AA@数域和多项式

文章目录

• • 数域
  • • 封闭运算
    • 用封闭运算描述数域
  • 多项式
  • • 数域P上的多项式
    • 多项式中的相关术语
    • 多项式相等
    • 零多项式
    • 多项式之间的运算
    • • 加法(减法)
      • 乘法
    • 多项式运算的次数性质
    • • 运算律
    • 一元多项式环
    • 带余除法
  • 整除
  • • 因式和倍式
    • 整除的常用性质
    • • 相互整除
      • 整除的传递性
    • 组合式依然整除

数域

• 设Р是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的"和,差,积,商"(除数不为0)仍然是Р中的数,那么Р就称为一个数域.
  • 有理数,实数和复数都是数域(分别用字母$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$表示)
  • 然而,全体正数($Z$)就不是数域,因为存在两整数之商不是整数的情况(不是任意两个整数的商都是整数)

封闭运算

• 如果数的集合Р中任意两个数做某一运算的结果仍在Р中,我们就说数集Р对这个运算是封闭的

用封闭运算描述数域

• 数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数集Р对于加法、减法﹑乘法与除法(除数不为0)是封闭的,那么Р就称为一个数域.

多项式

• 在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域P作为基础.设$x$是一个符号:

数域P上的多项式

• 设$n$是一个非负整数,形如表达式$E=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}\cdots +a_0={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$;其中$a_i\in P,i=1,2,\cdots ,n$,则称$E$为系数在数域P中的一个元多项式,简称数域P上的一元多项式

多项式中的相关术语

• 多项式E中,$a_i{x}^i$称为**$i$次项**,$a_i$称为该项的系数
• 通常用$f(x),g(x),\cdots$或$f,g,\cdots$来表示多项式
• $a_n{x}^n$称为多项式E的首项,$a_n$称为首项系数,$n$称为多项式的次数
• 多项式$f(x)$的次数记为$\partial f(x)$(默认$f(x)\ne 0$)

多项式相等

• 如果在多项式$f(x)$与$g(x)$中,同次项的系数全相等,那么$f(x)$与$g(x)$就称为相等,记为$f(x)=g(x)$.

零多项式

• 系数全为零的多项式称为零多项式,记为0.($f(x)=0$)
• 零多项式不定义次数
• 区别于常数多项式,例如$f(x)=a{x}^0=a(a\ne 0)$是0次多项式,但不是零多项式

多项式之间的运算

• 设$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$,$g(x)={\sum }_{j=0}^m{b}_j{x}^j$
• 记$s=\max (n,m)$
• 为了方便起见,要对齐两个多项式,将次数较低的多项式的高次项系数设置为0

加法(减法)

$$f(x)\pm g(x)=\sum _{i=0}^s(a_i\pm b_i)x^i$$

乘法

• $$\begin{array}{rl}S=& f(x)g(x)\\ =& (\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i)(\sum _{j=0}^m{b}_j{x}^j)\\ =& \sum _{i=0}^n[a_i{x}^i(\sum _{j=0}^m{b}_j{x}^j)]\\ =& \sum _{i=0}^n[(\sum _{j=0}^m{a}_i{b}_j{x}^i{x}^j)]\\ =& \sum _{i=0}^n[(\sum _{j=0}^m{a}_i{b}_j{x}^{i+j})]\\ =& \sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{a}_i{b}_j{x}^{i+j}\end{array}$$

  • 为例便于引用,该形式称为形式1($S_1$)
  • 从上述求和式可以看出,S的次数为$m+n$(最高次项的次数)
  • 并且每项都形如$a_i{b}_j{x}^{i+j}$

• 从高次到低次排列各项

• $$f(x)g(x)=c_r{x}^{n+m}+c_{r-1}{x}^{n+m-1}+\cdots +c_1{x}^1+c_0{x}^0$$

  • $c_r=a_n{b}_m$

  • $c_{r-1}=a_{n-1}{b}_m+a_n{b}_{m-1}$

  • $c_{r-2}=a_n{b}_{m-2}+a_{n-1}{b}_{m-1}+a_{n-2}{b}_m$

  • $\cdots$

  • $c_s=a_0{b}_s+a_1{b}_{s-1}+\cdots +a_{s-1}{b}_1+a_s{b}_0$

  • $\cdots$

  • $c_1=a_0{b}_1+a_1{b}_0$

  • $c_0=a_0{b}_0$

  • 设$s,s=0,1,\cdots ,n+m$,则次数为$s$的项(s次项)的系数还可以写作

    • $$c_s=\sum _{i+j=s}{a}_i{b}_j=\sum _{i=0}^s{a}_i{b}_{s-i}$$

• 根据上述讨论,$S$还可以表示为

  • $$S=f(x)g(x)=\sum _{s=0}^{n+m}{c}_s{x}^s=\sum _{s=0}^{n+m}(\sum _{i+j=s}{a}_i{b}_j)x^s$$

  • 将这个形式称为形式2($S_2$)

  • 其中内层求和表示项系数,外层求和表示从0次项求和到$n+m$次项

• 形式$S_1=S_2$,但是$S_1$表示的是尚未合并同类项时的形式(由乘法对加法的分配律得到);$S_2$则考虑的时合并同类项之后的形式

• 综上可得,数域P上的两个多项式经过"加/减/乘"等运算后(未包含除法),结果仍然是数域P上的多项式

多项式运算的次数性质

• $\partial (f(x)\pm g(x))⩽\max (\partial (f(x)),\partial (g(x)))$
• $f(x),g(x)\ne 0\Rightarrow f(x)g(x)\ne 0$;$\partial (f(x)g(x))=\partial (f(x))+\partial (g(x))$

运算律

1．加法交换律

• $f(x)+g(x)=g(x)+f(x).$

2.加法结合律

• $(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)).$

3.乘法交换律

• $f(x)g(x)=g(x)f(x).$

4.乘法结合律

• $(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)).$

5.乘法对加法的分配律

• $f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x).$

6.消去律

• $f(x)g(x)=f(x)h(x),f(x)\ne 0\Rightarrow g(x)=h(x)$

这些规律都很容易证明.下面只给出乘法结合律的证明.

• $$\begin{gathered} LHS=(\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{a}_i{b}_j{x}^{i+j})\sum _{k=0}^l{c}_k{x}^k=(\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m\sum _{k=0}^l{a}_i{b}_j{x}^{i+j}{c}_k{x}^k) \\ =(\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m\sum _{k=0}^l{a}_i{b}_j{c}_k{x}^{i+j+k}) \end{gathered}$$

• $$RHS=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i(\sum _{j=0}^m\sum _{k=0}^l{b}_j{c}_k{x}^{j+k})=(\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m\sum _{k=0}^l{a}_i{b}_j{c}_k{x}^{i+j+k})$$

• 也可以从系数的角度证明

• $f(x)g(x)$的$s$次项系数$c_s=\sum _{i+j=s}{a}_i{b}_j$,$s=0,1,2,\cdots ,m+n$

• 则LHS的$t$次项系数($t=0,1,2,\cdots ,m+n+l)$为

  • $$q_t=\sum _{s+k=t}{c}_s{c}_k=\sum _{s+k=t}(\sum _{i+j=s}{a}_i{b}_j)c_k=\sum _{i+j+k=t}{a}_i{b}_j{c}_k$$

• $g(x)h(x)$中$r$此项系数($r=0,1,2,\cdots ,m+l)$为$c_r=\sum _{j+k=r}{b}_j{c}_k$

• RHS的$t$次项系数为

  • $$q_t=\sum _{i+r=t}{c}_i{c}_r=\sum _{i+r=t}(\sum _{j+k=r}{b}_j{c}_k)c_r=\sum _{i+j+k=t}{a}_i{b}_j{c}_k$$

• 可见,LHS和RHS的$t$次项系数对应相等,因此$LHS=RHS$

一元多项式环

• 所有系数在数域Р中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为$P[x]$,
• P称为$P[x]$的系数域.

带余除法

• 对于$P[x]$中任意两个多项式$f(x)$,$g(x)$,其中$g(x)\ne 0$,一定有$P[x]$中的多项式$q(x),r(x)$存在,使得:

  • $$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$

  • 其中$\partial (r(x))<\partial (g(x))$或者$r(x)=0$,并且$q(x),r(x)$是唯一的

    • 次数$\partial (r(x))$不包括$r(x)=0$的情况,因为0多项式没有次数定义,所以单独指出$r(x)=0$这个可能

• 带余除法中所得的$q(x)$称为$g(x)$除$f(x)$的商式,$r(x)$称为$g(x)$除$f(x)$的余式,它们分别简称为商和余

  • 若$g(x)\ne 0,g(x)|f(x)$,则$q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

整除

• 设$h(x)$,$f(x),g(x)$是数域P上的多项式,如果$h(x)$使等式$f(x)=g(x)h(x)$成立,则称$g(x)$整除$f(x)$,用$g(x)|f(x)$

因式和倍式

• 当$g(x)|f(x)$时
  • $g(x)$称为$f(x)$的因式
  • $f(x)$称为$g(x)$的倍式
  • 即因式|倍式(因式整除倍式,倍式=因式乘以另一个因式)
• 当$g(x)\ne 0$时,带余除法给出整除性的判别法:
  • 对于数域P上的任意$f(x)$,$g(x)$,其中$g(x)\ne 0$,$g(x)|f(x)$的充要条件是$q(x)=f(x)/g(x)$的余式为0(容易根据整除的定义证明)
  • 带余除法中,$g(x)\ne 0$,但是$g(x)|f(x)$是允许$g(x)=0$出现,此时$f(x)=g(x)\cdot h(x)=0h(x)=0$

整除的常用性质

• 任意多项式$f(x)$整除其自身:$f(x)|f(x)$,因为$f(x)=1\cdot f(x)$
• 任意多项式$f(x)$整除0多项式:$f(x)|0$,因为$0=0\cdot f(x)$
• 任意零次多项式$a$,也即非0常数,能整除任意多项式,$a|f(x)$,因为$f(x)=a\cdot a^{-1}f(x)$
  • 注意零次多项式和零多项式是不同的,尽管它们都是常数,但是零次多项式要求是非0常数,零多项式是且仅是0

相互整除

• 如果$f(x)|g(x)$,$g(x)|f(x)$,则$f(x)=cg(x)$,其中常数$c\ne 0$
  • 由条件可设$g(x)=h_1(x)f(x)$,$f(x)=h_2(x)g(x)$,将第一个式子带入第二式:$f(x)=h_2(x)h_1(x)f(x)$
  • 若$f(x)=0$,则$g(x)=h_1(x)f(x)=0$,满足$f(x)=cg(x)=0$
  • 若$f(x)\ne 0$,则可以多$f(x)=h_1(x)h_2(x)f(x)$两边同除以$f(x)$,得到$h_1(x)h_2(x)=1$
  • 由于多项式$h_1(x)h_2(x)$的乘积式常数(0次项),所以$h_1(x),h_2(x)$的次数之和为0,即$\partial (h_1(x))+\partial (h_2(x))=0$
  • 又因为多项式的各项次数至少为0(非负,即$\partial (h_1(x))⩾0,\partial (h_2(x))⩾0$),从而$\partial (h_1(x))=\partial (h_2(x))=0$
  • 综上,$h_1(x),h_2(x)$都是非0常数,
  • 设$c=h_2(x)$因此对于$f(x)=h_2(x)g(x)=cg(x)$

整除的传递性

• 若$f(x)|g(x),g(x)|h(x)$,则$f(x)|h(x)$
  • 由条件,可设$g(x)=g_1(x)f(x)$,$h(x)=h_1(x)g(x)$
  • $h(x)=h_1(x)g(x)=h_1(x)g_1(x)f(x)$,即$f(x)|h(x)$

组合式依然整除

• 若$f(x)|g_i(x)$,$i=1,2,\cdots ,r$,$G(x)={\sum }_{i=1}^r{u}_i(x)g_i(x)$,则$f(x)|G(x)$
  • 其中$u_i(x)$是数域P上任意的多项式
  • 由$f(x)|g_i(x)$,可设$g_i(x)=h_i(x)f(x)$
  • 则$G(x)={\sum }_{i=1}^r{u}_i(x)g_i(x)={\sum }_{i=1}^r{u}_i(x)h_i(x)f(x)=f(x)({\sum }_{i=1}^r{u}_i(x)h_i(x))$
  • 可见$f(x)|G(x)$
• $g(x),cg(x)$有相同的因式和倍式
  • $g(x),cg(x)$具有相同的因式,常数$c\ne 0$,
    • 设$f(x)|g(x)$,则可设$g(x)=h(x)f(x)$,从而$cg(x)=ch(x)f(x)$,显然$f(x)|cg(x)$
    • 设$t(x)|cg(x)$,则可设$cg(x)=s(x)t(x)$,从而$g(x)=c^{-1}g(x)=c^{-1}s(x)t(x)$,显然$t(x)|g(x)$
    • 综上$g(x)$的因式全部是$cg(x)$的因式,反之,$cg(x)$的因式全部是$g(x)$的因式,
    • 因此,$g(x),cg(x)$具有相同的因式
  • 设$f(x)|g(x)$,则可设$g(x)=h(x)f(x)$,即$g(x)=c^{-1}ch(x)f(x)=c^{-1}h(x)cf(x)$,即$cf(x)|g(x)$,即$f(x)$的倍式也是,$cf(x)$的倍式
  • 设$cf(x)|g(x)$,则可设$g(x)=t(x)cf(x)$,即$g(x)=ct(x)f(x)$,即$f(x)|g(x)$,即$cf(x)$的倍式也是$f(x)$的倍式
  • 因此$f(x),cf(x)$有相同的倍式
• 在多项式整除性的讨论中,$f(x)$通常可以用$cf(x)$代替
• 我们把$G(x)$称为$g_i(x),i=1,2,\cdots ,r$的一个组合