AM@映射@逆映射@复合映射

文章目录

• abstract
• 映射
• • 映射的定义
  • • 像@原像
    • 定义域@值域
  • 小结
  • • 例
  • 特殊映射
  • • 满射
    • 单射👺
    • 双射
  • 映射的其他称呼
  • 逆映射👺
  • 复合映射👺
  • • 复合记号
    • 复合映射中的先后映射
    • 映射间可复合条件@复合顺序
  • 从映射到函数

abstract

• 映射的概念
  • 逆映射
  • 复合映射
• 相关的符号表示含义解释

映射

• 基于映射的概念,可以更加简洁地定义函数等相关概念
• 映射是一种比函数更加基础和抽象的概念,函数是映射中的一种实现

映射的定义

• 设$X,Y$是两个非空集合,如果存在一个对应法则(简称法则)$f$,使得对$X$中每个元素$x$,按照法则$f$,在$Y$中有唯一确定的元素$y$与之对应,那么$f$是从$X到Y$的映射,记为$f:X\to Y$
  • $f$是法则的记号
  • $X,Y$分别是被映射非空集合与映射结果非空集合

像@原像

• 在映射的定义中,$y$称为元素$x$(在映射$f$下)的像,记为$f(x)$,即$y=f(x)$
• 而元素$x$称为$y$(在映射$f$下)的一个原像

定义域@值域

• 集合$X$称为映射$f$的定义域,记为$D_f$,即$D_f=X$
• $X$中所有元素的像组成的集合称为映射$f$的值域,记为$R_f$或$f(X)$,即$R_f=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$

小结

• 一个映射需要具备3个要素:
  • 集合$X$(定义域$D_f=X$)
  • 集合$Y$(值域范围,$R_f\subset Y$)
  • 对应法则$f$,使每个$x\in X$,有唯一确定的$y=f(x)$与之对应
• 每个$x\in X$的像$y$是唯一的
• 每个$x\in R_f$的原像不一定是唯一的
• 映射$f$的值域$R_f$是$Y$的一个子集$(R_f\subset Y)$,而不一定有$R_f=Y$

例

• 设$f:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ $\to$ $[-1,1]$,对于每个$x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$,对应法则:$f(x)=\sin x$,$f$是一个映射,其定义域$D_f=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$,值域$R_f=[-1,1]$

特殊映射

满射

• 设$f$是从集合$X\to Y$的映射,若$R_f=Y$,即$Y$中任一元素$y$都是$X$中某元素的像,则$f$为$X\to Y$的满射
• 满射是特殊的映射,意味着$Y$中没有多余的元素,$R_f=Y$

单射👺

• 若对$X$中任意两个不同元素$x_1\ne x_2$,它们的像$f(x_1)\ne f(x_2)$,则称$f$为$X\to Y$的单射
• 单设也是一种特殊的映射
• Note:
  • 单调函数一定是单射,但是单射函数不一定是单调函数,可能是离散的非单调函数或者某些不连续的分段函数
  • 对于单调不减函数,$x_1<x_2$,$f(x_1)⩽f(x_2)$不一定满足单射,单不增类似
  • 对于存在$x_1\ne x_2$,$f(x_1)=f(x_1)$的非严格单调函数不是单射
  • 单调函数中要求是严格单调函数才是且一定是单射

双射

• 若$f$既是单设也是满射,则称$f$为双射(一 一映射)
• 例:$f:x\to \sin x$,$f(x)=\sin x,x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$是双射

映射的其他称呼

• 映射又称为算子
• 根据集合$X,Y$的不同情形,不同的数学分支中,映射有不同的管用名称
  • 从非空集合$X$到数集$Y$的映射又称为$X$上的泛函
  • 从非空集$X$到它自身的映射又称为$X$的变换
  • 从实数集合(或其子集)$X$到实数集$Y$的映射通常称为定义在$X$上的函数

逆映射👺

• 设$f$是$X\to Y$的单射,则对每个$y\in R_f$,有唯一的$x\in X$,满足$f(x)=y$
• 我们可以定义一个从$R_f$到$X$的新映射$g$,即$g:R_f\to X$;对每个$y\in R_f$,规定$g(y)=x$,且$x$满足$f(x)=y$
• 那么这个新映射$g$称为$f$的逆映射,记为$f^{-1}$,其定义域为$D_{f^{-1}}=R_j$,值域为$R_{j^{-1}}=X$
• 显然
  • $f,g$的定义域和值域是相对调关系
  • 按定义,只有单射才存在逆映射
• 例如$f(x)=\sin x,x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$是单射,且$f$的逆映射$f^{-1}$是反正弦函数$f^{-1}(x)=\arcsin x,x\in [-1,1]$
  • 其定义域$D_{f^{-1}}=[-1,1]$;值域$R_{f^{-1}}=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

复合映射👺

• 设有2个映射$g:X\to Y_1$,$f:Y_2\to Z$;其中$Y_1\subset Y_2$,则有$g,f$可以定处一个从$X\to Z$的对应法则$h$,即,它将$x\in X$映射成$h(x)=f[g(x)]\in Z$

复合记号

• 上述映射$h$称为$f,g$的复合映射,记为$f\circ g$,即$f\circ g:X\to Z$,$(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X$
• $(f\circ g)(x)$中,$(f\circ g)$是一个函数符号整体,相当于$h$,不引起歧义时不加括号:$f\circ g$

复合映射中的先后映射

• 对于两个$(n=2)$映射的复合:$f\circ g$表示$f$是后序映射,$g$是先序映射
• 如果时多个$(n>2)$函数$(f_1,\cdots ,f_n)$复合:$f_1\circ f_2\circ \cdots \circ f_n$中,$f_k$是第$n-k$序映射,即$f_n$是最先映射,$f_1$是最后映射
  • $f_{k+1}$相对于$f_k$是相对先映射(序号越大,映射次序越靠前)

映射间可复合条件@复合顺序

• 映射$g,f$构成复合映射$f\circ g$的条件是:$R_g\subset D_f$,否则复合无意义(不可符合)
• 因此,映射$g,f$有复合顺序,$f\circ g$有意义,也不表示$g\circ f$有意义;即使$g\circ f,f\circ g$都有意义,两者也未必相同
• 例如:$g(x)=\sin x$,$f(x)=x^2$,$x\in R$;
  • $(f\circ g)(x)=f(g(x))=g^2(x)$;$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sin x^2$,$x\in R$
• 例如:
  • 映射$g:R\to [-1,1]$,对于每个$x\in R$,$g(x)=\sin x$;
  • 映射$f:[-1,1]\to [0,1]$对每个$u\in [-1,1],f(u)=\sqrt{1-u^2}$,
  • 则映射$g$和$f$构成复合映射$f\circ g:R\to [0,1]$,对于每个$x\in R$,$(f\circ g)(x)=f(g(x))$=$\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$=$|\cos x|$

从映射到函数

• 另见:从映射到函数