物理量@基本单位@量纲

基本单位

Base unit (measurement)

• A base unit (also referred to as a fundamental unit) is a unit adopted for measurement of a base quantity. A base quantity is one of a conventionally chosen subset of physical quantities, where no quantity in the subset can be expressed in terms of the others. The SI base units, or Systeme International d’unites, consists of the metre, kilogram, second, ampere, kelvin, mole and candela.
• A base unit is one that has been explicitly so designated;
• a secondary unit for the same quantity is a derived unit.
• For example, when used with the International System of Units, the “gram” is a derived unit, not a base unit.

Background🎈

• In the language of measurement, physical quantities are quantifiable aspects of the world, such as time, distance, velocity, mass, temperature, energy, and weight, and units are used to describe their magnitude or quantity. Many of these quantities are related to each other by various physical laws, and as a result the units of a quantities can be generally be expressed as a product of powers of other units; for example, momentum is mass multiplied by velocity, while velocity is distance divided by time. These relationships are discussed in dimensional analysis. Those that can be expressed in this fashion in terms of the base units are called derived units.

国际单位系统International System of Units🎈

• In the International System of Units, there are seven base units: kilogram, metre, candela, second, ampere, kelvin, and mole.

附

• 基本单位

  • 基本单位（也称为基本量单位）是用于测量基本量的单位。

  • 基本量是一组传统意义上选择的物理量的子集，其中子集中的任何一个量都不能用其他量来表示。

  • 国际单位制（SI），也称为国际计量单位制，由米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔和坎德拉组成。

  • 基本单位是明确指定的单位；同一物理量的次要单位是导出单位。例如，在使用国际单位制时，克是一个导出单位，而不是基本单位。

• 背景🎈

  • 在测量的语境中，物理量是可量化的世界的方面，例如时间、距离、速度、质量、温度、能量和重量，单位用于描述它们的大小或数量。许多这些量之间相互关联，由于这些关系，量的单位通常可以表示为其他单位的幂的乘积；例如，动量是质量乘以速度，而速度是距离除以时间。这些关系在量纲分析中进行了讨论。那些可以用基本单位表示的这种方式来表示的量称为导出单位。

• 国际单位制🎈

  • 在国际单位制中，有七个基本单位：千克、米、坎德拉、秒、安培、开尔文、摩尔。

物理量

• Physical quantity - Wikipedia

• 在物理学中，物理量（英语：physical quantity）是指物质、物体、系统、现象、过程等能用严谨的操作型（可观察、可测量、可操作）定义来度量而可量化的“性质”。

• 经度量出来的结果，称为测量值，其必须以数值和单位（通常偏好国际单位制单位）的积来表达。

• A physical quantity is a physical property of a material or system that can be quantified by measurement.

• A physical quantity can be expressed as a value, which is the algebraic multiplication of a ’ Numerical value ’ and a ’ Unit '.

• For example, the physical quantity of mass can be quantified as '32.3 kg ', where ‘32.3’ is the numerical value and ‘kg’ is the Unit.

• A physical quantity possesses at least two characteristics in common.

  1. Numerical magnitude
  2. Units

量纲

• Dimensional analysis - Wikipedia
• 量纲，又叫作因次，是表示一个物理量由基本量（base quantity）组成的情况。
• 确定若干个基本量后，每个导出量（derived unit）都可以表示为基本量的幂的乘积的形式。
• 引入量纲这一概念可以进行量纲分析，这既是物理学的基础，又有着很多重要应用。
• 量纲包括基本量纲和导出量纲两种。基本量纲是指不能从其他量纲导出的量纲，例如时间、长度、质量等。
• 导出量纲是指由基本量纲通过乘、除、幂运算得到的量纲，例如速度、加速度、力等。
• 在物理学中，量纲的概念非常重要，因为它能够帮助我们理解物理量之间的关系，以及进行单位换算等操作。
• 物理学中，不同的物理量有着不同的单位，然而这些单位之间都有相互的联系。
  • 恰当地规定一些基本的单位（称为基本单位），可以使任何其他的单位（称为导出单位）都表达为这些单位的乘积，将其统一以便于研究各个物理量之间的关系。
  • 如在国际单位制中，功的单位焦耳（$\mathrm{J}$），可以表示为“千克平方米每平方秒”（$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$）。
• 仅仅用单位来表示会面临一些问题：
  • 在不同的单位制下，各个物理量用单位来表示也会不同，以至于起不到预期的“统一各单位”的效果。
  • 如英里每小时（mph）与米每秒（m/s）乍看之下无甚联系，然而它们却都是表示速度的单位。虽然说经过转换可以将各个基本单位也统一，然而这样终究不够直观，需记忆也不甚方便，而且选择哪一个单位作为统一单位似乎都不甚公平。
  • 把一个既有的单位表达为拆分了的基本单位的形式实际上没有任何意义
    • 功的单位无论如何都不是“千克二次方米每二次方秒”，因为实际上这个单位根本不存在，它只是与“焦耳”恰好相等而已。
    • 况且，这样做也会导致一些拆分后相同但实质不同的单位被混淆，如力矩的单位牛米（$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$）被拆分后也是$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$，然而它与功显然是完全不同的。
  • 因此量纲被作为表达导出单位组成的专有方式引入物理学中。
• In engineering and science, dimensional analysis is the analysis of the relationships between different physical quantities by identifying their base quantities (such as length, mass, time, and electric current) and units of measurement (such as metres and grams) and tracking these dimensions as calculations or comparisons are performed.
• The term dimensional analysis is also used to refer to conversion of units from one dimensional unit to another, which can be used to evaluate scientific formulae.
• Commensurable physical quantities are of the same kind and have the same dimension, and can be directly compared to each other, even if they are expressed in differing units of measurement;
  • e.g., metres and feet, grams and pounds, seconds and years, et cetera.
• Incommensurable physical quantities are of different kinds and have different dimensions, and can not be directly compared to each other, no matter what units they are expressed in,
  • e.g. metres and grams, seconds and grams, metres and seconds.
  • For example, asking whether a gram is larger than an hour is meaningless.
• Any physically meaningful equation, or inequality, must have the same dimensions on its left and right sides, a property known as dimensional homogeneity(同质). Checking for dimensional homogeneity is a common application of dimensional analysis, serving as a plausibility(合理性) check on derived equations and computations. It also serves as a guide and constraint in deriving equations that may describe a physical system in the absence of a more rigorous(严格的) derivation.
• The concept of physical dimension, and of dimensional analysis, was introduced by Joseph Fourier in 1822.
• 在工程和科学中，量纲分析是通过识别不同物理量的基本量（如长度、质量、时间和电流）和测量单位（如米和克）并在计算或比较过程中跟踪这些量纲，来分析不同物理量之间的关系。
• "量纲分析"这个术语也用来指从一个量纲单位转换到另一个量纲单位，这可以用来评估科学公式。
• 可比的物理量是同一种类的，具有相同的量纲，可以直接相互比较，即使它们用不同的测量单位表示；
  • 例如，米和英尺，克和磅，秒和年等。
• 不可比的物理量是不同种类的，具有不同的量纲，无论它们用什么单位表示，都不能直接相互比较，
  • 例如，米和克，秒和克，米和秒。
  • 例如，问一个克是否大于一个小时是没有意义的。
• 任何有物理意义的等式或不等式，其左右两边必须具有相同的量纲，这个性质被称为量纲的一致性。检查量纲一致性是量纲分析的常见应用，用于对推导出的等式和计算进行可能性检查。在缺乏更严格推导的情况下，它也作为导出可能描述物理系统的等式的指导和约束。
• 物理量纲和量纲分析的概念是由约瑟夫·傅里叶在1822年引入的。

量纲表达方式

• 量纲:将一个物理导出量用若干个基本量的幂之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲乘积式或量纲式，亦简称量纲。
• 规定七个基本物理量，在量纲中分别用七个字母表示它们的量纲，他们是：长度（$\mathrm{L}$），质量（$\mathrm{M}$），温度（$\mathrm{\Theta }$），电流（$\mathrm{I}$），时间（$\mathrm{T}$），物质的量（$\mathrm{N}$），发光强度（$\mathrm{J}$）。
• 则对于任意一个物理量$A$，都可以写出下列量纲式：(物理量A的量纲)
  • $\dim A={\mathrm{L}}^{\alpha }{\mathrm{M}}^{\beta }{\mathrm{\Theta }}^{\gamma }{\mathrm{I}}^{\delta }{\mathrm{T}}^{ϵ}{\mathrm{N}}^{\zeta }{\mathrm{J}}^{\eta }$
  • 等号左边也可以表示为$\left[A\right]$
  • 上式右边称为物理量$A$的量纲。其中，$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,ϵ,\zeta ,\eta$称为量纲指数。
  • 在表示时，七个量纲不一定会全部用上。
    • 量纲指数为1的可以省略指数，指数为0的可以省略对应量纲；
    • 然而，当所有量纲指数皆为0时（称为无量纲），要将量纲记为“1”。
• 对于功，$\dim W={\mathrm{L}}^2\mathrm{M}{\mathrm{T}}^{-2}$
• 对于磁感应强度，$\dim B=\mathrm{M}{\mathrm{T}}^{-2}{\mathrm{I}}^{-1}$
• 对于弧度，$\dim \theta =1$

无量纲

• 无量纲（Dimensionless）是指一个物理量没有与之关联的单位或度量。无量纲的概念在科学和工程领域中很常见，常常用于简化问题和降低计算复杂性。通常情况下，我们可以通过对物理量进行无量纲化处理，将具有量纲的物理量转化为无量纲的形式。

• 理解无量纲的一个关键点在于理解量纲。量纲是用来表示物理量性质的符号，通常与单位联系在一起。

  • 例如，长度的量纲是L（Length），时间的量纲是T（Time），质量的量纲是M（Mass）等。
  • 有时，我们会用方括号表示物理量的量纲，如 [L] 表示长度量纲，[T] 表示时间量纲，等等。

  无量纲的物理量可以通过以下几种方式得到：

  1. 同类物理量之间的比值。例如，两个长度之比，如长宽比（长和宽都是长度）。
  2. 对物理量进行归一化。例如，将某个物理量除以它的最大值或最小值。
  3. 通过无量纲参数。例如，雷诺数（Reynolds number）是流体力学中的一个无量纲参数，它表示了惯性力与粘性力之间的比例。雷诺数的定义为：Re = ρvL/μ，其中ρ表示流体密度，v表示流速，L表示特征长度，μ表示动力粘度。可以看出，雷诺数的分子和分母都具有相同的量纲，因此它们相除后得到的是一个无量纲参数。

  无量纲的好处：

  1. 简化问题：无量纲化处理可以将具有不同量纲的物理量转化为相同的无量纲形式，从而简化问题。
  2. 降低计算复杂性：无量纲化处理可以降低计算中的单位转换问题，使得计算更加简洁。
  3. 直观理解：无量纲化处理可以让我们更直观地看到物理量之间的相互关系，便于分析和理解。
  4. 无量纲参数具有通用性：很多无量纲参数在不同的物理系统和问题中具有相似的物理意义，这有助于我们从不同的角度研究和理解相似的现象。

  总之，理解无量纲的关键在于掌握量纲的概念，通过无量纲化处理可以简化问题、降低计算复杂性，并帮助我们更直观地理解物理现象。

小结

量纲与单位

• 值得注意的是，虽然物理量的量纲与取什么单位无关，但量纲却只有在一定的单位制下才有意义

• 物理量是用来描述物理现象的性质或量度的概念。

  • 例如，长度、质量、时间、温度、电流等都是物理量。
  • 每一个物理量都具有一个数值和一个单位来表示其大小。

• 单位是用来度量物理量的度量标准。

  • 它们可以是基本单位，例如米、千克、秒等，也可以是导出单位，通过基本单位的组合来表示其他物理量。单位的选择和定义是通过国际单位制（SI）进行统一。

• 量纲是用来描述物理量之间的关系和归类的指标。

  • 量纲基于基本物理量（长度、质量、时间、电流、温度、物质的量、发光强度）的幂次乘积来表示物理量。每一个物理量都有一个特定的量纲，它通过量纲指数来表示。

• 物理量、单位和量纲之间的关系可以总结如下：

  • 物理量的大小由数值和单位来表示，而量纲则描述了物理量之间的关系。单位和量纲的选择要符合国际单位制的规定 。通过量纲分析可以检验方程或计算结果的合理性，以确保物理理论的正确性。

ref

• Physical quantity - Wikipedia