AA@多元多项式@字典排列法

设P是一个数域, $x_i,i=1,2,\cdots,n$ 是n个文字,形如 $a\prod_{i=1}^{n}x_i^{k_i}$ 的式子(其中 $a\in{P}$ , $k_i,i=1,2,\cdots,n$ 是非负整数),称为一个单项式

若干单项式的和称为" $n$ 元多项式",或者简称多项式
- $f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{k_1,\cdots,k_n}\large{a}_{\normalsize{k_1k_2\cdots{k_n}}} \normalsize\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{k_i} \\ f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{j=1}^{m}a_j\prod_{i=1}^{n}x_i^{k_i}$
例如
- $5x_1^3x_2x_3^2+4x_1^2x_2^2x_3$

若多项式 $f(X)=\sum_{i=1}^{n}f_i(X)$ 的每个单项式 $f_i(X)$ 的次数都等于m,则称 $f (X)$ 为m次齐次多项式
- 例如: $f(X)=2x_1x_2x_3^2+x_1^2x_2^2$ 是一个4次齐次多项式
两个齐次多项式之积仍然式齐次多项式: $f_1(X),f_2(X)$ 分别是 $m_1,m_2$ 次齐次多项式,则 $f(X)=f_1(X)f_2(X)$ 是齐 $m_1+m_2$ 次多项式

每一类单项式都对应于一个 $n$ 元有序数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ ,简写作 $k_i)$ ,其中 $k_i\in\mathbb{N^+},i=1,2,\cdots,n$
设有数组, $K=(k_i),L=(l_i),i=1,2,\cdots,n$ ,
它们的差数组记为 $(\delta_i)=(k_i-l_i),i=1,2,\cdots,n$
例: $2x_1x_2^2x_3^3$ 对应的n元数组为 $(1, 2, 3)$

若 $\exist{i}\leqslant{n}$ ,s.t. $\delta_j=0,j=1,2,\cdots,i-1$ , $k_i-l_i>0$ ,则称元组 $k_i)$ 先于 $l_i)$ ,记为 $K > L$ 或展开地记为 $(k_1,\cdots,k_n)>(l_1,\cdots,l_n)$ ,这里 $>$ 称为先于号
例如 $(1, 3, 2) > (1, 2, 4)$
例如: $2x_1x_2^2x_3^3+x_1^2x_2+x_1^3$ 包含的3项分别记为 $f_1,f_2,f_3$ 对应的3个元组分别为 $(1, 2, 3)$ , $(2, 1, 0)$ , $(3, 0, 0)$ ,可知 $f_3>f_2>f_1$
- 从而其字典序写法为 $x_1^3+x_1^2x_2+2x_1x_2^2x_3^3$
由字典排序规则的定义可知,次数高的项不一定先于次数第的项,需要结合各元之间的权重判断,例如 $x_1x_2x_3$ ,一般认为 $w(x_1)>w(x_2)>w(x_3)$

根据定义,任何两个数组 $K, L$ 先后关系只可能存在以下三种可能中的一种(和数的大小关系相仿):
- $K < L$
- $K = L$
- $K > L$
先于号具有传递性,若 $K > L, L > M$ ,则 $K > L > M, K > M$
- 证明:
  - 由条件得 $k_i-l_i>0$ , $l_i-m_i>0$ ,有 $k_i-m_i=(k_i-l_i)+(l_i-m_i)>0$ ,所以 $K > M$

按字典排列法写出的第一个系数不为0的单项式称为多项式的首项
- 例如: $x_1^3+x_1^2x_2+2x_1x_2^2x_3^3$ 的首项就是 $x_1^3$

若 $f_i\neq{0}(i=1,2,\cdots,m)$ 则 $F_m=\prod_{i=1}^{m}f_i$ 的首项 $A_m$ 等于 $f_i$ 的首项 $a_{in}(i=1,2,\cdots,m)$ 的乘积 $\prod_{i=1}^{m}a_{in}$
证明:由数学归纳法容易证明
- m=2时,由本节定理,结论显然成立
- 设 $m = k$ 时结论成立,则 $A_{k}$ = $\prod_{i=1}^{k}a_{in}$
  - 当 $m = k + 1$ 时, $F_{k+1}=\prod_{i=1}^{k+1}f_i$ = $f_{k+1}\prod_{i=1}^{k}f_{i}$ ,由本节定理, $F_{k+1}$ 的首项 $A_{k+1}$ = $a_{k+1,n}A_k$ 代入归纳假设条件,有 $\prod_{i=1}^{k+1}a_{in}$
  - 而 $f_i,i=1,2,\cdots,k+1$ 首项的乘积也是 $\prod_{i=1}^{k+1}a_{in}$
  - 所以命题成立

任何 $m$ 次多项式 $f(X),X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 都可以唯一地表示为 $f(X)=\sum_{i=0}^{m}f_i(X)$ ,其中:
- $f_i(X)$ 是 $i$ 次齐次多项式,称为 $f (X)$ 的 $i$ 次齐次成分
结论表明,m次多项式 $f (X)$ 可以表示为 $m + 1$ 个齐次多项式之和,并且这m个齐次多项式的次数分别是 $0,1,2,\cdots,m$ 地互不相同
若 $g(X)=\sum_{j=0}^{l}g_j(X)$ ,是一个 $l$ 次多项式,那么乘积 $h (X) = f (X) g (X)$ 的 $k$ 次齐次成分 $h_k(X)=\sum_{i+j=k}f_i(X)g_j(X)$ , $k\in\{0,1,2,\cdots,m+l\}$
- 特别地, $h (X)$ 的最高齐次成分为 $h_{m+l}(X)=f_m(X)g_l(X)$ ,这是一个 $m + l$ 次齐次多项式
  - 由齐次展开 $f_p(X)>f_q(X),p>q$ ; $g_r(X)>g_s(X),r>s$ ,因此 $h_{m+l}(X)$ 是唯一的最高次(m+l)次项,其余项的次数严格小于 $m + l$
- 可见,多元多项式乘积的次数等于因子的次数之和,和一元多项式相仿.
例如, $f(X)=x_1^3x_2^2x_3+2x_1^2x_2^3x_3+x_1^2x_2^2x_3+3x_1x_2^2x_3^3+5x_1x_2^2x_3^0$ 是一个符合字典排列的多项式
- 用齐次成分求和表示法: $f(X)=\sum_{i=0}^{6}f_i(X)$
  - $f_0(X)=0$
  - $f_1(X)=0$
  - $f_2(X)=0$
  - $f_3(X)=5x_1x_2x_3^0$
  - $f_4(X)=0$
  - $f_5(X)=x_1^2x_2^2x_3$
  - $f_6(X)=x_1^3x_2^2x_3+2x_1^2x_2^3x_3+3x_1x_2^2x_3^3$