AA@根与系数的关系定理@一元n次多项式的韦达定理
韦达定理Vieta’s formulas
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在数学上，韦达定理是一个公式 (英语：Vieta’s formulas)，给出多项式方程的根与系数的关系，因而又被代称为根与系数。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现，并因此得名。韦达定理常用于代数领域。
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韦达定理的实用之处在于，它提供一个不用直接把根解出来的方法来计算根之间的关系。
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设 P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 是一个一元 n n n 次实(或复)系数多项式(首项系数 a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} an=0,否则就是某个低于 n n n次的 r r r次多项式( r < n r<n r<n)
- 令 P 的 n 个根为 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} x1,x2,…,xn，则根 { x i } {\displaystyle \{x_{i}\}} {xi}和系数 { a j } {\displaystyle \{a_{j}\}} {aj}之间满足关系式
{ x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n = − a n − 1 a n ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n ⋮ x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n { {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\ {}\quad \vdots \\ x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}} ⎩ ⎨ ⎧x1+x2+⋯+xn−1+xn=−anan−1(x1x2+x1x3+⋯+x1xn)+(x2x3+x2x4+⋯+x2xn)+⋯+xn−1xn=anan−2⋮x1x2…xn=(−1)nana0
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等价的说，对任何 k = 1 , 2 , . . . , n k = 1, 2, ..., n k=1,2,...,n，系数比 a n − k a n {\displaystyle {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}} anan−k 是所有任取 k 个根的乘积的和的 ( − 1 ) k {\displaystyle (-1)^{k}} (−1)k 倍，即
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∑ 1 ⩽ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ⩽ n x i 1 x i 2 ⋯ x i k = ( − 1 ) k a n − k a n \sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n} x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}} =(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}} 1⩽i1<i2<⋯<ik⩽n∑xi1xi2⋯xik=(−1)kanan−k
- 其中 i 1 < i 2 < ⋯ < i k {\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}} i1<i2<⋯<ik 是要让所有的根的组合都恰好出现一次。
- 也可以理解为,从 x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn种不放回抽取n个元素的所有取法,共有 ( n k ) \binom{n}{k} (kn)种,意味着求和式有 ( n k ) \binom{n}{k} (kn)项
- 等号的左边被称作是初等对称多项式。
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{ a n − 1 = ( − 1 ) 1 a n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n ) a n − 2 = ( − 1 ) 2 a n ( ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n ) ⋮ a 0 = ( − 1 ) n a n x 1 x 2 … x n {\begin {cases} a_{n-1}&=&(-1)^{1}a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\ a_{n-2}&=&(-1)^{2}a_{n} \left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n}) +(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n} \right)\\ {}\quad \vdots \\ a_{0}&=&(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n} \end{cases}} ⎩ ⎨ ⎧an−1an−2⋮a0===(−1)1an(x1+x2+⋯+xn−1+xn)(−1)2an((x1x2+x1x3+⋯+x1xn)+(x2x3+x2x4+⋯+x2xn)+⋯+xn−1xn)(−1)nanx1x2…xn
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证明
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设 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} x1,x2,…,xn 是一元 n 次多项式 M ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} M(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 的 n 个根。
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于是有 a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})} anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=an(x−x1)(x−x2)⋯(x−xn)
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根据乘法原理展开右式，比较等号两边的各项系数可得
- { a n − 1 = ( − 1 ) 1 a n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n ) a n − 2 = ( − 1 ) 2 a n ( ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n ) ⋮ a 0 = ( − 1 ) n a n x 1 x 2 … x n {\begin{cases} a_{n-1}&=&(-1)^{1}a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\ a_{n-2}&=&(-1)^{2}a_{n} \left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n}) +(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n} \right)\\ {}\quad \vdots \\ a_{0}&=&(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n} \end{cases}} ⎩ ⎨ ⎧an−1an−2⋮a0===(−1)1an(x1+x2+⋯+xn−1+xn)(−1)2an((x1x2+x1x3+⋯+x1xn)+(x2x3+x2x4+⋯+x2xn)+⋯+xn−1xn)(−1)nanx1x2…xn
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上式等同于韦达定理的另一种叙述方式
常见特例
一元二次多项式(n=2)
- 设
f
(
x
)
=
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0
f(x)=a2x2+a1x+a0由代数基本定理可知,一元二次多项式有2个复根,分别设为
x
1
,
x
2
x_1,x_2
x1,x2
- a 1 = ( − 1 ) 1 a 2 ( x 1 + x 2 ) a_{1}=(-1)^{1}a_2(x_1+x_2) a1=(−1)1a2(x1+x2)= − a 2 ( x 1 + x 2 ) -a_2(x_1+x_2) −a2(x1+x2)
- a 0 = ( − 1 ) 2 a n ( x 1 x 2 ) a_0=(-1)^2a_n(x_1x_2) a0=(−1)2an(x1x2)= a 2 ( x 1 x 2 ) a_2(x_1x_2) a2(x1x2)
- 转变一下形式,就得到初中阶段学习的形式:
- x 1 + x 2 = − a 1 a 2 x_1+x_2=-\frac{a_1}{a_2} x1+x2=−a2a1
- x 1 x 2 = a 0 a 2 x_1x_2=\frac{a_0}{a_2} x1x2=a2a0
- 不过仅仅是二次的时候,更习惯将表达式系数用a,b,c表示写作
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f(x)=ax^2+bx+c
f(x)=ax2+bx+c
- x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=−ab
- x 1 x 2 = c a x_1x_2=\frac{c}{a} x1x2=ac
一元三次方程(n=3)
- 设
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
x1,x2,x3 是一元三次多项式
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
ax3+bx2+cx+d 的三根，则:
- x 1 + x 2 + x 3 = − b a , x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x1+x2+x3=−ab,
- x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a , x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}, x1x2+x1x3+x2x3=ac,
- x 1 x 2 x 3 = − d a x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}} x1x2x3=−ad
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