AA@因式和最大公因式

文章目录

• • 因式
  • 公因式
  • • 最大公因式
    • • 其他说法
    • 0的因式
    • 任意多项式和0的最大公因式
    • 0与0之间的最大公因式
  • 最大公因式存在性
  • • 系数为1的最大公因式
    • 最大公因式的唯一性
    • 引理(辗转相除原理)
    • 最大公因式表示定理
    • • 证明
    • 被除式和过程余式的关系
    • 例

因式

• 当$f(x)$整除$g(x)$,记为$f(x)|g(x)$)
• $f(x)$称为$g(x)$的因式,$g(x)$称为$f(x)$的倍式

公因式

• 如果多项式$\varphi (x)$既是$f(x)$的因式,又是$g(x)$的因式,则$\varphi (x)$为$f(x),g(x)$的公因式
• 其中最重要的是最大公因式

最大公因式

• 设$f(x),g(x)$是$P[x]$中两个多项式
  • $P[x]$中多项式$d(x)$是$f(x),g(x)$的最大公因式的条件如下:
    • $d(x)$是$f(x),g(x)$的一个公因式
    • $f(x),g(x)$的公因式全是$d(x)$的因式

其他说法

• 次数最高的公因式,就是最大公因式
  • 如果是两个数之间的最大公因式,则是公因数中最大的
  • 不过两个数的情况只是多项式情况的特例,依然可以多项式的方法判断
  • 例如$70=2\times 5\times 7$,$110=2\times 5\times 11$
    • 70,110的公因子包括1,2,5,10
    • 最大公因子是10,因为所有公因子(1,2,5,10)都是10的因子
• 如果$f(x)$是$g(x)$的因式,则$f(x),g(x)$的最大公因式为$f(x)$

0的因式

• 任意多项式$f(x)$都是0的因式,因为$0=0\cdot f(x)$

任意多项式和0的最大公因式

• 任何多项式和0的最大公因式都是$f(x)$本身
• 因为$f(x)$式$f(x)$的最大因式,$f(x)$又是0的因式,所以$f(x)$是$f(x),0$的最大公因式

0与0之间的最大公因式

• 由于任意多项式$f(x)$都整除零多项式:$f(x)|0$,$0=0\cdot f(x)$
• 因此$0,0$有无穷多个不同的公因式,任意给定一个公因式,总是能够找到更大的公因式,因此0,0之间不存在最大公因式
• 因此,再运行辗转相除法的过程中,当我们处理到余式为0的时候,此是的除式就是最大公因式

最大公因式存在性

系数为1的最大公因式

• 由于$f(x),cf(x),c\ne 0$有相同的因式和倍式,其中以$c=1$最为典型(这一点有别于两个整数的最大公因子的唯一性)
• 对于2个多项式$f(x),g(x)$,把首相系数为1的公因式记为$(f(x),g(x))$

最大公因式的唯一性

• 任意2个多项式$f(x),g(x)$的最大公因式是不唯一的,只要找其中的一个最大公因式$d_0(x)$,那么为其乘以一个非零数$c,c\ne 0$,结果$c{d}_0(x)$也是$f(x),g(x)$的一个最大公因式
• 但如果限定首相系数为1,那么这样的最大公因式唯一
• 通常最大公因式默认指的是首相系数为1的那个(最简)最大公因式,从这个角度而言,最大公因式唯一(最简型唯一)

引理(辗转相除原理)

• 如果$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$成立,那么$f(x),g(x)$和$g(x),r(x)$有相同的公因式
  • 若$\varphi (x)|g(x)$,$\varphi (x)|r(x)$,(即$\varphi (x)$是$g(x),r(x)$的公因式)
  • 由于$f(x)$是$g(x),r(x)$的一个组合式,由组合式性质得到整除关系:$\varphi (x)|f(x)$
  • 可见,$g(x),r(x)$的公因式也是$f(x),g(x)$的公因式
  • 反之,若$\psi (x)|f(x),\psi (x)|g(x)$,则$r(x)=f(x)-q(x)g(x)$是关于$f(x),g(x)$的组合,从而由整除关系$\psi (x)|r(x)$
  • 可见$f(x),g(x)$的公因式也是$g(x),r(x)$的公因式
• 从而,若$g(x),r(x)$有一个最大公因式$d(x)$,那么$d(x)$也是$f(x),g(x)$的一个最大公因式
• 这个关系可以记为$d(x)=gcd(f(x),g(x))=gcd(g(x),r(x))$

最大公因式表示定理

• 对于$P[x]$中任意两个多项式$f(x),g(x)$,在$P[x]$中存在两者的一个最大公因式$d(x)$,且$d(x)$可以表示为$d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$
  • 注意$\partial (d(x)),\partial (f(x)),\partial (g(x))$之间的大小关系需要具体判断
  • 例如$\partial (f(x))>k$,$\partial (g(x))>k$,$\partial (d(x))<k$,其中$k\in {\mathbb{N}}^{+}$,是有可能的,因为$u(x)f(x)+v(x)g(x)$可能会消去高次项而只剩下低此项

证明

• 如果$f(x),g(x)$恰好有一个为0,不妨设其中的$g(x)=0$,那么显然,$f(x)$是$f(x),g(x)$的一个最大公因式

  • $f(x)=1\cdot f(x)+1\cdot g(x)$

• 其他情况:

  • 设$g(x)\ne 0$

  • 利用辗转相除的方法不断执行,具体的步骤为:

    • 用$g(x)$除$f(x)$,分别得到商式和余式$q_1(x),r_1(x)$,表示为$f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$
    • 如果$r_1(x)\ne 0$
      • 则再用$r_1(x)$除$g(x)$,分别得到商式和余式$q_2(x),r_2(x)$,表示为$g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$
        • 如果$r_2(x)\ne 0$,则再用$r_2(x)$除$r_1(x)$,表示为$r_1(x)=q_3(x)r_2(x)+r_3(x)$
          • …
        • 否则$r_2(x)=0$
          • 辗转相除结束,且最大公因式就是$r_1(x)$
    • 否则$r_1(x)=0$
      • 则结束辗转相除,且最大公因式就是$g(x)$

  • 可见,所得*余式的次数不断降低*,

    • 若将$f(x),g(x)$分别记为$r_{-1}(x),r_0(x)$
    • $\partial (r_j(x))<\partial (r_i(x)),j>i$
    • 基于这个余式次数不断降低的事实,可以断定再有限此操作后,必然出现某个余数为0的时候
    • 最迟的情况,$\partial (r_i(x))-\partial (r_{i+1}(x))=1$
      • 设余式$\partial (r_{s-1}(x))=1,\partial (r_s(x))=0$
      • 设$r_{s-1}(x)=ax+b$,$r_s(x)=c,c\ne 0$,则$q(x)=\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}$,且$r_{s+1}(x)=0$

  • $f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$

    • $r_{-1}(x)=q_1(x)r_0(x)+r_1(x)$

  • $g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$

    • $r_0(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$

  • $r_1(x)=q_3(x)r_2(x)+r_3(x)$

  • $\cdots$

  • $r_{i-2}(x)=q_i(x)r_{i-1}(x)+r_i(x)$

  • $\cdots$

  • $r_{s-3}(x)=q_{s-1}(x)r_{s-2}(x)+r_{s-1}(x)$

  • $r_{s-2}(x)=q_s(x)r_{s-1}(x)+r_s(x)$

  • $r_{s-1}(x)=q_{s+1}(x)r_s(x)+r_{s+1}(x)$

    • $r_{s+1}(x)=0$

    • $r_{s-1}(x)=q_{s+1}(x)r_s(x)+0$,可见,$r_s(x),0$的最大公因式是$r_s(x)$

  • 根据辗转相除性质,$r_s(x)$就是$f(x),g(x)$的一个最大公因式

• 由$r_{s-2}(x)$式移项可得$r_s(x)=r_{s-2}(x)-q_s(x)r_{s-1}(x)$

• 由$r_{s-3}(x)$式移项可得$r_{s-1}(x)=r_{s-3}(x)-q_{s-1}(x)r_{s-2}(x)$,将其带入到$r_s(x)$,得$$

• 将$r_{s-1}(x)$带入到$r_s(x)$式,$r_s(x)=r_{s-2}(x)-q_s(x)r_{s-1}(x)=r_{s-2}(x)-q_s(x)(r_{s-3}(x)-q_{s-1}(x)r_{s-2}(x))$

  • $=r_{s-2}(x)-q_s(x)r_{s-3}(x)+q_s(x)q_{s-1}(x)r_{s-2}(x)$
  • 因此$r_s(x)=-q_s(x)r_{s-3}(x)+(1-q_s(x)q_{s-1}(x))r_{s-2}(x)$

• 类似地,用上面的等式移项带入,逐个地消去$r_{s-2}(x),r_{s-3},\cdots ,r_1(x)$,最终得到$r_s(x)=u(x)r_{-1}(x)+v(x)r_0(x)$,即

  • $$r_s(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$$

被除式和过程余式的关系

• 为例讨论方便,我们用$Q_i(x),i=1,2$表示关于$q_k(x),k\in {\mathbb{N}}^{+}$的组合多项式

• $r_{-1}(x)=q_1(x)r_0(x)+r_1(x)$

  • 带入$r_0(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$
  • $=q_1(x)(q_2(x)r_1(x)+r_2(x))+r_1(x)$整理为$q_1(x)q_2(x)r_1(x)+q_1(x)r_2(x)+r_1(x)=(q_1(x)q_2(x)+1)r_1(x)+q_1(x)r_2(x)=Q_1^{[1]}(x)r_1(x)+Q_2^{[1]}(x)r_2(x)$

• 带入$r_1(x)$,可得$r_{-1}(x)=Q_1^{[2]}(x)r_2(x)+Q_2^{[2]}(x)r_3(x)$

• 带入$r_2(x)$,可得$r_{-1}(x)=Q_1^{[3]}(x)r_3(x)+Q_2^{[3]}(x)r_4(x)$

• $\cdots$

• $r_{-1}(x)=Q_1^{[s-1]}(x)r_{s-1}(x)+Q_2^{[s-1]}(x)r_s(x)$

• $r_{-1}(x)=Q_1^{[s]}(x)r_s(x)+Q_2^{[s]}(x)r_{s+1}(x)=Q_1^{[s]}(x)r_s(x)$

例

• 下表中商式L,R并无意义上的不同,只是为了将商式写在靠近各自的除法过程的附近;也可以将他们合并为同一列而不分左右

  商式L	$g(x)$	$f(x)$	商式R
  $q_2(x)=-\frac{27}{5}x+9$	$3x^3+10x^2+2x-3$ $3x^3+15x^2+18x$	$x^4+3x^3-x^2-4x-3$ $x^4+\frac{10}{3}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2-x$	$q_1(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}$
  	$-5x^2-16x-3$ $-5x^2-25x-30$	$-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{3}{x}^2-3x-3$ $-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{10}{9}{x}^2-\frac{2}{9}x+\frac{1}{3}$
  	$9x+27$,$r_2(x)$	$-\frac{5}{9}{x}^2-\frac{25}{9}x-\frac{10}{3}$,$r_1(x)$ $-\frac{5}{9}{x}^2-\frac{5}{3}x$	$q_3(x)=-\frac{5}{81}x-\frac{10}{81}$
  		$-\frac{10}{9}x-\frac{10}{3}$ $-\frac{10}{3}x-\frac{10}{3}$
  		$0,r_3(x)$

  • 以$f(x)\%g(x)$表示$\frac{f(x)}{g(x)}$的余式
  • $r_1(x)=f(x)\%g(x)$
  • $r_2(x)=g(x)\%r_1(x)$
  • $r_3(x)=r_1(x)\%r_2(x)$
  • $\cdots$
  • $r_i(x)=r_{i-2}(x)\%r_{i-1}$
  • $\cdots$
  • $0=r_{t-1}(x)\%r_t(x)$
  • 其中$r_t(x)$是$f(x),g(x)$的最大公因式
    • 事实上,如果记$r_{-1}=f(x),r_0=g(x)$,则$r_i(x),r_j(x)$(其中$i,j=-1,0,1,2,\cdots ,t;i\ne j$)的最大公因式为$r_t(x)$
    • 用符号表示为$gcd(r_i(x),r_j(x))=r_t(x),i\ne j$

• 从表格中可以看出

  • $f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{9})g(x)+(-\frac{5}{9}{x}^2-\frac{25}{9}x-\frac{10}{3})$
    • $r_1(x)=f(x)-q_1(x)g(x)$
  • $g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)=(-\frac{27}{5}x+9)(-\frac{5}{9}{x}^2-\frac{25}{9}x-\frac{10}{3})+(9x+27)$
  • $r_1(x)=q_3(x)r_2(x)+r_3(x)$,即$-\frac{5}{9}{x}^2-\frac{25}{9}x-\frac{10}{3}=(-\frac{5}{81}x-\frac{10}{81})(9x+27)+0$=$(-\frac{5}{9}x-\frac{10}{9})(x+3)$
  • 因此$(f(x),g(x))=d_0(r_2(x))=x+3$
    • $(f(x),g(x))=9r_2$
    • 其中$d_0(f(x))$函数表示对$f(x)$乘以一个合适的系数$d\ne 0$,使得$df(x)$最高项的系数为1
    • 在上例中,d=9

• $r_2(x)=g(x)-q_2(x)r_1(x)=g(x)-q_2(x)(f(x)-q_1(x)g(x))$

  • $=g(x)-q_2(x)f(x)+q_2(x)q_1(x)g(x)$
  • $=[-q_2(x)]f(x)+[1+q_1(x)q_2(x)]g(x)$
  • $=(\frac{27}{5}x-9)f(x)+(-\frac{9}{5}{x}^2+\frac{18}{5}x)g(x)$
  • $=9(\frac{3}{5}x-1)f(x)+9(-\frac{1}{5}{x}^2+\frac{2}{5}x)g(x)$
  • 可令$u(x)=\frac{3}{5}x-1$,$v(x)=-\frac{1}{5}{x}^2+\frac{2}{5}x$
    • $r_2(x)=9(f(x),g(x))=9(u(x)f(x)+v(x)g(x))$
    • $(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)$