EM@指数函数和幂函数

文章目录

• • abstract
  • 指数函数
  • • 基本性质
  • 幂函数
  • • 性质
    • 互为反函数的幂函数
  • refs

abstract

• 指数函数和幂函数定义和性质

指数函数

• 一般地,函数$y=a^x$,$a>0,a\ne 1,x\in \mathbb{R}$
• 解析式中$a$是非1的正数,不讨论负数
• 幂$a^x$的底数为负数时,自变量$x$的定义域将不连续

基本性质

• 定义域$D_f$=$\mathbb{R}$,且$\forall x\in \mathbb{R},y>0$,值域是$(0,+\infty )$
• 函数图象在$x$轴上且总是过$(0,1)$,因为$a^0=1$
• 当$a>1$这个函数是增函数,当$0<a<1$时,函数是减函数

幂函数

• 一般地,形如$y=x^{\alpha }$,$\alpha \in \mathbb{R}$的函数称为幂函数
• $x^{\alpha }$的底数为自变量,而幂指数$\alpha$为一个实常数

性质

• 所有幂函数在$(0,+\infty )$上都有定义,且图象都通过$(1,1)$,因为$1=1^{\alpha }$

• 若$\alpha >0$,则

  • 幂函数的图形通过原点$(0,0)$,因为$0=0^{\alpha }$(0的正数次幂都为0)
  • 在区间$[0,+\infty )$上是增函数

• 若$\alpha <0$,则幂函数在区间$(0,+\infty )$上是减函数

  • 渐近线:在第一象限内,当$x$从右边($+\infty$)趋向于原点时,图象在$y$轴右方无限地逼近$y$轴;当$x$趋于$+\infty$时,图象在$x$轴上方无限地逼近$x$轴

互为反函数的幂函数

• $y_1=x^{\alpha }$,$y_2=x^{{\alpha }^{-1}}$,这两个函数互为反函数
  • 设$P(a,a^{\alpha })$是函数$y_1$上的点,$(a^{\alpha }{)}^{{\alpha }^{-1}}$=$a$则$Q(a^{\alpha },a)$在$y_2$上,反之亦然,所以$y_1,y_2$互为反函数
• 例如$x^2,x^{2^{-1}}=\sqrt{x}$

refs

• EM@从整数指数幂到实指数幂