AM@函数极限的性质 - 函数极限唯一性@局部有界性@局部保号性

文章目录

• • abstract
  • 符号说明
  • 函数极限的性质
  • • 函数极限的唯一性
    • 函数极限的局部有界性
    • 函数极限的局部保号性
    • • 更强的结论
      • 推论
  • 函数极限和数列极限的关系
  • • 证明

abstract

• 收敛数列的性质推广和迁移到函数极限的性质
• 函数极限唯一性@局部有界性@局部保号性
• 函数极限和数列极限的关系

符号说明

• lim下面没有标明自变量的变化过程的命题(结论),对于$x\to x_0$和$x\to \infty$都是成立的
• 以下出现的证明仅以$x\to x_0$情形为例,$x\to \infty$类似

函数极限的性质

• 与收敛数列的性质类似,函数极限有一些相应的性质;这些性质可以通过函数极限的定义进行证明

函数极限的唯一性

• 若$\lim f(x)=A$存在,则极限$A$唯一

函数极限的局部有界性

• 若$\lim f(x)=A$,则$\exists M>0,\delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,有$|f(x)|⩽M$
• 证明:
  • 因为$\lim f(x)=A$,不妨取$ϵ=1$,则$\exists \delta >0$,当$x\in \mathring{U(x_0,\delta )}$,有$|f(x)-A|<1$(1)
  • $|f(x)|=|f(x)-A+A|⩽|f(x)-A|+|A|$,代入(1),得$|f(x)|<1+|A|$
    • Note:更直观的推理如下:
      • 由绝对值不等式:$|f(x)-A|+|A|⩾|f(x)-A+A|=|f(x)|$
      • 而$|f(x)-A|+|A|<1+|A|$,从而$|f(x)|<1+|A|$
  • 取$M=1+|A|$,则$x\in \mathring{U(x_0,\delta )}$内$|f(x)|<M$,即$f(x)$有界成立

函数极限的局部保号性

• 若$\lim f(x)=A$,且$A>0$(或$A<0$),则$\exists \delta >0$,使得$0<|x-x_0|<\delta$时,有$f(x)>0$(或$f(x)<0$)

  • 证明:

    • 就$A>0$的情形证明

      • 因为$A>0$,不妨取$ϵ=\frac{A}{2}>0$,则$\exists \delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)-A|<ϵ=\frac{A}{2}$,从而$f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}>0$

    • 类似地可证明$A<0$的情形

      • 因为$A>0$,不妨取$ϵ=-\frac{A}{2}>0$,则$\exists \delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)-A|<ϵ=\frac{A}{2}$,从而$f(x)<A+(-\frac{A}{2})=\frac{A}{2}<0$

更强的结论

• 若$\lim f(x)=A\ne 0$,则$\exists \mathring{U}(x_0)$,当$x\in \mathring{U}(x_0)$时,$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$
  • 从上面定理的证明过程中可知本结论也成立
    • $f(x)>\frac{A}{2}>0$(1),有$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$
    • $f(x)<\frac{A}{2}<0$(2),即$-f(x)>-\frac{A}{2}>0$,因此$-f(x)=|f(x)|,-\frac{A}{2}=\frac{|A|}{2}$,有$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$
    • (1),(2)合并起来写就是$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$
  • 更一般的,$ϵ\in (0,|A|)$,$|f(x)|>ϵ$

推论

• 若:$x_0$的某去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内$f(x)⩾0$(或$f(x)⩽0$),且$\lim f(x)=A$,则:$A⩾0$(或$A⩽0$)

函数极限和数列极限的关系

• 若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在且等于$A$,设$\{x_n\}$为函数$f(x)$的定义域$D_f$内任意一个收敛于$x_0$的数列,且满足$x_n\ne x_0(n\in {\mathbb{N}}_{+})$,则相应的函数值数列$\{f(x_n)\}$必收敛于$A$,即$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)$=$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$
• Note:对于数列$\{x_n\}$,注意
  • $x_n\in D_f$,否则$f(x_n)$就可能无意义
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$
  • 不是常数列

证明

• 设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$,则$\forall ϵ>0$,$\exists \delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$(1)时,$|f(x)-A|<ϵ$(2)
  • 又因为$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$,则$\exists N\in {\mathbb{N}}_{+}$,当$n>N$时有$|x_n-x_0|<\delta$
  • 又由假设条件:$x_n\ne x_0(n\in {\mathbb{N}}_{+})$所以$n>N$时,$0<|x_n-x_0|<\delta$,即$x_n$满足(1)($x_n\in \mathring{U}(x_0,\delta )$内)
  • 所以$x_n$满足(2),即$|f(x_n)-A|<ϵ$,即$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$