柯西不等式
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低维柯西不等式
- 从 a 2 + b 2 ⩾ 2 a b a^2+b^2\geqslant2ab a2+b2⩾2ab出发可以得到柯西不等式(齐次不等式)
柯西不等式的代数形式👺
- 设 a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} a1,a2,b1,b2∈R,则 ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) ⩾ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geqslant{(a_1b_1+a_2b_2)^2} (a12+a22)(b12+b22)⩾(a1b1+a2b2)2;当且仅当 a 1 b 2 = a 2 b 1 a_1b_2=a_2b_1 a1b2=a2b1时取等号
- 证明:用作差比较法
- ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) − ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 ⩾ 0 (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2\geqslant{0} (a12+a22)(b12+b22)−(a1b1+a2b2)2⩾0
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a 1 2 b 1 2 + a 1 2 b 2 2 + a 2 2 b 1 2 + a 2 2 b 2 2 a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2 a12b12+a12b22+a22b12+a22b22 - ( a 1 2 b 1 2 + 2 a 1 a 2 b 1 b 2 + a 2 2 b 2 2 ) ⩾ 0 (a_1^2b_1^2+2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_2^2)\geqslant{0} (a12b12+2a1a2b1b2+a22b22)⩾0
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a 1 2 b 2 2 + a 2 2 b 1 2 − 2 a 1 a 2 b 1 b 2 ⩾ 0 a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1a_2b_1b_2\geqslant{0} a12b22+a22b12−2a1a2b1b2⩾0
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) 2 ⩾ 0 (a_1b_2-a_2b_1)^2\geqslant{0} (a1b2−a2b1)2⩾0
- 最后一个不等式的成立说明原命题的成立
- 结论的证明不难,关键在于人们如何得到这个结论(易于证明的结论不一定容易被发现,很多定理是先通过猜测(提出)结论假设,然后试图证明它)
柯西不等式的向量和几何形式
- 柯西不等式有直观的几何背景,可以借助向量来联系代数和几何
柯西不等式的向量形式
-
由平面向量的知识,设 α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β为平面上的两个向量且 α = ( a 1 , a 2 ) \boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2) α=(a1,a2), β = ( b 1 , b 2 ) \boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2) β=(b1,b2)
- 记 α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β的夹角为 θ = < α , β > \theta=<\boldsymbol{\alpha,\beta}> θ=<α,β>, ∣ α ∣ = a 1 2 + a 2 2 |\boldsymbol\alpha|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} ∣α∣=a12+a22, ∣ β ∣ = b 1 2 + b 2 2 |\boldsymbol{\beta}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2} ∣β∣=b12+b22, α ⋅ β = a 1 b 1 + a 2 b 2 \boldsymbol{\alpha\cdot{\beta}}=a_1b_1+a_2b_2 α⋅β=a1b1+a2b2
- 则 α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β的夹角余弦 cos θ \cos\theta cosθ= α ⋅ β ∣ α ∣ ∣ β ∣ \frac{\boldsymbol{\alpha\cdot\beta}}{\boldsymbol{|\alpha||\beta|}} ∣α∣∣β∣α⋅β
-
显然 cos θ ⩽ 1 \cos\theta\leqslant{1} cosθ⩽1,若 α , β ≠ 0 \boldsymbol{\alpha,\beta\neq{0}} α,β=0即有 α ⋅ β ∣ α ∣ ∣ β ∣ \frac{\boldsymbol{\alpha\cdot\beta}}{\boldsymbol{|\alpha||\beta|}} ∣α∣∣β∣α⋅β ⩽ 1 \leqslant{1} ⩽1所以: α ⋅ β \boldsymbol{\alpha\cdot\beta} α⋅β ⩽ \leqslant ⩽ ∣ α ∣ ∣ β ∣ {\boldsymbol{|\alpha||\beta|}} ∣α∣∣β∣
- 向量形式直接对应于: a 1 b 1 + a 2 b 2 ⩽ a 1 2 + a 2 2 b 1 2 + b 2 2 a_1b_1+a_2b_2\leqslant{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}} a1b1+a2b2⩽a12+a22b12+b22
- 也等价于: ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 ⩽ ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) (a_1b_1+a_2b_2)^2\leqslant{{(a_1^2+a_2^2)}{(b_1^2+b_2^2)}} (a1b1+a2b2)2⩽(a12+a22)(b12+b22)
-
事实上:
-
当 α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β均为非零向量,由 ∣ cos θ ∣ ⩽ 1 |\cos\theta|\leqslant{1} ∣cosθ∣⩽1可知, ∣ α ⋅ β ∣ ∣ α ∣ ∣ β ∣ \frac{\boldsymbol{|\alpha\cdot\beta|}}{\boldsymbol{|\alpha||\beta|}} ∣α∣∣β∣∣α⋅β∣ ⩽ 1 \leqslant{1} ⩽1 ,即 ∣ α ∣ ∣ β ∣ {\boldsymbol{|\alpha||\beta|}} ∣α∣∣β∣ ⩾ \geqslant ⩾ ∣ α ⋅ β ∣ |\boldsymbol{\alpha\cdot\beta}| ∣α⋅β∣
-
等号成立的条件是:向量 α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β共线(平行) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∃ λ ≠ 0 \exist \lambda\neq{0} ∃λ=0 s.t. α = λ β \boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\beta} α=λβ
-
特别的,零向量和任何相邻平行.当 α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β中至少一个为零向量时,即 α ⋅ β \boldsymbol{\alpha\cdot{\beta}} α⋅β=0,不等式成立且取得等号
-
-
三角不等式形式
-
这种形式也时有几何背景的
-
延续上一节中的记号说明, α = ( a 1 , a 2 ) \boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2) α=(a1,a2), β = ( b 1 , b 2 ) \boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2) β=(b1,b2)
-
由向量加法法则, α , β , α + β \boldsymbol{\alpha,\beta,\alpha+\beta} α,β,α+β的端点分别为 A , B , C A,B,C A,B,C,由向量加法的三角形法则(两边之和大于第三边):
-
∣ α ∣ + ∣ β ∣ ⩾ ∣ α + β ∣ |\boldsymbol{\alpha}|+|\boldsymbol{\beta}|\geqslant{|\boldsymbol{\alpha+\beta}|} ∣α∣+∣β∣⩾∣α+β∣
-
等号成立的条件: α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β共线
-
代入代数公式,有
a 1 2 + a 2 2 + b 1 2 + b 2 2 ⩾ ( a 1 + b 1 ) 2 + ( a 2 + b 2 ) 2 \sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant{\sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2}} a12+a22+b12+b22⩾(a1+b1)2+(a2+b2)2
-
三角形式的讨论
-
a
1
2
+
a
2
2
+
b
1
2
+
b
2
2
⩾
(
a
1
+
b
1
)
2
+
(
a
2
+
b
2
)
2
\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant{\sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2}}
a12+a22+b12+b22⩾(a1+b1)2+(a2+b2)2;取等条件:当且仅当(下面三种等价描述成立(任意一条))
- 构造平面向量 α = ( a 1 , a 2 ) \boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2) α=(a1,a2), β = ( b 1 , b 2 ) \boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2) β=(b1,b2),条件为 α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β共线(平行)
- ∃ μ , λ ∈ R \exist{\mu,\lambda\in{\mathbb{R}}} ∃μ,λ∈R s.t. μ a 1 = λ b 1 , μ a 2 = λ b 2 \mu{a_1}=\lambda{b_1},\mu{a_2}=\lambda{b_2} μa1=λb1,μa2=λb2
- 若 a 1 , a 2 ≠ 0 a_1,a_2\neq{0} a1,a2=0,条件可以写作 b 1 a 1 = b 2 a 2 = μ λ \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{\mu}{\lambda} a1b1=a2b2=λμ;(否则必然能够取等号,此时 μ , λ \mu,\lambda μ,λ有无穷多解)
- 证明:
- 该不等式可由几何角度三角不等式容易得出
- 若 ∣ α ∣ ∣ β ∣ ≠ 0 \boldsymbol{|\alpha||\beta|\neq 0} ∣α∣∣β∣=0则 ∣ α ∣ + ∣ β ∣ |\boldsymbol{\alpha}|+|\boldsymbol{\beta}| ∣α∣+∣β∣> ∣ α + β ∣ {|\boldsymbol{\alpha+\beta}|} ∣α+β∣
- 若 ∣ α ∣ ∣ β ∣ = 0 \boldsymbol{|\alpha||\beta|}=0 ∣α∣∣β∣=0,该不等式等号成立,即 ∣ α ∣ + ∣ β ∣ |\boldsymbol{\alpha}|+|\boldsymbol{\beta}| ∣α∣+∣β∣= ∣ α + β ∣ {|\boldsymbol{\alpha+\beta}|} ∣α+β∣
- 反之,若等号成立, α , β \boldsymbol{\alpha,\beta} α,β中至少有一个为零向量,此时显然满足取等条件
- 该不等式可由几何角度三角不等式容易得出
柯西三角形式和绝对值的三角不等式
- 令 a 1 2 + a 2 2 + b 1 2 + b 2 2 ⩾ ( a 1 + b 1 ) 2 + ( a 2 + b 2 ) 2 \sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant{\sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2}} a12+a22+b12+b22⩾(a1+b1)2+(a2+b2)2中的 a 2 = b 2 = 0 a_2=b_2=0 a2=b2=0,此时维度被压缩到一维(平面向量在 x x x轴上的投影),不等式变为 a 1 2 + b 1 2 ⩾ ( a 1 + b 1 ) 2 \sqrt{a_1^2}+\sqrt{b_1^2}\geqslant\sqrt{(a_1+b_1)^2} a12+b12⩾(a1+b1)2,即 ∣ a 1 ∣ + ∣ b 1 ∣ ⩾ ∣ a 1 + b 1 ∣ |a_1|+|b_1|\geqslant{|a_1+b_1|} ∣a1∣+∣b1∣⩾∣a1+b1∣,即 ∀ a , b ∈ R \forall{a,b\in\mathbb{R}} ∀a,b∈R, ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ⩾ ∣ a + b ∣ |a|+|b|\geqslant{|a+b|} ∣a∣+∣b∣⩾∣a+b∣,取等号条件 a b ⩾ 0 ab\geqslant0 ab⩾0
平面三角不等式
代数形式
-
分别用 a 1 − b 1 a_1-b_1 a1−b1, a 2 − b 2 a_2-b_2 a2−b2, b 1 − c 1 b_1-c_1 b1−c1, b 2 − c 2 b_2-c_2 b2−c2代替 a 1 , a 2 , b 1 , b 2 a_1,a_2,b_1,b_2 a1,a2,b1,b2代入到 a 1 2 + a 2 2 + b 1 2 + b 2 2 ⩾ ( a 1 + b 1 ) 2 + ( a 2 + b 2 ) 2 \sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant{\sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2}} a12+a22+b12+b22⩾(a1+b1)2+(a2+b2)2得
-
( a 1 − b 1 ) 2 + ( a 2 − b 2 ) 2 + ( b 1 − c 1 ) 2 + ( b 2 − c 2 ) 2 ⩾ ( a 1 − c 1 ) 2 + ( a 2 − c 2 ) 2 \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}+\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}\geqslant{\sqrt{(a_1-c_1)^2+(a_2-c_2)^2}} (a1−b1)2+(a2−b2)2+(b1−c1)2+(b2−c2)2⩾(a1−c1)2+(a2−c2)2
-
等号成立条件:
- 构造平面点 A ( a 1 , a 2 ) , B ( b 1 , b 2 ) , C ( c 1 , c 2 ) A(a_1,a_2),B(b_1,b_2),C(c_1,c_2) A(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2),条件描述为: A , B , C A,B,C A,B,C三点共线( ∣ A B ∣ + ∣ B C ∣ ⩾ ∣ A C ∣ |AB|+|BC|\geqslant|AC| ∣AB∣+∣BC∣⩾∣AC∣)
- 构造向量 α = ( a 1 , a 2 ) \boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2) α=(a1,a2), β = ( b 1 , b 2 ) \boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2) β=(b1,b2), γ = ( c 1 , c 2 ) \boldsymbol{\gamma}=(c_1,c_2) γ=(c1,c2),取等条件描述为: ∃ λ > 0 \exist{\lambda>0} ∃λ>0 s.t. α − β = λ ( β − γ ) \boldsymbol{\alpha-\beta}=\lambda{(\boldsymbol{\beta-\gamma})} α−β=λ(β−γ)
- 借助向量共线的概念描述:
∃
λ
,
μ
>
0
\exist{\lambda,\mu>0}
∃λ,μ>0 s.t.
μ
(
a
1
−
b
1
)
=
λ
(
b
1
−
c
1
)
\mu(a_1-b_1)=\lambda(b_1-c_1)
μ(a1−b1)=λ(b1−c1),
μ
(
a
2
−
b
2
)
=
λ
(
b
2
−
c
2
)
\mu(a_2-b_2)=\lambda(b_2-c_2)
μ(a2−b2)=λ(b2−c2)
- 可以把参数减少一个(例如两边同时除以 μ \mu μ, μ ( a 1 − b 1 ) = λ ( b 1 − c 1 ) \mu(a_1-b_1)=\lambda(b_1-c_1) μ(a1−b1)=λ(b1−c1) ⇒ \Rightarrow ⇒ ( a 1 − b 1 ) = λ μ ( b 1 − c 1 ) (a_1-b_1)=\frac{\lambda}{\mu}(b_1-c_1) (a1−b1)=μλ(b1−c1),
- 令 ν = λ μ \nu=\frac{\lambda}{\mu} ν=μλ,则 ∃ ν > 0 \exist{\nu}>0 ∃ν>0 s.t ( a 1 − b 1 ) = ν ( b 1 − c 1 ) (a_1-b_1)=\nu(b_1-c_1) (a1−b1)=ν(b1−c1), ( a 2 − b 2 ) = ν ( b 2 − c 2 ) (a_2-b_2)=\nu(b_2-c_2) (a2−b2)=ν(b2−c2)
-
向量形式
-
若 α , β , γ \boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma} α,β,γ为平面向量,则 ∣ α − β ∣ + ∣ β − γ ∣ ⩾ ∣ α − γ ∣ \boldsymbol{|\alpha-\beta|+|\beta-\gamma|\geqslant{|\alpha-\gamma|}} ∣α−β∣+∣β−γ∣⩾∣α−γ∣;取等条件:
- ∣ α − β ∣ ∣ β − γ ∣ ≠ 0 \boldsymbol{|\alpha-\beta||\beta-\gamma|}\neq{0} ∣α−β∣∣β−γ∣=0
- 向量 α − β , β − γ \boldsymbol{\alpha-\beta,\beta-\gamma} α−β,β−γ共线
-
证明
- 设 α = ( a 1 , a 2 ) \boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2) α=(a1,a2), β = ( b 1 , b 2 ) \boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2) β=(b1,b2), γ = ( c 1 , c 2 ) \boldsymbol{\gamma}=(c_1,c_2) γ=(c1,c2)
- α − β \boldsymbol{\alpha-\beta} α−β= ( a 1 − b 1 , a 2 − b 2 ) (a_1-b_1,a_2-b_2) (a1−b1,a2−b2)
- β − γ \boldsymbol{\beta-\gamma} β−γ= ( b 1 − c 1 , b 2 − c 2 ) (b_1-c_1,b_2-c_2) (b1−c1,b2−c2)
- α − γ \boldsymbol{\alpha-\gamma} α−γ= ( a 1 − c 1 , a 2 − c 2 ) (a_1-c_1,a_2-c_2) (a1−c1,a2−c2)
- ∣ α − β ∣ \boldsymbol{|\alpha-\beta|} ∣α−β∣= ( a 1 − b 1 ) 2 + ( a 2 − b 2 ) 2 \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2} (a1−b1)2+(a2−b2)2
- ∣ β − γ ∣ \boldsymbol{|\beta-\gamma|} ∣β−γ∣= ( b 1 − c 1 ) 2 + ( b 2 − c 2 ) 2 \sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2} (b1−c1)2+(b2−c2)2
- ∣ α − γ ∣ \boldsymbol{|\alpha-\gamma|} ∣α−γ∣= ( a 1 − c 1 ) 2 + ( a 2 − c 2 ) 2 \sqrt{(a_1-c_1)^2+(a_2-c_2)^2} (a1−c1)2+(a2−c2)2
-
由平面三角不等式(代数形式)有 ∣ α − β ∣ + ∣ β − γ ∣ ⩾ ∣ α − γ ∣ \boldsymbol{|\alpha-\beta|+|\beta-\gamma|\geqslant{|\alpha-\gamma|}} ∣α−β∣+∣β−γ∣⩾∣α−γ∣;取等条件: ∃ λ > 0 \exist{\lambda>0} ∃λ>0 s.t. α − β = λ ( β − γ ) \boldsymbol{\alpha-\beta}=\lambda{(\boldsymbol{\beta-\gamma})} α−β=λ(β−γ)
基本不等式和柯西不等式
-
( a 1 2 + a 2 2 ) + ( b 1 2 + b 2 2 ) ⩾ 2 ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) (a_1^2+a_2^2)+(b_1^2+b_2^2)\geqslant{2(a_1b_1+a_2b_2)} (a12+a22)+(b12+b22)⩾2(a1b1+a2b2)
-
由基本不等式: ( a 1 2 + a 2 2 ) + ( b 1 2 + b 2 2 ) ⩾ 2 ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) (a_1^2+a_2^2)+(b_1^2+b_2^2)\geqslant{2\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)}} (a12+a22)+(b12+b22)⩾2(a12+a22)(b12+b22)
-
再有柯西不等式: ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) ⩾ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geqslant{(a_1b_1+a_2b_2)^2} (a12+a22)(b12+b22)⩾(a1b1+a2b2)2
-
所以有 ( a 1 2 + a 2 2 ) + ( b 1 2 + b 2 2 ) ⩾ 2 ∣ a 1 b 1 + a 2 b 2 ∣ (a_1^2+a_2^2)+(b_1^2+b_2^2)\geqslant{2|a_1b_1+a_2b_2|} (a12+a22)+(b12+b22)⩾2∣a1b1+a2b2∣
小结👺
- 代数形式: ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) ⩾ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geqslant{(a_1b_1+a_2b_2)^2} (a12+a22)(b12+b22)⩾(a1b1+a2b2)2;向量形式 ∣ α ∣ 2 ∣ β ∣ 2 ⩾ ∣ α ⋅ β ∣ 2 \boldsymbol{|\alpha|^2|\beta|^2\geqslant{|\alpha\cdot{\beta}|^2}} ∣α∣2∣β∣2⩾∣α⋅β∣2
- 几何积形式: ∣ α ∣ ∣ β ∣ ⩾ ∣ α ⋅ β ∣ {\boldsymbol{|\alpha||\beta|}} \geqslant \boldsymbol{|\alpha\cdot\beta|} ∣α∣∣β∣⩾∣α⋅β∣,对应于代数形式 a 1 2 + a 2 2 b 1 2 + b 2 2 ⩾ ∣ a 1 b 1 + a 2 b 2 ∣ {\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}} \geqslant |a_1b_1+a_2b_2| a12+a22b12+b22⩾∣a1b1+a2b2∣
- 几何和形式(三角不等式形式): ∣ α ∣ + ∣ β ∣ ⩾ ∣ α + β ∣ |\boldsymbol{\alpha}|+|\boldsymbol{\beta}|\geqslant{|\boldsymbol{\alpha+\beta}|} ∣α∣+∣β∣⩾∣α+β∣;对应于代数形式 a 1 2 + a 2 2 + b 1 2 + b 2 2 ⩾ ( a 1 + b 1 ) 2 + ( a 2 + b 2 ) 2 \sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant{\sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2}} a12+a22+b12+b22⩾(a1+b1)2+(a2+b2)2
柯西不等式的一般形式
- 设 a 1 , ⋯ , a n ; b 1 , ⋯ , b n ∈ R a_1,\cdots,a_n;b_1,\cdots,b_n\in{\mathbb{R}} a1,⋯,an;b1,⋯,bn∈R,则 ( ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 ) 1 2 (\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}} (∑i=1nai2∑i=1nbi2)21 ⩾ \geqslant ⩾ ∣ ∑ i = 1 n a i b i ∣ |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| ∣∑i=1naibi∣;令集合 D = { 1 , 2 , ⋯ , n } D=\{1,2,\cdots,n\} D={1,2,⋯,n}
- 等价形式: ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) (\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_i^2) (∑i=1nai2)(∑i=1nbi2) ⩾ \geqslant ⩾ ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 (∑i=1naibi)2;
- 取等条件: a i = λ b i , i ∈ D a_i=\lambda{b_i},i\in{D} ai=λbi,i∈D;(若用除式描述: a i b i = λ , i ∈ D \frac{a_i}{b_i}=\lambda,i\in{D} biai=λ,i∈D,若 b j = 0 , j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } b_j=0,j\in\{1,2,\cdots,n\} bj=0,j∈{1,2,⋯,n},则解释为 a i = b i = 0 a_i=b_i=0 ai=bi=0)
特例
- 取 n = 2 n=2 n=2时, ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) ⩾ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geqslant{(a_1b_1+a_2b_2)^2} (a12+a22)(b12+b22)⩾(a1b1+a2b2)2
参数配方法证明一般形式的柯西不等式
- 证明:若
a
1
=
a
2
=
⋯
=
a
n
=
0
a_1=a_2=\cdots=a_n=0
a1=a2=⋯=an=0,不等式显然成立(0=0)
- 若 a 1 , ⋯ , a n a_1,\cdots,a_n a1,⋯,an至少有一个不是0,则: ∑ i = 1 n a i 2 > 0 \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2>0 ∑i=1nai2>0
- 构造关于 x x x的一元二次三项式:y= ( ∑ i = 1 n a i 2 ) x 2 (\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2)x^2 (∑i=1nai2)x2+ 2 ( ∑ i = 1 n a i b i ) x 2(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})x 2(∑i=1naibi)x+ ∑ i = 1 n b i 2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 ∑i=1nbi2 则 y = ∑ i = 1 n ( a i x + b i ) 2 ⩾ 0 y=\sum_{i=1}^{n}(a_ix+b_i)^2\geqslant{0} y=∑i=1n(aix+bi)2⩾0
- 从图像的角度来看 y y y开口向上,且最小值为非负数,即 y ⩾ 0 y\geqslant0 y⩾0的解集为 R \mathbb{R} R; y = 0 y=0 y=0的实根个数为0或1,因此,若设y的判别式 Δ \Delta Δ,则 Δ ⩽ 0 \Delta\leqslant0 Δ⩽0
- 而 Δ \Delta Δ= 4 ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 − 4 ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) 4(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2-4(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2)(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2) 4(∑i=1naibi)2−4(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2),则 4 [ ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 − ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) ] ⩽ 0 4[(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2-(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2)(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2)]\leqslant{0} 4[(∑i=1naibi)2−(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)]⩽0,即 ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 − ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) ⩽ 0 (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2-(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2)(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2)\leqslant0 (∑i=1naibi)2−(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)⩽0,即 ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 (∑i=1naibi)2 ⩽ \leqslant ⩽ ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) (\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2)(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2) (∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)
- 所以 ∣ ∑ i = 1 n a i b i ∣ |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| ∣∑i=1naibi∣ ⩽ \leqslant ⩽ ( ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 ) 1 2 (\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}} (∑i=1nai2∑i=1nbi2)21
- 等号成立的条件:为了确定该条件,考察
y
=
∑
i
=
1
n
(
a
i
x
+
b
i
)
2
⩾
0
y=\sum_{i=1}^{n}(a_ix+b_i)^2\geqslant{0}
y=∑i=1n(aix+bi)2⩾0这一形式,可知
a
i
x
+
b
i
=
0
a_ix+b_i=0
aix+bi=0,
(
i
=
1
,
2
⋯
,
n
)
(i=1,2\cdots,n)
(i=1,2⋯,n)就是
∀
x
∈
R
,
y
=
0
\forall{x\in\mathbb{R}},y=0
∀x∈R,y=0的条件,此时判别式
Δ
=
0
\Delta=0
Δ=0,也就是
∣
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
∣
|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i|
∣∑i=1naibi∣
⩽
\leqslant
⩽
(
∑
i
=
1
n
a
i
2
∑
i
=
1
n
b
i
2
)
1
2
(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}
(∑i=1nai2∑i=1nbi2)21取等号的条件;若用除式描述:
-
a
i
b
i
=
−
x
−
1
,
∀
i
∈
D
\frac{a_i}{b_i}=-x^{-1},\forall i\in{D}
biai=−x−1,∀i∈D,即
a
1
b
1
=
a
2
b
2
=
⋯
=
a
n
b
n
\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}
b1a1=b2a2=⋯=bnan
- 若 ∃ j ∈ D , b j = 0 \exist{j}\in{D},b_j=0 ∃j∈D,bj=0,则 a i = 0 , ∀ i ∈ D a_i=0,\forall{i}\in{D} ai=0,∀i∈D,
- 若 ∀ i ∈ D , b i ≠ 0 \forall{i}\in{D},b_i\neq 0 ∀i∈D,bi=0,
-
a
i
b
i
=
−
x
−
1
,
∀
i
∈
D
\frac{a_i}{b_i}=-x^{-1},\forall i\in{D}
biai=−x−1,∀i∈D,即
a
1
b
1
=
a
2
b
2
=
⋯
=
a
n
b
n
\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}
b1a1=b2a2=⋯=bnan
- 上述的证明方法称为参数配方法
柯西不等式的应用
例
-
设 ( r 1 , r 2 ) (r_1,r_2) (r1,r2)是 a 1 , ⋯ , a 4 a_1,\cdots,a_4 a1,⋯,a4为共面4顶点的多边形各边上的两个顶点下标组合之一, S S S是所有可能的组合,共有4中可能
-
求证: ∑ i = 1 4 a i 2 ⩾ ∑ ( r 1 , r 2 ) ∈ S a r 1 a r 2 \sum_{i=1}^{4}a_i^2\geqslant{\sum_{(r_1,r_2)\in{S}}}a_{r_1}a_{r_2} ∑i=14ai2⩾∑(r1,r2)∈Sar1ar2,
-
证明:构造 f 1 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 f_1=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2 f1=a12+a22+a32+a42, f 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 + a 1 2 f_2=a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1^2 f2=a22+a32+a42+a12,且 f 1 = f 2 f_1=f_2 f1=f2
- 则 f 1 2 f 2 2 ⩾ ( a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 + a 4 a 1 ) 2 f_1^2f_2^2\geqslant{(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_1)^2} f12f22⩾(a1a2+a2a3+a3a4+a4a1)2,所以 ∑ i = 1 4 a i 2 ⩾ ∑ ( r 1 , r 2 ) ∈ S a r 1 a r 2 \sum_{i=1}^{4}a_i^2\geqslant{\sum_{(r_1,r_2)\in{S}}}a_{r_1}a_{r_2} ∑i=14ai2⩾∑(r1,r2)∈Sar1ar2
例
- 设 a , b , c > 0 a,b,c>0 a,b,c>0,且 a + b + c = 1 a+b+c=1 a+b+c=1,求证 a − 1 + b − 1 + c − 1 ⩾ 9 a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}\geqslant{9} a−1+b−1+c−1⩾9
- 证明:构造两组数
- a , b , c \sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c} a,b,c
- a − 1 , b − 1 , c − 1 \sqrt{a}^{-1},\sqrt{b}^{-1},\sqrt{c}^{-1} a−1,b−1,c−1
- 由柯西不等式(n=3形式): ( a + b + c ) ( a − 1 + b − 1 + c − 1 ) ⩾ ( 1 + 1 + 1 ) 2 (a+b+c)(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1})\geqslant{(1+1+1)^2} (a+b+c)(a−1+b−1+c−1)⩾(1+1+1)2
- 所以 a − 1 + b − 1 + c − 1 ⩾ 9 a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}\geqslant{9} a−1+b−1+c−1⩾9
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