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从一元多项式的根与系数的关系(韦达定理)

对称多项式是多元多项式中常见的一种,对称多项式的来源之一是一元多项式根的研究
设 $f(x)=x^n+\sum_{i=1}^{n}a_ix^{n-i}$ = $\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}$ = $\;(1)$ ,其中 $a_0=1$ ;
- $f (x)$ 是 $P [x]$ 中的一个多项式;这里 $i$ 次项的系数是 $a_{n-i}$
对于 $F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i'x^{n-i}$ ,总是可以通过提取 $a_0'$ 使得 $F(x)=a_0'f(x)$ , $a_i=\frac{a_i'}{a_0'}$ ,且 $F (x) = 0$ 与 $f (x) = 0$ 同解,因此总是可以将 $F (x)$ 转换为 $f (x)$ 研究
若 $f (x)$ 在数域 $P$ 中有n个根 $a_i,i=1,2,\cdots,n$ ,则 $f (x)$ 可以分解为:
- $f(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-a_i)\;(2)$
比较 $f (x)$ 的形式(1),(2),有根与系数的关系:
- $n - 1$ : $a_{1}=-\sum_{i=1}^{n}\alpha_i$
- $n - 2$ : $a_2$ = $\alpha_1\alpha_2+\cdots+\alpha_{n-1}\alpha_{n}$ = $\sum_{i_1\neq{i_2}}\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}$ ,求和式中含有 $\binom{n}{2}$
- $\cdots$
- $a_i$ = $(-1)^i\displaystyle\sum{\alpha_{k_1}\alpha_{k_2\cdots}\alpha_{k_i}}$ ,其中 $k_1,k_2,\cdots,k_i$ 表示所有可能的 $i$ 个不同的数,对应于从 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中(不放回地)抽出 $i$ 个不同的元素,求和式中包含项数 $\binom{n}{i}$
- $\cdots$
- $0$ : $a_n=(-1)^n\prod_{i=1}^{n}\alpha_i$

初等对称多项式

由根与系数 $a_{i},i=1,2,\cdots,n$ 的关系,构造的n个多项式是对称地依赖于文字 $x_1,x_2,\cdots,x_n$
- $\sigma_1$ = $\sum_{i=1}^{n}x_i$
- $\sigma_2$ = $x_1x_2+\cdots+x_{n-1}x_n=\sum{\prod_{j=1}^{2}}x_{i_j}$ ;
- $\cdots$
- $\sigma_i$ = $x_1x_2\cdots{x_i}+\cdots +x_{n-i+1}\cdots x_{n-1}x_n$ = $\displaystyle\sum_{S_i}{\prod_{j=1}^{i}}x_{i_j}$ ;(同项)
  - 其中 $S_i=i_{1},i_{2},\cdots,i_{i}$ 表示 $x_1,\cdots,x_n$ 中不放回地抽取出i个元素的所有可能(共有 $\binom{n}{i}$ 种可能)
- $\cdots$
- $\sigma_{n}$ = $\prod_{i=1}^{n}x_i$
可见,系数 $a_i,i=0,1,2,\cdots,n$ 对称是依赖于方程的根
$\sigma_i,i=1,2,\cdots,n$ 为都是n元对称多项式,称为初等对称多项式

对称多项式

设 $n$ 元多项式 $f (X)$ , $X=(\cdots,x_i,\cdots,x_j,\cdots)$ , $\overline{X}=(\cdots,x_j,\cdots,x_i,\cdots)$ ,若 $\forall{i,j}$ , $1\leqslant{i}<j\leqslant{n}$ ,s.t. $f(X)=f(\overline{X})$ ,则 $f (x)$ 是对称多项式
换句话说,如果任意对换两个**文字(元)**的位置, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 不变,则 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是对称多项式
例如 $f(X)=x_1^2x_2+x_2^2x_1+x_1^2x_3+x_3^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_2$ 是一个3元对称多项式
- $f(x_1,x_2,x_3)$ = $x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2$
- $f(x_1,x_3,x_2)$ = $x_1^2x_3+x_1^2x_2+x_1x_3^2+x_1x_2^2+x_3^2x_2+x_3x_2^3$
- $f(x_3,x_2,x_1)$ = $x_3^2x_2+x_2^2x_3+x_3x_2^2+x_3x_1^2+x_2^2x_1+x_2x_1^2$
- $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1,x_3,x_2)=f(x_3,x_2,x_1)$
Note:对于一个m次n元对称多项式 $f(x_1,\cdots,x_n)$ = $\sum_{j=1}a_j\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{k_i}$ ,第j项中文字 $x_i$ 的次数记为 $k_i^{[j]}$
- { $k_i^{[1]},k_i^{[2]},\cdots$ }={ $k_j^{[1]},k_j^{[2]},\cdots$ }

对称多项式定义推出的性质

设 $X=(x_1,\cdots,x_n)$ , $f_1(X),f_2(X)$ 是对称多项式,则 $f_1(X)+f_2(X)$ , $f_1(X)f_2(X)$ 都是对称多项式
- 根据定义容易证明上述结论
- 例 $f_1(X)=f_2(X)=(x_1+x_2+x_3)$ ,则 $h(X)=(x_1+x_2+x_3)^2$ 仍然是对称多项式

多项式的多项式

设 $g (Y)$ 是任意多项式, $f_i(X)$ 是n元对称多项式,则 $g(f_1(X),\cdots,f_m(X))=h(X)$ 是 $n$ 元对称多项式
- 设 $\overline{X}$ ,是 $X$ 中的某两个元对换位置后的结果,根据对称多项式的定义, $f_i(X)=f_i(\overline{X})$
- 类似地定义 $\overline{Y}$ 是 $Y$ 中谋两个元对换位置后的结果
- $h(\overline{X})=g(f_1(\overline{X}),\cdots,f_m(\overline{X}))$ ;而 $f_i(\overline{X})=f_i(X)$ ,所以 $h(\overline{X})$ = $g(f_1(X),\cdots,f_m(X))$
- 所以 $h(\overline{X})=h(X)$ ,可见 $h (X)$ 是对称多项式,这就是说,对称多项式的多项式仍然是对称多项式
因此,初等对称多项式的多项式仍然是对称多项式

对称多项式基本定理

任意对称多项式都可以表示为初等对称多项式的多项式
符号描述: $\forall f(X)$ , $\exist{\ \phi(Y)}$ s.t. $f(X)=\phi(\Sigma)$
- 其中, $f (X)$ 是对称多项式, $X=(x_1,\cdots,x_n)$ , $Y=(y_1,\cdots,y_n)$ , $\Sigma=(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)$
- $\sigma_i$ 是初等对称多项式

证明

设对称多项式 $f (X)$ 的按字典排列法的首项 $a_n=a\prod_{i=1}^{n}x_i^{l_i}$ , $a\neq{0}$ ,为了便于比较各个元的次数,以展开的形式书写 $a_n=ax_{1}^{l_1}x_{2}^{l_2}\cdots{x_{n}^{l_n}}$ ,其对应的元组为 $(l_1,l_2,\cdots,l_n)$ (0),注意元组长度 $X$ 的元数 $n$
$a_n$ 作为对称多项式的首项,必有 $l_i\geqslant{l_{i+1}}\geqslant l_n\geqslant{0},i=1,2,\cdots,n-1$ (数列L= $l_1,l_2,\cdots{l_n}$ 是单调增加的)
- 否则L不是单调增加的,意味着在 $\exist{i}$ ,s.t. $l_i<l_{i+1}$ (意思是,由于 $f (X)$ 是对称的, $f (X)$ 在包含 $a_n$ 的同时必定包含
- $a_s$ = $ax_{1}^{l_1}\cdots x_{i+1}^{l_{i}}x_{i}^{l_i+1}\cdots{x_{n}^{l_n}}$ = $ax_{1}^{l_1}\cdots x_{i}^{l_{i+1}}x_{i+1}^{l_i}\cdots{x_{n}^{l_n}}$
- 因为 $f(x_1,\cdots,x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)\;(1)$ ; $f(x_1,\cdots,x_{i+1},x_{i},\cdots,x_n)\;(2)$
- (1)包含 $a_n$ 一定使得(2)包含 $a_s$ ,由 $f (X)$ 是对称多项式可知 $(1), (2)$ 式相等,所以 $(1)$ 一定同时包含 $a_n,a_s$
- 而 $a_s$ 先于 $a_n$ ,因此与 $a_n$ 是 $f (X)$ 的首项矛盾
构造初等对称多项式的多项式: $\phi_1=a\prod_{i=1}^{n-1}{\sigma_{i}^{l_i-l_{i+1}}}\cdot\sigma_n^{l_n}$ ,其中 $l_i$ 来自式(0),易知 $\phi_1$ 也是对称多项式
- 由于 $\sigma_i,i=1,2,\cdots,n$ 的首项是 $\prod_{j=1}^{i}x_j$ ,将 $\sigma_i$ 代入 $\phi_1$ ,根据多项式乘积的首项分解性质, $\phi_1$ 的首项 $b_n$ 等于 ${\sigma_{i}^{l_i-l_{i+1}}}$ 的首项( $i=1,2,\cdots,n-1$ )之积,即 $b_n$ = $a(x_1)^{l_1-l_2}(x_1x_2)^{l_2-l_3}\cdots(x_1\cdots x_n)^{l_{n-1}-l_{n}}(x_1\cdots x_n)^{ln}$
- 化简: $b_n$ = $ax_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots{x_n^{l_n}}$ ,即多项式 $f$ 与 $\phi_1$ 有相同的首项
构造对称多项式 $f_1(X)=f(X)-\phi_1(X)$ ,省略 $(X)$ 不写,简记为 $f_1=f-\phi_1$ , $f_1$ 具有比 $f$ 有"较小"的首项
- 对 $f_1(X)$ 重复上述做法(1,2,3),得到一系列对称多项式 $f_0=f,f_1=f_0-\phi_1$ , $f_2=f_1-\phi_2$ , $\cdots$ (a)
  - 且它们的首项一个比一个小(前面的大,后面的小,可以表示为 $a_n^{[i]}>a_{n}^{[j]},i<j$ )
  - $\phi_i$ 是关于 $\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n$ 的多项式 $i=1,2,\cdots$
- 设 $a_n^{[i]}=b\prod_{i=1}^{n}x_i^{p_i}$ 是 $f_i$ 的首项,则 $a_n>a_n^{[i]}$ ,且有 $l_1\geqslant{p_1}\geqslant{p_2}\geqslant{\cdots}\geqslant{p_n}\geqslant{0}$ (b)
  - 满足(b)的元组 $(p_1,\cdots,p_n)$ 的数目是有限的(上限低于 $l_1^n$ 个)
  - 所以,对应到 $(a)$ 中也只有有限多个对称多项式不为零,即存在正整数 $h$ 使得 $f_h=0$
  - 等式组 $(a)$ ,的最后一个等式可以描述为 $f_h=f_{h-1}-\phi_{h}$
  - 将 $(a)$ 中的 $1 + h$ 个等式相加,得到 $\sum_{i=0}^{h}f_i=f+\sum_{i=0}^{h}fi-\sum_{i=1}^{h}\phi_i$
  - 因此 $f(X)=\sum_{i=1}\phi_i$ ,即对称多项式 $f (X)$ 可以表示为一些初等对称多项式的多项式之和
- 即 $f (X)$ 可以表示为初等对称多项式的一个多项式

此外,定理中的 $\phi(Y)$ 是被对称多项式 $f (X)$ 唯一确定的

将对称多项式分解为初等对称多项式的多项式

上述定理的证明过程就是分解过程
例:设3元对称多项式 $f(x_1,x_2,x_3)$ = $x_1^3+x_2^3+x_3^3$ 表示为 $\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}$ 的多项式
- 其首项为 $a_n=x_1^3$ ,对应的元组为 $(3, 0, 0)$ ,系数 $a^{[0]}=1$
- 构造对称多项式 $\phi_1=1\cdot\sigma_{1}^{3-0}\sigma_{2}^{0-0}\sigma_{3}^{0}$ = $\sigma_1^{3}$ = $(x_1x_2x_3)^3+\cdots$
  - $\sigma_1^3=(\sum_{i}^{n}x_i)^3$ = $(x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1^2x_3\cdots)$ + $x_2^3+3x_2^2x_3+3x_2x_3^2)$ + $x_3^3$
    - 由于只有3次方,我们可以利用组合数确定各项并完全写尽展开式,分为3层
    - $x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1^2x_3+3x_1x_2^2+6x_1x_2x_3+3x_1x_3^2)$
    - $x_2^3+3x_2^2x_3+3x_2x_3^2)$
    - $x_3^3)$
- 构造 $f_1=f-\phi_1=x_1^3+x_2^3+x_3^3-\sigma_1^{3}$ = $-3(x_1^2x_2+x_2^2x_1+\cdots)-6x_1x_2x_3$ , $f_1$ 的首项 $a_n^{[1]}=-3x_1^2x_2$ 对应的有序数组为 $(2, 1, 0)$ ,系数 $a^{[1]}=-3$
- 根据 $f_1$ 的首项 $a_n^{[1]}$ 构造 $\phi_2$ = $-3\sigma_1^{2-1}\sigma_2^{1-0}\sigma_3^{0}$ = $-3\sigma_1\sigma_2$ = $3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$
  - = $3[(x_1^2x_2+x_1x_2x_3+x_1^2x_3)+(x_1x_2^2+x_1x_2x_3+x_2^2x_3)+(x_1x_2x_3+x_1x_3^2+x_2x_3^2)]$
  - = $3(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2)-9x_1x_2x_3$
  - = $-3(x_1^2x_2+x_2^2x_1+\cdots)-9x_1x_2x_3$
- 构造 $f_2$ = $f_1-\phi_2$ = $3x_1x_2x_3$ ,其首项为 $3x_1x_2x_3$ ,元组 $(1, 1, 1)$ ,系数 $a_{n}^{[3]}=3$
  - 构造 $\phi_3=3\sigma_1^{1-1}\sigma_2^{1-1}\sigma_3^{1}$ = $3\sigma_3$ = $3x_1x_2x_3$
- 构造 $f_3=f_2-\phi_3$ = $3x_1x_2x_3-3x_1x_2x_3=0$
- $x_1^3+x_2^3+x_3^3$ = $\sum_{i=1}^{3}\phi_i$ = $\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3$

重要对称多项式和判别式

判别式 (wikipedia.org)
$x_1,\cdots,x_n$ 构成的n元多项式 $D$ = $[\prod_{i<j}(x_i-x_j)]^2$ = $\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2$ 是一个重要的对称多项式
- 由对称多项式基本定理, $D$ 可以表示为 $\phi(\Sigma)$
- D还可以表示为 $a_k=(-1)^{k}\sigma_{k},k=1,2,\cdots,n$ 的多项式,记为 $D(a_1,\cdots,a_n)$
  - $a_1=-\sigma_1$
  - $a_2=\sigma_2$
  - $a_3=-\sigma_3$
  - $\cdots$
由根与系数的关系(韦达定理),设 $x_1,\cdots,x_n$ 是 $f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}$ , $a_0=1)$ 的n个根
- 则 $D(a_1,\cdots,a_n)=0$ 是 $f (x)$ 在复数域内有重根的充要条件
  - 有重根意味着: $\exist x_i=x_j$ , $i\neq{j}$ ,s.t. $f(x_i)=f(x_j)=0$ ;将 $x_i=x_j$ 代入 $D$ ,则 $D = 0$
  - 相反,若 $D = 0$ 则有: $\exist x_i=x_j$ , $i\neq{j}$ ,s.t. $f(x_i)=f(x_j)=0$
- $D$ = $D(a_1,\cdots,a_n)$ 被称为 $f (x)$ 的判别式

常见特例

一元二次多项式: $f(x)=x^2+a_1x+a_2$ 的判别式 $D=a_1^2-4a_2$
- 设 $x_1,x_2$ 是 $f (x)$ 的2个根,则 $D=(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$ = $x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ = $\sigma_1^2-4\sigma_2$ = $a_1^2-4a_2$
一元三次多项式: $g(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ 的判别式为 $D=a_1^2a_2^2-4a_2^3-4a_1^3a_3-27a_3^2+18a_1a_2a_3$
- 设 $x_1,x_2,x_3$ 的3个根,则 $D=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2$ = $x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2$
  - $a_1^2-4a_2)(x_1^2-2x_1x_3+x_3^2)(x_2^2-2x_2x_3+x_3^2)$
  - $\cdots$ (TODO展开细节)
  - $a_1^2a_2^2-4a_2^3-4a_1^3a_3-27a_3^2+18a_1a_2a_3$