EM@根式@分数指数幂

文章目录

• • abstract
  • 方根和分数指数幂👺
  • • 简单低次方根
    • $n$次方根
    • • 开方运算
      • 根号
      • 偶次方根和奇次方根
      • n次方根的表示
      • 根式@根指数
      • 算术根
      • 方根的几个"总是"
    • 根式性质👺
  • 分数指数幂(有理指数幂)
  • • • 既约分数
      • 正分数指数幂
      • 负分数指数幂
      • 判定一个分数指数幂是否有意义👺
      • 有理数幂的运算法则
      • 法则说明
      • 法则推广
      • 幂的底数的讨论范围
    • 根式的幂式表示

abstract

• 从$n$次方根引入分数指数幂(有理指数幂)
• 根式的幂式表示

方根和分数指数幂👺

• 下面讨论实数范围内的方根概念
• 和根的个数相关的结论都限定在实数范围内
• 复数范围内在此不讨论

简单低次方根

• $x^2=a$,则$x$称为$a$的平方根或二次方根
  • 实数范围i内的平方根情况分析:
    • 若$a>0$,则$x=\pm \sqrt{a}$,共2个平方根
    • 若$a=0$,则$x=0$,仅一个平方根
    • 若$a<0$,则实数范围内没有平方根
• $x^3=a$,则$x$称为$a$的立方根或三次方根
  • 实数范围内,$x^3=a$有且仅有1个根$\sqrt[3]{a}$
  • Note:根据代数学基本定理,复数范围内有3个立方根(包含重根)

$n$次方根

• 若$\exists x$ s.t. $x^n=a$,$(a\in \mathbb{R},n>1,n\in {\mathbb{N}}_{+})$,则$x$是实数**$a$的$n$次方根**
• Note:$n$次方根是$n$为正整数的范围内讨论的

开方运算

• 求$a$的$n$次方根,称为"把$a$开$n$次方",称为开方运算

根号

• 为了把$a$的$n$次方根$x$表示为形如$x=f(a)$的形式,引入记号$\sqrt[n]{a}$
• 令$b=\sqrt[n]{a}$表示$b^n=a$,若$b^n=a$不可能成立,则称$\sqrt[n]{a}$无意义,比如$n$为偶数,$a<0$,
• "把$a$开$n$次方"不同于$\sqrt[n]{a}$,后者是前者运算的一个结果(的一种表示)

偶次方根和奇次方根

• 当$a>0$且$n$为偶数时,$\sqrt[n]{a}$表示的是$a$的两个$n$次方根中的正根

  • 正数的偶次方根(共2个)使用该符号的算式表示为$\sqrt[n]{a}$,$-\sqrt[n]{a}$
  • 负数偶次方根没有意义(指实数范围内,$a<0$,$n$为偶数时,$x^n=a$无实数根,不存在$\sqrt[n]{a}$)

• 当$a<0$时,其只有奇次方根,表示为$\sqrt[n]{a}$

• $n$为奇数时,$a$的$n$次方根只有一个,也记为$\sqrt[n]{a}$

• 总之$\sqrt[n]{a}$表示的是$a$的唯一奇数次方根或者两个互为相反数的偶次方根中的正根(非负根),具体要视$a,n$的取值而定

  • 例如$\sqrt[n]{a^n}$,若$n$是偶数,则$a^n⩾0$,$b=\sqrt[n]{a^n}$是$a^n$的$n$次方根中的非负根
    • $b^n=a^n$,任意$|b|=|a|$都满足该等式
    • 因为$b⩾0$,所以$b=|a|$,即$\sqrt[n]{a^n}=|a|$($n$为偶数)
    • 例如:$\sqrt[2]{(-3{)}^2}=|-3|=3$
  • 同样是$b=\sqrt[n]{a^n}$,若$n$为奇数,$a,a^n,b$同号,由$n$次方根的定义,仍有$b^n=a^n$,从而$b=a$($n$为奇数)

n次方根的表示

任意数可以开奇次方,但不是任意数都可以开偶次方

1. 偶次方根:正数可以开偶次方根
   • 正数$a$的偶次方根有2个互为相反数的根,它们分别表示为$\sqrt[n]{a}$,$-\sqrt[n]{a}$,($a$为偶数)
   • 负数$a$的偶次方根没有意义(没有实根,但是在复数范围内有意义)
2. 奇次方根:任何实数可以开奇次方根
   • $\forall a\in \mathbb{R}$与其唯一的奇次方根$\sqrt[n]{a}$同号,即$a\sqrt[n]{a}⩾0$,($n$为奇数)

根式@根指数

• 当$\sqrt[n]{a}$有意义时,$\sqrt[n]{a}$j叫做根式,其中$n$为根式的指数,称为根指数
• 例如,$\sqrt{2}$,$\sqrt[3]{5}$,$\sqrt[3]{-2}$,它们都有意义,都是根式

算术根

• 正数$a$的正$n$次方根(大于0的那个$n$次方根)叫做**$a$的$n$次算术根**
• 任意正数的奇次方根都是正数和偶次方根也恰好有一个正数,所以任意正数$a$总是存在任意次算术根
• 任意负数的奇次方根是负数,偶次方根无意义,所以负数不存在任意次算术根
• 例如$a=5$的$2$次算术根为$\sqrt{5}$,而平方根有$-\sqrt{5},\sqrt{5}$两个,$a=5$的$3$次算术根为$\sqrt[3]{5}$,立方根也是仅有$\sqrt[3]{5}$
  • $a=0,a=-2$是都不是正数,因此它们不存在任何次算术平方根

方根的几个"总是"

• 任意数的奇次方根总是存在的
• 正数的任意次方根总是存在(偶次方根和奇次方根都存在)

根式性质👺

• 根据$n$次方根的定义,有
  • $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$,$(n>1,n\in {\mathbb{N}}_{+})$
  • $\sqrt[n]{a^n}$=$\{\begin{array}{ll}a& n为奇数\\ |a|& n为偶数\end{array}$
    • 虽然$\sqrt[n]{a^n}$不一定是$a$,但如果限定$a>0$,则$\sqrt[n]{a^n}=|a|=a$
    • 另一方面,若限定$a<0$,则$\sqrt[n]{a^n}=|a|=-a$

分数指数幂(有理指数幂)

既约分数

• 本节讨论的分数是既约分数,即最简分数,
• 例如$\frac{4}{3}$是既约分数,而$\frac{8}{6}$不是既约的

正分数指数幂

• 我们借助$n$次方根来规定和定义正分数指数幂

• 若约定$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$,$(a>0,n\in {\mathbb{N}}_{+})$

  • $a^{\frac{m}{n}}$=$(\sqrt[n]{a}{)}^m$=$\sqrt[n]{a^m}$,$(a>0,n,m\in {\mathbb{N}}_{+},\frac{m}{n}是既约分数)$

• 设$a=b$,则$a^{\frac{1}{n}}$=$b^{\frac{1}{n}}$,但$y_1={(a^n)}^{\frac{1}{n}}$=$\sqrt[n]{a^n}$,当$n$为偶数时,$y_1=|a|$,当$n$为奇数时,$y_1=a$

• 因此${(a^n)}^{\frac{1}{n}}=a$的成立时有条件的($a>0$或$n$为奇数),否则命题不成立

负分数指数幂

• 和负整数指数幂的意义相同,同样可以规定
  • $a^{-\frac{m}{n}}$=$\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$,$(a>0,m,n\in {\mathbb{N}}_{+})$,$\frac{m}{n}是既约分数$

判定一个分数指数幂是否有意义👺

• $a=(-2{)}^{\frac{4}{3}}$=$\sqrt[3]{(-2{)}^4}$,而$b=(-2{)}^{\frac{8}{6}}$=$\sqrt[6]{(-2{)}^8}$,显然$a=b$
• 第一个式子$a$我们只需要看到分数指数$\frac{4}{3}$中分母为奇数$3$,就可以断言$a$一定有意义
• 第二个式子$b$,其分数指数$\frac{8}{6}$的分子式偶数,那么也可以确定$b$必定有意义
• 总之,$a<0$;分子$m$,为奇数,分母$n$为偶数,则$a^{\frac{m}{n}}$无意义
  • 其中分母$n$和偶次方根挂钩,负数的偶次方根无意义
  • 分子$m$若为偶数,那么$a^n$非负,其任意次方根均有意义
  • $a$本身若非负,那么$a^n$非负,则$a^{\frac{m}{n}}$相当于非负数的方根,其任意次方根均有意义

有理数幂的运算法则

• 上述讨论中,我们从正整数指数幂一路推广到分数指数幂(有理指数幂)

• 设$a,b>0$,$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{Q}$,有理数指数幂有运算法则:

  1. $a^{\alpha }{\alpha }^{\beta }$=$a^{\alpha +\beta }$
  2. $(a^{\alpha }{)}^{\beta }$=$a^{\alpha \beta }$
  3. $(ab{)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha }$

• 特别的,$a^{\alpha }{a}^{-\alpha }=a^0$;$a{a}^{-1}=\frac{a}{a}=a^0=1$

法则说明

• 上述法则都限定在底数为正数的情况,其他情况需要额外讨论

• 例如,当$a<0$时,法则2:

  • $a>0$时,$(a^n{)}^{\frac{1}{n}}$=$a$成立

  • $a<0$时,$(a^n{)}^{\frac{1}{n}}$虽然有意义,但是不一定等于$a$

    • 若$n$是偶数,则$(a^n{)}^{\frac{1}{n}}$=$|a|$
    • 若$n$是奇数时,$(a^n{)}^{\frac{1}{n}}=a$

  • 因此,如果不限定范围,命题$a^n=b^m$ $\Rightarrow$ $(a^n{)}^{\frac{1}{m}}=(b^m{)}^{\frac{1}{m}}$,即$a^{\frac{n}{m}}=b$不一定成立

    • 但若$a>0$(或$b>0$),命题成立

• 其中性质2是幂的幂的性质,性质3体现了指数运算对乘运算的分配律

• Note:

  • $a^{{\alpha }^{\beta }}$是以幂${\alpha }^{\beta }$为指数的幂,即幂指幂和复合幂(幂的幂)$(a^{\alpha }{)}^{\beta }$=$a^{\alpha \beta }$是两个完全不同的式子
  • 例如$y_1=x^{\alpha }$,$y_2=x^{{\alpha }^{-1}}$,这两个函数互为反函数
    • 设$P(a,a^{\alpha })$是函数$y_1$上的任意点,$(a^{\alpha }{)}^{{\alpha }^{-1}}$=$a^{{\alpha }^0}$=$a^1=a$则$Q(a^{\alpha },a)$在$y_2$上,反之亦然,所以$y_1,y_2$互为反函数

法则推广

• $a^{r_1}{a}^{r_2}\cdots a^{r_n}$=$a^{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}$
• $(((a^{r_1}{)}^{r_2}{)}^{\cdots }{)}^{r_n}$=$a^{{\prod }_{i=1}^n{r}_i}$
• $(a_1{a}_2\cdots a_n{)}^r={\prod }_{i=1}^n{a}_i^r$

幂的底数的讨论范围

• 通常我们不需要讨论任意底数的任意指数幂
• 底数为负数的幂是否有意义依赖于指数,中学阶段和非数学专业一般就研究正底数幂
• 0的幂也是比较特殊,在指数$\alpha$为正数的情况下,$0^{\alpha }=0(\alpha >0)$;而0的非正数幂没有定义

根式的幂式表示

• 若$\sqrt[n]{a}$(1)有意义,则可以表示为$a^{n^{-1}}$(2)或$a^{\frac{1}{n}}$(3)

• 上述3个式子等价,它们是$x^n=a$(1)的根(主根),(1)不一定只有一个根

• 总之(1,2,3)要么无意义,要么取值唯一