LA@n维向量@解析几何向量和线性代数向量
文章目录
概念
n维向量
- 由
n
n
n个有次序的数
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
a_1,a_2,\cdots,a_n
a1,a2,⋯,an组成的有序数组称为n维向量,简称向量
- 数 a i a_i ai称为向量的第 i i i个分量
向量类型
实向量和复向量
- 分量全为实数的向量称为实向量,分量是复数的向量称为复向量(实向量是从属于复向量的)
- 这里默认讨论的是实向量
行向量和列向量
-
n n n维向量可以写成一行或一列,分别称为行向量,列向量(或分别称为行矩阵,列矩阵)
-
一个 n n n维行向量是 1 × n 1\times{n} 1×n的矩阵
- ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} a1a2⋮an
-
一个 n n n维列向量是 n × 1 n\times{1} n×1的矩阵
- ( a 1 a 2 ⋯ a n ) \begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix} (a1a2⋯an)
-
-
通常以小写希腊字母,例如: α , β , γ , ⋯ \boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma,\cdots} α,β,γ,⋯表示向量
-
也可以用小写的粗体的英文字母表示,例如: a , b , ⋯ \boldsymbol{a,b,\cdots} a,b,⋯,或粗正体 a , b , ⋯ \bold{a,b,\cdots} a,b,⋯
-
有时为例书写方便,可以用非粗体: α , β , γ , ⋯ {\alpha,\beta,\gamma,\cdots} α,β,γ,⋯
-
在按行分块和按列分块的分块矩阵中,还可能出现用大写英文字母表示列分块或行分块,例如 A 1 , A 2 , ⋯ A_1,A_2,\cdots A1,A2,⋯
行列向量的转换
-
列向量可以看作行向量的转置
-
习惯上,向量通常默认指列向量,设向量包含 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an元素
-
列向量和行向量分别表示为
-
a = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) T a T = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \bold{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T \\ \bold{a}^T=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}=(a_1,a_2,\cdots,a_n) a= a1a2⋮an =(a1a2⋯an)TaT=(a1a2⋯an)=(a1,a2,⋯,an)
-
为了便于区分符号(文字)所表示的向量是列向量还是行向量,习惯上表示行向量的符号带上一个 T ^T T上标,例如 a T \bold{a}^T aT表示列向量 a \bold{a} a的转置得到的
-
简化书写,由于列向量如果严格竖着写比较占用空间,紧凑性不好,我们可以利用转置性质: a = ( a T ) T \bold{a}=(\bold{a}^T)^T a=(aT)T,将列向量用行向量的转置形式书写展开式,这样行列向量也可以用横着写
-
特殊向量
- 分量全为0的向量称为零向量
- 零向量第 i i i个分量改为1得到的向量是 a i = 1 a_i=1 ai=1的 n n n维基向量
向量运算
-
向量作为一种特殊的矩阵,仍然按照矩阵的运算规则运算
-
k a = k ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = ( k a 1 , k a 2 , ⋯ , k a n ) k\bold{a}=k(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n) ka=k(a1,a2,⋯,an)=(ka1,ka2,⋯,kan)
- − a = − ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = ( − a 1 , − a 2 , ⋯ , − a n ) -\bold{a}=-(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n) −a=−(a1,a2,⋯,an)=(−a1,−a2,⋯,−an)为向量 − a -\bold{a} −a的负向量
矩阵的向量分块👺
-
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn
-
记 α j = ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) , j = 1 , 2 , ⋯ , n A = ( α 1 α 2 ⋯ α n ) \\记\alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{pmatrix},j=1,2,\cdots,n \\A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} 记αj= a1ja2j⋮amj ,j=1,2,⋯,nA=(α1α2⋯αn)
-
记 β i T = ( a i 1 , a i 2 , ⋯ , a i n ) , i = 1 , 2 , ⋯ , m A = ( β 1 T β 2 T ⋮ β m T ) 记\beta_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i=1,2,\cdots,m \\ A= \begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix} 记βiT=(ai1,ai2,⋯,ain),i=1,2,⋯,mA= β1Tβ2T⋮βmT
-
A = ( α 1 α 2 ⋯ α n ) = ( β 1 T β 2 T ⋮ β m T ) A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix} A=(α1α2⋯αn)= β1Tβ2T⋮βmT
解析几何向量和线性代数向量👺
- 在解析几何中,我们把"既有大小又有方向的量"叫做向量
- 把可随意平移的有向线段作为向量的几何形象
- 引进坐标系后,这种向量就有了坐标表示:
n
n
n个有次序的实数数组
(
a
1
,
⋯
,
a
n
)
(a_1,\cdots,a_n)
(a1,⋯,an)
- n = 1 n=1 n=1对应的是标量
- n = 2 n=2 n=2对应于二维平面向量
- n = 3 n=3 n=3对应于三维空间向量
- 当 n ⩽ 3 n\leqslant{3} n⩽3时, n n n维向量可以把有向线段作为几何形象
- 当 n > 3 n>3 n>3时, n n n维向量不再有几何形象,但是沿用一些几何术语
向量空间
- 几何中,"空间"通常是作为点的集合,构成空间的元素是点,这样的空间叫做点空间
- 我们把 3 3 3维向量的全体所组成的集合: R 3 \mathbb{R}^3 R3={ r = ( x , y , z ) T ∣ x , y , z ∈ R \bold{r}=(x,y,z)^T|x,y,z\in\mathbb{R} r=(x,y,z)T∣x,y,z∈R}称为3维向量空间
- 在点空间取定坐标系后,三维空间中的点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)与 3 3 3维向量 r = ( x , y , z ) T \bold{r}=(x,y,z)^T r=(x,y,z)T之间有一 一对应关系
- 因此向量空间可以类比为"取定了坐标系"的点空间
- 在讨论向量的运算时,我们把向量看作有向线段
- 在讨论向量集时,把向量
r
\bold{r}
r看作时
r
\bold{r}
r为径向的点
P
P
P,从而把点
P
P
P的轨迹作为向量集作为向量集的图形
- 例如 Π = { P ( x , y , z ) ∣ a x + b y + c z + d = 0 } \Pi=\{P(x,y,z)|ax+by+cz+d=0\} Π={P(x,y,z)∣ax+by+cz+d=0},结合空间解析几何的知识,是一个平面方程的一般式,因此 Π \Pi Π是一个平面 ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ) (a^2+b^2+c^2>{0}) (a2+b2+c2>0)或 ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) (a,b,c)\neq{(0,0,0)} (a,b,c)=(0,0,0)
- 由此,向量集
S
=
{
r
=
(
x
,
y
,
z
)
T
∣
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
}
S=\{\bold{r}=(x,y,z)^T|ax+by+cz+d=0\}
S={r=(x,y,z)T∣ax+by+cz+d=0}也叫做向量空间
R
3
\mathbb{R}^3
R3中的平面(3维空间中的2维平面),并把
Π
\Pi
Π作为向量集S的图形
- 将 x , y , z x,y,z x,y,z替换为 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3; x , y , z x,y,z x,y,z替换为 a 1 , a 2 , a 3 a_1,a_2,a_3 a1,a2,a3,则平面方程作 ( ∑ i = 1 3 a i x i ) + b = 0 (\sum_{i=1}^{3}a_ix_i)+b=0 (∑i=13aixi)+b=0
n n n维向量空间
- 设集合 D = { 1 , 2 , ⋯ , n } D=\{1,2,\cdots,n\} D={1,2,⋯,n}
- n n n维向量的全体构成的集合 R 3 \mathbb{R}^3 R3={ x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∣ ∀ i ∈ D , x i ∈ R \bold{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T|\forall{i}\in{D},x_i\in\mathbb{R} x=(x1,x2,⋯,xn)T∣∀i∈D,xi∈R}叫做 n n n维向量空间
n n n维空间的 n − 1 n-1 n−1维超平面
- n n n维向量的集合{ x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∣ ( ∑ i = 1 n a i x i ) + b = 0 \bold{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T|(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i)+b=0 x=(x1,x2,⋯,xn)T∣(∑i=1naixi)+b=0}叫做 n n n维向量空间 R n \mathbb{R}^n Rn中的 n − 1 n-1 n−1维超平面
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