LA@向量组间的表示关系导出的向量组线性相关性@进阶@延伸组

文章目录

• • 延伸组
  • • 向量分量增减和相关性
    • • 短无关则长无关
      • 长相关则短相关
      • 从方程组解角度理解
    • 推论
  • 被表出向量组的线性相关性
  • • 用系数矩阵向量组的线性相关性讨论被表出向量组的相关性
    • 归纳:被表出向量组线性相关性判定定理
    • 被表示向量组和表出向量组有相同数量的向量时
    • 例
  • Note

延伸组

• 设向量组$A:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$,其中${\alpha }_i,i=1,2\cdots ,m$是$n$维向量

• 对$A$的每个向量${\alpha }_i(i=1,2,\cdots ,s)$添加一个分量,得到$B:{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$

  • $$\begin{gathered} {\alpha }_i=(a_{1i},a_{2i},\cdots ,a_{ni}{)}^T \\ {\beta }_i=(a_{1i},a_{2i},\cdots ,a_{ni},a_{n+1,i}{)}^T \end{gathered}$$

  • 将$B$称为$A$的分量延伸组

向量分量增减和相关性

短无关则长无关

• 若短向量组$A$线性无关,则长向量$B$也线性无关

• 证明

  • $A$线性无关,则$R(A)=n$,因为$B$的列数为$n$,所以$R(B)⩽n$,由于B是$A$的延申组,$R(B)⩾R(A)$,所以$R(B)=n$,所以$B$线性无关

长相关则短相关

• 若长向量$B$线性相关,则短向量$A$线性相关

• 证明:

  • $B$线性相关,则$R(B)<n$

  • 由于$B$是$A$的延申组,$R(B)⩾R(A)$,所以$R(A)⩽R(B)<n$,所以$A$线性相关

从方程组解角度理解

• 向量组内向量的维数n代表线性方程组的约束条件(约束方程)的数目
• 对原向量组中每个向量增加一维,相当于增加一个约束方程
• 向量组是否线性相关取决于方程组$Ax=0$是否有非零解,$其中A=(A)$
• 向量组$Bx=0$,其中$B=(B)$
• 有效约束方程越多,方程组有非零解的可能性越小,对应向量组线性相关可能性越小
• 而原方程已经线性无关($Ax=0$无解),那么$Bx=0$更不可能有解,即$B$线性无关

推论

• 如果${\gamma }_i$是由${\alpha }_i$中每个向量增加$k⩾0$个分量后得到的向量,则由${\alpha }_i$线性无关可以推出${\gamma }_i$线性无关$(i=1,2,\cdots ,s)$
• 如果${\delta }_i$是由${\alpha }_i$中每个向量减少$k⩾0$个分量后得到的向量,则由${\alpha }_i$线性相关可以推出${\delta }_i$线性相关$(i=1,2,\cdots ,s)$

被表出向量组的线性相关性

• 设两个向量组:$A:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$,$B:{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t$,分别构成矩阵
  • $\mathbf{A}=(A)=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)$,
  • $\mathbf{B}=(B)=({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t)$
• 若存在$\mathbf{K}$使得$B_{n\times t}=A_{n\times s}{K}_{s\times t}$,说明,$B$能够由$A$线性表示,且$R(B)⩽R(A)$
• 下面讨论:在$B$能够被$A$线性表示的前提下,被表出向量组$B$的线性相关性受表出系数矩阵$\mathbf{K}$的影响是如何的

用系数矩阵向量组的线性相关性讨论被表出向量组的相关性

• 建立齐次方程组$\mathbf{Kx}=0$ (1),其解向量是$t$维列向量

  • 若$R(K)<t$,$K$线性相关,则$B$线性相关
    • 证明:
      • 矩阵K规格为$s\times t$,
      • $R(K)<t$表明$(1)$存在非零解,将非零解记为$\xi$,则$K\xi =0$
      • 对表出方程$B=AK$两边同时右乘$\xi$,则$B\xi =AK\xi$,即$B\xi =A(K\xi )=A0=0$
      • 所以$B$线性相关.
  • 若$R(K)=t$,$K$线性无关且$A$线性无关,则$B$也线性无关
    • $B$线性相关取决于齐次线性方程组$By=0$是否由非零解
      • 如果只有零解($y=0$),说明$B$线性无关
    • 由$\mathbf{B}=\mathbf{AK}$,带入$\mathbf{By}=0$,得$\mathbf{AKy}=0$,(问题转换为讨论$AKy=0$)是否有非零解
    • 由于$A$线性无关,$Ax=0$只有当$x=0$时成立(唯一解)
      • 因此$Ky$作为$Ax=0$的解,也就只可能是零向量$0$(即$Ky=0$)
      • 又由$R(K)=t$,则齐次线性方程$Ky=0$只有零解(即$y=0$)
      • 所以原方程$By=0$只有零解,因此$B$线性无关

归纳:被表出向量组线性相关性判定定理

• 设$\mathbf{B}=\mathbf{AK}$,$B$和$K$有相同的线性相关性
  • 若$\mathbf{K}$线性相关,则$B$线性相关
  • 若$\mathbf{K}$线性无关,则$B$线性无关

被表示向量组和表出向量组有相同数量的向量时

• 即$s=t$时,$\mathbf{A},\mathbf{B}$是同型矩阵,且$\mathbf{K}$是方阵
  • 若$|\mathbf{K}|=0$,则$K$线性相关,所以$B$线性相关
  • 若$|\mathbf{K}|\ne 0$,则$K$线性无关,所以$B$线性无关,并且$A,B$等价
    • Note:$\mathbf{B}=\mathbf{AK}$表示$B$可以由$A$线性表示,表出系数矩阵为$\mathbf{K}$
    • 两边同乘以${\mathbf{K}}^{-1}$,的$\mathbf{A}=\mathbf{B}{\mathbf{K}}^{-1}$,可见$A$可以由$B$线性表示,表出系数矩阵为${\mathbf{K}}^{-1}$
    • 所以$A,B$可以相互表出,即$A,B$两个向量组等价

例

• 已知向量$A:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$,且$A$线性无关,$B$可以由$A$线性表示为

  • $B:{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$

    • ${\beta }_i={\alpha }_i+{\alpha }_{i+1},(i=1,2,\cdots ,s-1)$
    • ${\beta }_s={\alpha }_s+{\alpha }_1$

• 判断$B$的线性相关性

解:

• 根据${\beta }_i$用$A$的线性表示式,构造一个矩阵$\mathbf{K}$,使得${\mathbf{B}}_{1\times s}$=${\mathbf{A}}_{1\times s}{\mathbf{K}}_{s\times s}$

  • 即$({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s)$=$({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)(k_{ij}{)}_{s\times s}$

  • $$K={\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \cdots & 0& \boxed{1}\\ 1& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 1\end{array}\right)}_s$$

• 由于$|K|$各行都含有较多0,考虑用行列式行展开法(降阶)

  • $|K|=(-1{)}^{1+1}{a}_{11}{K}_{11}+(-1{)}^{1+s}{a}_{1s}{K}_{1s}$
    • $=1\times 1+(-1{)}^{s+1}1=1+(-1{)}^{s+1}$

• 分类讨论

  • 若$s$为奇数,$|K|=2\ne 0$,$B$线性无关

  • 若$s$为偶数,$|K|=0$,$B$线性相关

Note

• 线性相关（linearly dependent）

• 线性无关或线性独立（linearly independent）

• maximal linearly independent system极大线性无关组

• In the theory of vector spaces, a set of vectors is said to be linearly independent if there exists no nontrivial linear combination of the vectors that equals the zero vector. If such a linear combination exists, then the vectors are said to be linearly dependent. These concepts are central to the definition of dimension

• A vector space can be of finite dimension or infinite dimension depending on the maximum number of linearly independent vectors.

• The definition of linear dependence and the ability to determine whether a subset of vectors in a vector space is linearly dependent are central to determining the dimension of a vector space.