AM@函数的基本概念

文章目录

• abstract
• 函数相关概念的直接定义
• • 函数的定义
  • 反函数定义
  • 复合函数定义
• 基于映射的函数相关定义
• • 函数
  • • 函数的记法及其含义
    • • 函数值$f(x)$
      • 函数关系
    • 定义域和值域
  • 记号
  • • $f,f(x)$的比较👺
    • 函数记号选取和函数简写👺
    • • 映射规则的记号
      • 因变量记号
    • 函数定义域种类
    • 函数相同
    • 函数中的字母说明
  • 函数的表示方法
  • • 函数图形
    • 分段函数
  • 函数的特性👺
  • 复合函数和反函数

abstract

• 函数

  • 函数相关概念的直接定义

  • 基于映射的函数相关定义

函数相关概念的直接定义

函数的定义

• 设两个变量$x,y$,$X$是一个非空的实数集
• 若存在一个对应规则$f$,使得对于每个$x\in X$,按照这个规则,有唯一确定的实数值$y$与之对应,则称$f$是定义在$X$上的一个函数
• $x$称为自变量,$X$称为函数$f$的定义域,
• $y$称为因变量,函数$f$在$X$对应的$y=f(x),x\in X$的函数值全体构成的集合常记为$Y$,$Y=\{y\mid y=f(x),x\in X\}$,称为函数$y=f(x),x\in X$的值域

反函数定义

• 设$y=f(x)$的定义域是$X$,值域为$Y$

• 函数$y=f(x)$的反函数定义为:若对于任意$y\in Y$,由$y=f(x)$可以确定唯一的$x\in X$,记为$x=f^{-1}(y)$或$x=\varphi (y)$

• 我们还可以借助逆映射的概念定义反函数,另见相关章节

复合函数定义

• 设函数$y=f(u),u\in D_f$,$u=g(x),x\in D_g$,$R_g=\{g(x)\mid x\in D_g\}$
• 若$R_g\cap D_f=D\ne \varnothing$,则称函数$y=f(g(x))$为复合函数,它的定义域为$D$,其中$u$称为中间变量,$x$称为自变量

基于映射的函数相关定义

函数

• 设数集$D\subset \mathbb{R}$,则映射$f:D\to \mathbb{R}$为定义在$D$上的函数,通常记为$y=f(x),x\in D$
• 其中$x$为自变量,$y$为因变量,$D$为定义域,记为$D_f$,即$D_f=D$

函数的记法及其含义

函数值$f(x)$

• 函数的定义中,$\forall x\in D$,按对应法则$f$,总有唯一确定的值$y$与之对应,这个值称为函数$f$在$x$处的函数值,记为$f(x)$,即$y=f(x)$

函数关系

• 因变量$y$和自变量$x$之间的依赖关系,通常称为函数关系

定义域和值域

• 函数$f$的自变量$x$的所有取值集合$D_f$称为定义域
• 函数值$f(x)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域,记为$R_f$或$f(D)$,即$R_f=f(D)=\{y\mid y=f(x),x\in D\}$

记号

$f,f(x)$的比较👺

• 需要指出,按照上述定义,记号$f$和$f(x)$的含义是有区别的:
  • $f$表示自变量$x$和因变量$y$之间的对应法则
  • $f(x)$表示与自变量$x$对应的函数值
• 但是为了方便讨论,习惯上常用记号$f(x),x\in D$或$y=f(x),x\in D$来表示定义在$D$上的函数

函数记号选取和函数简写👺

• 函数的记号可以是任意选取的
• 在同一个问题中,讨论几个不同函数时,需要用不同的记号来表示和相互区别它们,
• 如果函数较多,则以同一个字母搭配数字脚标以示区分,例如$f_1,f_2,\cdots$
• 不妨以满足函数定义的映射$f:x\to y,x\in D_f,y\in R_f$为例,函数式写法可以作$y=f(x),x\in D_f$
  • 其中$y=f(x)$包含3部分:自变量$x$,因变量$y$,映射规则$f$
  • 定义域的记号通常是以映射规则$D$的下标,例如$D_f$
• 若不强调定义域,则定义域可以不写(默认取函数自然定义域),例如$y=f(x)$,$u=g(x)$,$y=f(u)$
• 若不强调因变量,则因变量可以不写,例如$y=f(x),x\in D_f$可以简写为$f(x),x\in D_f$,也可以进一步简写为$f(x)$
• 上述简写是常用的方式,但通常$y=f(x),x\in D_f$不宜简写为因变量$y$,如果出现"函数$y$"可以解释为$y=f(x)$

映射规则的记号

• 除了常用的$f$外,还可以用其他英文或希腊字母表示,例如$g,F,\varphi$,$\mathcal{F}$,$\mathfrak{F}$,$\mathcal{F}$,$\cdots$

因变量记号

• 因变量记号也是可任意选取的,最常用的是$y$,也可能是其他的字母,比如$u,v,p,q$

• 相应地,函数可以记作$y=g(x),y=F(x),y=\varphi (x)$

• 有时还直接用因变量的记号来表示函数,比如把函数记为$y=y(x)$

函数定义域种类

• 函数时从实数集到实数集的映射,其值域总是在$R$内
• 构成函数的要素有两个:定义域$D_f$,对应法则$f$
• 函数的定义域由两种情形确定:
  • 对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定
    • 例如,在自由落体运动中,设物体下落的时间为$t$,下落的距离为$s$,开始下落的时刻$t=0$,落地的时刻$t=T$,则$s,t$之间的函数关系为$s=\frac{1}{2}g{t}^2$,$t\in [0,T]$
  • 对于抽象地用算式表达的函数,通常约定这种函数的定义域时使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域
    • 一般的,用算式表达的函数可以用"$y=f(x)$"的形式表示,而不需要表出$D_f$
    • 例如,$y=\sqrt{1-x^2}$的定义域式闭区间$[-1,1]$

函数相同

• 如果两个函数的定义域和对应法则都相同,那么着两个函数相同

函数中的字母说明

• 函数的自变量和因变量以及对应法则使用什么样的字母不影响函数本身

• 例如,若$f,g$两个对应法则是相同的,那么

  • $y=f(x),x\in D$和$x=g(y),y\in D$是相同的函数

  • 这是一因为两个函数的对应规则和定义域都一样,所以表示的函数也相同

  • 显然,$x=f(y),y\in D$和上述2个函数也是相同的

• 总之,自变量不一定要用字母$x$,反之,字母$x$也未必总是表示自变量;类似的,字母$y$和因变量有相仿的说法

• 但是习惯上,我们还是习惯在不引起歧义和混淆的情况下,将一个函数中的自变量用字母$x$表示,而因变量用字母$y$表示

• 在反函数的章节中,会体现这一点

函数的表示方法

• 函数的表示方法主要有3种:
  • 表格法
  • 图形法
  • 解析法(公式法)

函数图形

• 基于函数图形的概念,用坐标平面上的点集$\{P(x,y)\mid y=f(x),x\in D\}$;该点集称为函数$y=f(x),x\in D$的图形

分段函数

• 在自变量的不同变化范围种,对应法则用不同式子来表示的函数,通常称为分段函数

函数的特性👺

分析一个函数的特性,可以从以下4个方面分析

1. 有界性
2. 单调性
3. 奇偶性
4. 周期性

此处不展开

复合函数和反函数

• 另见:EM@反函数和复合函数