数学归纳法基本原理及其变体和证明

文章目录

• • 数学归纳法
  • • 最小数原理
    • 记号说明
  • 第一数学归纳法
  • • 标准形式
    • 一般化形式(推广)
  • 第二数学归纳法
  • • 例👺
  • 逆向归纳法
  • • 例
  • refs

数学归纳法

• 数学归纳法是一种重要数学证明方法,它帮助我们认识客观事物,由有限到无穷,实现质的飞跃
• 数学归纳是变形的演绎法,而非"不完全归纳"
• 数学归纳法依据最小数原理

最小数原理

• 任何非空的正整数集必有一个最小数
  • 从最大的正整数集${\mathbb{N}}^{+}=\{1,2,\cdots ,\}$
  • 其他正整数集(不妨记为S)是${\mathbb{N}}^{+}$的子集

记号说明

• 设$P(n)$表示一个与正整数有关的命题
• 推广的讲,$P(n)$表示一个与整数有关的命题(不仅限于正整数)

第一数学归纳法

• 第一数学归纳法可利用最小数原理证明的

标准形式

• 第一数学归纳法:
  • (1): $P(1)$成立
  • (2): 在$P(k)$成立的前提下,导出$P(k+1)$成立
  • 满足上述两点则$P(n)$对于任何正整数成立
• 证明:利用反证法
  • 由最小数原理,假设满足(1),(2)的情况下,存在一个最小正整数$n_0$,使得命题$P(n_0)$不成立👺
  • 由条件(1),$P(1)$成立,所以$n_0\ne 1$;即$n_0⩾2$于是$n_0-1$是正整数
  • 又因为$n_0$是使$P(n)$不成立的最小正整数,所以$P(n_0-1)$成立
  • 由条件(2),$P(n_0-1)$成立一定有$P(n_0)$的成立👺
  • 综上,我们得到两个矛盾的结果:$P(n_0)$既成立又不成立,所以不存在这样的正整数$n_0$使得$P(n_0)$不成立
  • 所以第一数学归纳法得证

一般化形式(推广)

• 设$n_0$为整数($n_0$可以是负整数或零或正整数),若满足
  • (1):$P(n_0)$成立
  • (2):在$P(k)(k⩾n_0)$成立的假定下,可以推导出$P(k+1)$成立
  • 则$P(n)$对于一切大于等于$n_0$的整数$n$成立
• 证明与标准形式的过程类似

第二数学归纳法

• 设
  • (1):$P(1)$成立
  • (2):在$P(m),(m|1<m⩽k)$成立的假定下,可以推出$P(k+1)$成立
• 则$P(n)$对于一切正整数成立
• Note:条件(2)可以更加强调的等价描述为:在$P(m),(\forall m\in \{m|1<m⩽k\})$均成立的假定下,可以推出$P(k+1)$成立
• 证明:(依然使用反证法,并借助最小数原理)
  • 设$P(n)$对于某些正整数不成立
  • (为便于讨论,我们关注其中的第一个)根据最小数原理,比存在使得$P(n)$不成立的最小正整数$k$
  • 即正整数$k$是使命题$P(n)$不成立的最小正整数($P(k)$不成立)👺
  • 由条件(1)可知$P(1)$成立,所以$k>1$(或者说$k⩾2$),于是$k-1$是正整数($k-1⩾1$)
  • 因为$k$是使得命题$P(n)$不成立的最小正整数,所以$P(m),m=1,2,\cdots ,k-1$均成立
  • 再由条件(2),可知$P((k-1)+1)$即$P(k)$一定成立👺
  • 综上,得出两个相互矛盾的结果:$P(k)$既不成立又成立

例👺

• 利用第二数学归纳法证明第$n$个质数$p_n<2^{2^n}$
  • 知识预备:设$p_i,i=1,2,\cdots$是质数,且$p_i<p_{i+1}$;若$p_i,i=1,2,\cdots ,m$都不是整数$x$的因子,那么$x$的质因子$p>p_i$,当然也有$p>p_m$(或者说$p⩾p_{m+1}$)
• 证明:
  • (1):当$n=1$时,$p_1=2<2^{2^1}=4$,显然命题成立
  • (2):当$1⩽n⩽k$时命题成立,即$p_i<2^{2^i},i=1,2,\cdots ,k$;构造连乘式有:
    • ${\prod }_{i=1}^k{p}_i$<${\prod }_{i=1}^k{2}^{2^i}$=$2^{{\sum }_{i=1}^k{2}^i}$=$2^{2^{k+1}-2}$=$2^{2^{k+1}}\cdot 2^{-2}$<$2^{2^{k+1}}$
    • 令$L$=$({\prod }_{i=1}^k{p}_i)+1$则:$L$ $⩽$ $2^{2^{k+1}-2}$<$2^{2^{k+1}}$
    • 设$L$的质因子为$p$,显然$p<2^{2^{k+1}}$
    • $p_i,i=1,2,\cdots ,k$都不是$L$的质因子(因为$L\%p_i=1,i=1,2,\cdots ,k$(意思是$L$除以$p_i$的余数是1))
    • 所以$p>p_k$,所以$p⩾p_{k+1}$因此$p_{k+1}⩽p<2^{2^{k+1}}$,即$p_{k+1}<2^{2^{k+1}}$
    • 可见,当$n=k+1$时命题成立,
  • 由(1),(2),根据第二数学归纳法知命题成立
• Note:这个例子中,我们构造了一个数$L=({\prod }_{i=1}^k{p}_i)+1$,并通过判定它的质因子$p$的取值范围来得到$n=k+1$时命题的成立性

逆向归纳法

• 对于命题$P(n)$,若
• (1):$P(n_k)$对无穷多个$n_i<n_{i+1},i=1,2,\cdots$成立(这里$n_{i+1}-n_i⩾1$,不一定取等号)
• (2):在$P(k+1)$成立的假定下,可以推出$P(k)$成立
• 则$P(n)$对于一切正整数$n$成立
• 证明:
  • 任意取定正整数$n$,则小于$n$的正整数只有有限个($n-1$个)
  • 因为数列$\{n_i{\}}_{i=1}^{\infty }$中有无穷多个正整数,所以$\exists n_{i_0}$ s.t. $n_{i_0}⩾n$
  • 由(1)可知$P(n_{i_0})$成立.
  • 由(2),$P(n_{i_0})$ $\Rightarrow$ $P(n_{i_0-1})$ $\Rightarrow$ $\cdots$ $\Rightarrow$ $P(n)$这个过程经过有限步($n_{i_0}-n$)能够完成
  • 所以$P(n)$对$P(n)$任意正整数都成立

例

• 逆向归纳法可以证明几何-算数均值不等式
• 可参考refs列出的教材

refs

• 高中人教版@2007@选修4-5不等式选讲