AA@线性空间@欧几里得空间@内积
文章目录
线性空间
- 线性空间是线性代数最基本的概念之一
- 线性空间是一个抽象的概念。
- 为了说明它的来源，在引人定义之前，先看儿个熟知的例子
几何空间
- 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。
- 向量的基本属性是可以按平行四边形法则作向量间的相加，也可以与实数作数量乘法。
- 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的
n n n维向量空间
- 为了解线性方程组,我们以 n n n元有序数组 ( a 1 , ⋯ , a n ) (a_1,\cdots,a_n) (a1,⋯,an)作为元素的 n n n维向量空间
- 对于
n
n
n维向量,同样有加法运算和数量乘法运算:
- ( a 1 , ⋯ , a n ) + ( b 1 , ⋯ , b n ) (a_1,\cdots,a_n)+(b_1,\cdots,b_n) (a1,⋯,an)+(b1,⋯,bn)= ( a 1 + b 1 , ⋯ , a n + b n ) (a_1+b_1,\cdots,a_n+b_n) (a1+b1,⋯,an+bn)
- k ( a 1 , ⋯ , a n ) k(a_1,\cdots,a_n) k(a1,⋯,an)= ( k a 1 , ⋯ , k a n ) (ka_1,\cdots,ka_n) (ka1,⋯,kan)
函数空间
- 对于函数也可以定义函数间加法和实数与函数的数量乘法
- 例如考虑全体定义再 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的连续函数 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) f_1(x),f_2(x) f1(x),f2(x),则 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) f_1(x)+f_2(x) f1(x)+f2(x)是连续的, k f 1 ( x ) kf_1(x) kf1(x)也是连续的
小结
- 从这些例子中我们看到,所考虑的对象虽然完全不同,但是它们有一个共同点,那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算.
- 当然,随着对象不同,这两种运算的定义也是不同的.
- 为了抓住它们的共同点,把它们统一起来加以研究,我们引入线性空间的概念.
- 在第一个例子中,我们用实数和向量相乘.
- 在第二个例子中用什么数和向量相乘,就要看具体情况.
- 例如,在有理数域中解线性方程组时,用有理数去作数量乘法就已经足够了,
- 而在复数域中解线性方程组时,就需要用复数去作运算.
- 可见,不同的对象与不同的数域相联系.
- 当我们引入抽象的线性空间的概念时,也必须选定一个确定的数域作为基础.
线性空间的定义
非空集合在数域上的加法和数乘运算
- 设 V V V是一个非空集合, P P P是一个数域.
- 在集合V的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法:
- 对于V中任意两个元素 a , b \bold{a,b} a,b,在V中都有唯一的一个元素 c \bold{c} c与 a , b \bold{a,b} a,b的加法结果对应,称 c \bold{c} c为 a , b \bold{a,b} a,b的和,记为 c = a + b \bold{c=a+b} c=a+b.
- 在数域Р与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;
- 对于数域 Р Р Р中任一数 k k k与 V V V中任一元素 a \bold{a} a ,在 V V V中都有唯一的元素 c \bold{c} c对应于 k , a k,\bold{a} k,a的数量乘结果,称为 c \bold{c} c为 k , a k,\bold{a} k,a 的数量乘积,记为 c = k a \bold{c}=k\bold{a} c=ka.
- Note:减法不是最基础的运算,在讨论线性空间性质的时候,可以由加法定义并导出减法运算
定义在非空集合与数域上的线性空间
- 若加法与数量乘法满足下述规则,那么 V V V称为数域 P P P上的线性空间.
- 下述规则中, k , l ∈ P k,l\in{P} k,l∈P, a , b , c ∈ V \bold{a,b,c}\in{V} a,b,c∈V
- 下述性质是最基础的性质,利用这些性质可以导出其他性质,乃至定义新运算
加法性质
- a + b = b + a \bold{a+b}=\bold{b+a} a+b=b+a
- ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (\bold{a+b})+\bold{c}=\bold{a}+(\bold{b+c}) (a+b)+c=a+(b+c)
- ∃ 0 \exist{\bold{0}} ∃0 s.t. ∀ a ∈ V \forall{\bold{a}}\in{V} ∀a∈V, 0 + a = a \bold{0+a=a} 0+a=a;(具有该性质的元素 0 \bold{0} 0称为 V V V的零元素)
- ∃ b \exist{\bold{b}} ∃b s.t. ∀ a ∈ V \forall{\bold{a}}\in{V} ∀a∈V, a + b = 0 \bold{a+b=0} a+b=0;(元素 b \bold{b} b称为 a \bold{a} a的负元素,可以记 b = − a \bold{b=-a} b=−a)
数乘性质
- 1 a = a 1\bold{a=a} 1a=a
- k ( l a ) = ( k l ) α k(l\bold{a})=(kl)\alpha k(la)=(kl)α
加法和数乘混合运算性质
- ( k + l ) a (k+l)\bold{a} (k+l)a= k a + l a k\bold{a}+l\bold{a} ka+la
- k ( a + b ) k(\bold{a+b}) k(a+b)= k a + k b k\bold{a}+k\bold{b} ka+kb
线性空间举例
以下几个线性空间都强调了数域:
- 由定义,几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间
- 分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间,这个线性空间我们用 P n P^{n} Pn来表示.
更具体例子
- 数域P上一元多项式环 P [ x ] P[x] P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘法,构成一个数域P上的线性空间.
- 如果只考虑其中次数小于
n
n
n的多项式,再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间,用
P
[
x
]
n
P[x]_{n}
P[x]n表示.
- 它的一个基可以取 1 , x 1 , x 2 , ⋯ , x n − 1 1,x^{1},x^{2},\cdots,x^{n-1} 1,x1,x2,⋯,xn−1
- 以实数域为例
- 因为 f ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 k i x i = 0 , ∀ x ∈ R f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}k_ix^{i}=0,\forall{x\in{R}} f(x)=∑i=0n−1kixi=0,∀x∈R只有当 k i = 0 , i = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 k_i=0,i=0,1,\cdots,n-1 ki=0,i=0,1,⋯,n−1恒成立
- 可以借助代数学基本定理来解释:设 k i , i = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 k_i,i=0,1,\cdots,n-1 ki,i=0,1,⋯,n−1中至少有一个非0元素,不妨设其中非零最高次系数为 k k k,则 f ( x ) f(x) f(x)是一个 k k k次多项式,则即使在复数域中, f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0最多只有 k k k个根,在 x x x取其它值时 f ( x ) ≠ 0 f(x)\neq{0} f(x)=0
- 所以只有当 k i = 0 , i = 0 , ⋯ , n − 1 k_i=0,i=0,\cdots,n-1 ki=0,i=0,⋯,n−1时,能保证 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0恒成立
- 因此 1 , x 1 , x 2 , ⋯ , x n − 1 1,x^{1},x^{2},\cdots,x^{n-1} 1,x1,x2,⋯,xn−1线性无关
- 元素属于数域P的 m × n m×n m×n矩阵,按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法,构成数域P上的一个线性空间,用 P m × n P^{m\times{n}} Pm×n表示.
- 全体实函数,按函数的加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上的线性空间.
- 数域Р按照本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间.
线性空间的元素:向量
- 线性空间的元素也称为向量.(广义向量),这里所谓向量比几何中所谓"向量"的含义要广泛得多.
- 线性空间有时也称为向量空间.
- 我们经常是用黑体(粗体)的小写希腊字母或英文(拉丁)字母 α , β , γ ⋯ ; a , b , c ⋯ \boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma\cdots;a,b,c\cdots} α,β,γ⋯;a,b,c⋯ 代表线性空间V中的元素,
- 用小写的拉丁字母 a , b , c , ⋯ a ,b ,c ,\cdots a,b,c,⋯代表数域P中的数.
线性空间的基础性质
-
零元素唯一
- 设 0 1 , 0 2 \bold{0}_1,\bold{0}_2 01,02都是零元素
- k \bold{k} k= 0 1 + 0 2 \bold{0}_1+\bold{0}_2 01+02
- 由零元素的性质: k = 0 1 + 0 2 = 0 2 k=\bold{0}_1+\bold{0}_2=\bold{0}_2 k=01+02=02;
- 由加法交换律: k = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 k=\bold{0}_1+\bold{0}_2=\bold{0}_2+\bold{0}_1 k=01+02=02+01= 0 1 \bold{0}_1 01
- 可见 0 1 = 0 2 = k \bold{0}_1=\bold{0}_2=k 01=02=k
- 所以零元素唯一
-
负元素唯一
- 设 b , c \bold{b,c} b,c都是 a \bold{a} a的负元素
- 则 a + b = 0 \bold{a+b=0} a+b=0, a + c = 0 \bold{a+c=0} a+c=0
- b = b + 0 = b + ( a + c ) = ( b + a ) + c = 0 + c = c \bold{b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c} b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c
- 可见,满足条件 a + b = 0 \bold{a+b=0} a+b=0的 b \bold{b} b唯一,即给定元素的负元素唯一
-
导出的数乘性质:
-
0 a = 0 0\bold{a=0} 0a=0;
- a = 1 a = ( 1 + 0 ) a = a + 0 a \bold{a}=1\bold{a}=(1+0)\bold{a}=\bold{a}+0\bold{a} a=1a=(1+0)a=a+0a
- 两边同时加上 − a -\bold{a} −a得: 0 = 0 a 0=0\bold{a} 0=0a
- 所以 0 a = 0 0\bold{a=0} 0a=0
- 特别的,当 a = 0 \bold{a=0} a=0,有 00 = 0 0\bold{0}=\bold{0} 00=0
-
k 0 = 0 k\bold{0=0} k0=0;
- k 0 = k ( 00 ) k\bold{0}=k(0\bold{0}) k0=k(00)= ( 0 k ) 0 (0k)\bold{0} (0k)0= 00 0\bold{0} 00= 0 \bold{0} 0
-
( − 1 ) a = − a (-1)\bold{a}=-\bold{a} (−1)a=−a
- a + ( − 1 ) a \bold{a}+(-1)\bold{a} a+(−1)a= 1 a + ( − 1 ) a 1\bold{a}+(-1)\bold{a} 1a+(−1)a= ( 1 − 1 ) a (1-1)\bold{a} (1−1)a= 0 a = 0 0\bold{a}=0 0a=0
- 两边同时加上 − a -\bold{a} −a,得 ( − 1 ) a = − a (-1)\bold{a}=-\bold{a} (−1)a=−a
-
若 k a = 0 k\bold{a=0} ka=0,则 k = 0 k=0 k=0或 a = 0 \bold{a=0} a=0
-
k = 0 k=0 k=0时显然满足 k a = 0 k\bold{a}=0 ka=0
-
k ≠ 0 k\neq{0} k=0时, k − 1 ( k a ) = k − 1 0 = 0 k^{-1}(k\bold{a})=k^{-1}\bold{0}=\bold{0} k−1(ka)=k−10=0; k − 1 ( k a ) = ( k − 1 k ) a = 1 a = a k^{-1}(k\bold{a})=(k^{-1}k)\bold{a}=1\bold{a}=\bold{a} k−1(ka)=(k−1k)a=1a=a
-
由此 a = 0 \bold{a=0} a=0
-
-
减法运算
- b \bold{b} b的负元素记为 − b -\bold{b} −b
- 利用负元素可以定义线性空间内的减法: a − b = a + ( − b ) \bold{a-b=a+(-b)} a−b=a+(−b)
欧几里得空间(欧氏空间)
内积
- 设
V
V
V是实数域
R
\mathbb{R}
R上的一个线性空间,可在
V
V
V上定义了一个二元函数,称为内积,记为
(
a
,
b
)
(\bold{a,b})
(a,b)
- 线性空间可以是:向量空间,函数空间
- 内积具有以下性质(要求):
- ( a , b ) = ( b , a ) \bold{(a,b)=(b,a)} (a,b)=(b,a)
- ( k a , b ) = k ( a , b ) (k\bold{a},b)=k(\bold{a,b}) (ka,b)=k(a,b)
- ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c ) (\bold{a+b,c})=\bold{(a,c)+(b,c)} (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
- ( a , a ) ⩾ 0 (\bold{a,a})\geqslant{0} (a,a)⩾0,当且仅当 a = 0 \bold{a=0} a=0时取等号
- 其中 a , b , c ∈ V \bold{a,b,c}\in{V} a,b,c∈V, k ∈ R k\in{\mathbb{R}} k∈R
欧几里得空间
- 可以定义内积的线性空间称为欧几里得空间
几何空间中的向量全体构成欧几里得空间
- 几何空间中向量的内积显然满足欧式空间定义中的条件,所以,几何空间中向量全体构成一个欧几里得空间
- 几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型
- 在解析几何中,向量的长度和夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示;向量内积有明显的代数性质,所以在抽象的讨论中,我们取内积作为基本概念
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