x=x_0$,$\frac{y-y_0}{n}$=$\frac{z-z_0}{p}$(4)
    • 由于此时直线的所有点都满足$x=x_0$,可以确定直线(4)位于平面$x=x_0$上

  • 若$m,n,p$中存在2个0,例如$m=n=0$,此时

    • $x-x_0=m=0$,$y-y_0=n=0$;$\frac{z-z_0}{p}=k$
    • 方程(3)改写为$x=x_0$;$y=y_0$;(5)

• 例如,在直线方程的点向式方程中,$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$这种写法是允许的,表示的是一条过($1,-2,1)$点且方向向量为$(2,0,-1)$的直线,其参数方程可以表示为$x=1+2t;y=-2;z=1-t$;显然该直线在平面$y=-2$上

两点式方程

• 不重合的两点$M_1(x_1,y_1,z_1)$,$M_2(x_2,y_2,z_2)$可以确定一条直线
  • 两点可以确定直线的一个方向向量$\mathbf{n}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$
  • 再将已知的两个点中的任意一个点和方向向量构成点向式方程$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$=$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$=$\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$(6)
  • 方程(6)的形式也有分母非0的局限性,不是任意两点的直线都可以表示为式(6),必须是与任何坐标轴不垂直的直线才可以

直线方程的形式转化

• 直线的一般方程和参数方程可以表示任意直线
• 而对称式方程不能表示方向向量平行坐标轴或垂直于坐标轴面的直线(方向向量再某个轴上的投影为0的直线)
• 由于一般式方程不唯一,所以通常我们由一般方程求参数方程或对称式方程

三面交于点

• 两个不平行不重合的平面${\Pi }_1,{\Pi }_2$交线为直线$L$,再引入一个于该直线不平行也不重合的平面${\Pi }_3$,可以交出一个点
• 即,三个互不平行的平面构成的三条交线也互不相平行时,三个平面将交于一点
• 因此,经常使用一个平面方程(简单平面,通常平行于坐标面的平面,例如$z=0$)取截已知直线,得到直线上的一个点
• 然后再找到直线$L$的一个方向向量(例如,可以通过${\Pi }_1,{\Pi }_2$的法向量作向量积得到$L$的一个法向量);
• 此时便可以建立直线的点向式方程(或参数式方程)

从一般方程到点向式方程

• 设直线$L$由两平面${\Pi }_1,{\Pi }_2$相交而成$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$;$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$

• 为了建立点向式方程,需要求出一个点和直线的一个方向向量

  • 直线上的一点可以通过引入第三个平面方程,该平面截直线$L$得到一个点
  • 再利用平面${\Pi }_1,{\Pi }_2$的法向量作向量积,得到直线$L$的一个方向向量

• 首先找到直线L上得任意一点

  • 交点存在性:
    • 由于直线L的一般方程是一个包含2个3元1次方程的方程组,其具有无穷多个解(对应了直线上有无穷多个点)
    • 根据线性方程组的(解的结构)相关结论可以知道,方程组的解至少包含一个自由未知量
    • 更具体地,由于该方程组仅包含2个方程,因此判断他们是否称比例,如果不成比例,两个方程线性无关,能够找到一个交点
  • 为了找到直线L上的某一个具体的点
    • 设直线L上的一点$M(x_0,y_0,z_0)$,为了确定具体的点,不妨取定一个常数,比如$x_0=1$,代入到直线一般式方程组
    • 求解得到一个具体的$M$坐标

• 求解直线的方向向量(有3类方法)

  • 直接使用向量的外积得到方向向量最为直接$\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$

  • 也可以再求直线L上的另一点$N(x_1,y_1,z_1)$,则$\mathbf{s}=\overrightarrow{MN}$

  • 或者由L的方向向量和两个平面的法向量${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$,${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$同时垂直,计算出$\mathbf{s}=(m,n,p)$

    • ${\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{s}=0$

    • ${\mathbf{n}}_2\cdot \mathbf{s}=0$

    • 联立上述方程,$A_{1}m+B_{1}n+C_{1}p=0$;$A_{2}m+B_{2}n+C_{2}p=0$;可以得到用同一个字母表示作为坐标值构成的线向量,提取公因子

    • 具体可以表示为:

      • $$\begin{gathered} p=p(p)=p \\ n=n(p)=\frac{A_1{C}_2-A_2{C}_1}{A_2{B}_1-A_1{B}_2}p \\ m=m(p)=\frac{A_2{B}_{1}n+A_2{C}_{1}p}{A_2{A}_1} \end{gathered}$$

        也就是$m,n,p$都可以用仅含一个未知数的p的表达式表达

      • 这种方法不太方便

• 根据点向式方程公式构造直线的点向式方程

例

• 设直线L的一般方程

  • $x+y+z+1=0$
  • $2x-y+3z+4=0$

• 取$x_0=1$,则方程组变为:$y+z=-2$;$y-3z=6$

  • 解得:$y_0=0$,$z_0=-2$

• 从而点$M(1,0,-2)$在直线L上

• 以下有2种方法求解L的一个法向量

• 方法1:

  • 取$x_0=0$,可以算得$N(0,-\frac{1}{4},-\frac{5}{4})$是L上的另一点
  • 则$\overrightarrow{NM}=(1,-\frac{1}{4},-\frac{3}{4})$,可以取$\mathbf{s}=4\overrightarrow{NM}=(4,-1,-3)$

• 方法2:

  • 利用向量外积来求L的一个方向向量

  • $$\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=(1,1,1)\times (1,-1,3)=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& -1& 3\end{array}\right|=(4,-(1),-3)$$

  • 因此,可以取$\mathbf{s}=(4,-1,-3)$作为L的方向向量

• 所以点法式方程

  • $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}$

• 参数方程

  • 令$\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}$=$t$,得$x=4t+1$,$y=-t$,$z=-3t-2$

两直线间的问题

两直线夹角问题

• 两直线的夹角主要借助于直线的方向向量来讨论的

直线夹角范围

• 两直线夹角与在讨论平面的夹角(借助于平面的法向量)时的过程相仿
• 直线相交产生2组对顶角,直线夹角一般取较小的一组,两组对顶角分别设为${\theta }_1,{\theta }_2$,即$\theta =\min \{{\theta }_1,{\theta }_2\}$,$({\theta }_1+{\theta }_2=\pi )$,
• 因此设直线$L_1,L_2$的夹角为$\theta ,\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$,这个约定和平面夹角的范围相同

直线夹角余弦公式

• 设直线$L_i$的方向向量为${\mathbf{s}}_i=(m_i,n_i,p_i),i=1,2$

• 显然$\cos {\theta }_2=\cos (\pi -{\theta }_1)$=$-\cos {\theta }_1$;两边取绝对值,有$|\cos {\theta }_2|$=$|\cos {\theta }_1|$

• 因此,无论$\theta ={\theta }_1$或$\theta ={\theta }_2$,$\cos \theta$的余弦值总是满足$|\cos \theta |=|\cos {\theta }_1|=|\cos {\theta }_2|$

• 而$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$.所以$|\cos \theta |$=$\cos \theta$,从而$\cos \theta$=$|\cos {\theta }_2|$=$|\cos {\theta }_1|$,

• 这表明,两直线的夹角余弦可以是通过计算交线的任意一个对顶角的余弦值取绝对值得到

• 从而$\cos \theta$=$\frac{|m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$

直线夹角和向量夹角的比较

• 直线夹角和向量夹角的范围不同,前者为$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$;而后者为$[0,\pi ]$

  • 向量是有方向的,其夹角范围约定为为$[0,\pi ]$有利于向量间方向关系的描述
  • 直线没有正反方向的概念,夹角范围约定为$[0,\frac{\pi }{2}]$足够说明直线间的夹角并且使相关计算表示得更加简单

• 向量夹角余弦公式为$\cos \theta$=$\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|a||b|}$,取值范围为$[-1,1]$

• 直线夹角借助直线的方向向量进行分析,直线夹角的余弦公式和向量夹角的余弦公式相似,但因为夹角范围而表示的有所不同:$\cos \theta$=$|\cos \theta |$=$|\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|a||b|}|$,取值范围为$[0,1]$

两直线的位置关系

• 参考平面位置关系一节
• 设两直线$L_1,L_2$的方向向量分别为${\mathbf{s}}_1$=$(l_1,m_1,n_1)$,${\mathbf{s}}_2$=$(l_2,m_2,n_2)$
• ($l_i,m_i,n_i$,$(i=1,2)$不同时为$0$)

两直线平行

• 以下四个命题等价
  • $L_1//L_2$
  • ${\mathbf{s}}_1//{\mathbf{s}}_2$
  • ${\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2$=$0$
  • $\frac{l_1}{l_2}$=$\frac{m_1}{m_2}$=$\frac{n_1}{n_2}$
• Note:这里的比值式作特殊约定理解,允许分母出现0,($m_2,n_2,p_2$不同时为$0$即可),分母为零时分子理解为0

两直线垂直

• 以下四个命题等价
  • $L_1\perp L_2$
  • ${\mathbf{s}}_1\perp {\mathbf{s}}_2$
  • ${\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2$=$0$
  • $l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2=0$

直线与平面问题

直线与平面的夹角

• 直线$L$与$L$在$\Pi$上的投影线$L_p$的夹角中的锐角或直角称为直线$L$和平面$\Pi$的夹角

• 当直线和平面不垂直的时候($\theta \in [0,\frac{\pi }{2})$,否则规定夹角为$\frac{\pi }{2}$,即直线和平面的夹角$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$

• 依然借助于平面的法向量$\mathbf{n}(A,B,C)$以及直线的方向向量$\mathbf{s}=(m,n,p)$来研究线面角

• 直线方向向量和平面法向量的夹角$\theta =<\mathbf{n},\mathbf{s}>$;直线和平面的夹角记为$\varphi$,$(\varphi \in [0,\frac{\pi }{2}])$

  • 若$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$,则$\theta +\varphi =\frac{\pi }{2}$,有$\sin \varphi$=$\cos \theta$=$|\cos \theta |$;
  • 若$\theta \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$,则$\theta -\varphi$=$\frac{\pi }{2}$,有$\sin \varphi$=$\sin (\theta -\frac{\pi }{2})$=$-\cos \theta$=$|\cos \theta |$
  • 可见,无论使那种情形,都有$\sin \varphi$=$|\cos \theta |$

• 而借助向量间夹角余弦公式,容易确定$\cos \theta$=$\frac{\mathbf{n}\cdot \mathbf{s}}{|n||s|}$,两边取绝对值,$|\cos \theta |$=$|\frac{\mathbf{n}\cdot \mathbf{s}}{|n||s|}|$

• 所以$\sin \varphi$=$|\cos \theta |$=$|\frac{\mathbf{n}\cdot \mathbf{s}}{|n||s|}|$=$\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+m^2+p^2}}$,这就是方向向量可取为$(m,n,p)$的直线和法向量可取$(A,B,C)$的平面构成的线面角的正弦值公式

线面位置关系

• 设有直线$L$及其方向向量$\mathbf{s}=(m,n,p)$,平面$\Pi$及其法向量$\mathbf{n}=(A,B,C)$

线面垂直👺

• $L\perp \Pi \iff \mathbf{s}//\mathbf{n}$,即$\mathbf{s}\times \mathbf{n}=0$(1)或$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$(2)
• Note:
  • 从除法的角度,式(2)要求$mnq\ne 0$
  • 但在解析几何中,我们允许$mnq$中最多2个为0,即$m^2+n^2+p^2>0$即可
  • 而$m,n,p$中某个为0时,比如$m=0$,则意味着$A=m$=0
  • 例如两平行直线的方向向量分别为${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$,${\mathbf{n}}_2=(0,0,2)$,认为其满足式(2)

线面平行

• $L//\Pi \iff \mathbf{s}\perp \mathbf{n}$,即$\mathbf{s}\cdot \mathbf{n}=0$,即$Am+Bn+Cp=0$