EM@函数奇偶性性质@函数四则运算和复合运算后的奇偶性判断
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abstract
- 函数奇偶性性质:函数四则运算和复合运算后的奇偶性判断
奇函数和偶函数
- 若
f
(
x
)
f(x)
f(x)的定义域关于原点对称,则当
- f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(−x)=f(x),称 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数
- f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x),称 f ( x ) f(x) f(x)为奇函数
函数奇偶性性质
函数记号声明
- o ( x ) , o i ( x ) o(x),o_{i}(x) o(x),oi(x)均表示奇函数
- e ( x ) , e i ( x ) e(x),e_i(x) e(x),ei(x)均表示偶函数
四则运算性质
和差
-
偶(奇)函数相加得到的新函数仍为偶(奇)函数
-
奇函数相加减,得到的新函数还是奇函数
-
h
1
(
x
)
=
o
1
(
x
)
+
o
2
(
x
)
h_1(x)=o_1(x)+o_2(x)
h1(x)=o1(x)+o2(x)
- h 1 ( − x ) = o 1 ( − x ) + o 2 ( − x ) = − o 1 ( x ) − o 2 ( x ) = − ( o 1 ( x ) + o 2 ( x ) ) = − h 1 ( x ) h_1(-x)=o_1(-x)+o_2(-x)=-o_1(x)-o_2(x)=-(o_1(x)+o_2(x))=-h_1(x) h1(−x)=o1(−x)+o2(−x)=−o1(x)−o2(x)=−(o1(x)+o2(x))=−h1(x)
-
h
1
(
x
)
=
o
1
(
x
)
−
o
2
(
x
)
h_1(x)=o_1(x)-o_2(x)
h1(x)=o1(x)−o2(x)
- h 1 ( − x ) = o 1 ( − x ) − o 2 ( − x ) = − o 1 ( x ) + o 2 ( x ) = − h 1 ( x ) h_1(-x)=o_1(-x)-o_2(-x)=-o_1(x)+o_2(x)=-h_1(x) h1(−x)=o1(−x)−o2(−x)=−o1(x)+o2(x)=−h1(x)
- 合起来写:
h
2
(
x
)
=
o
1
(
x
)
±
o
2
(
x
)
h_2(x)=o_1(x)\pm o_2(x)
h2(x)=o1(x)±o2(x)
- h 1 ( − x ) = o 1 ( − x ) ± o 2 ( − x ) h_1(-x)=o_1(-x)\pm o_2(-x) h1(−x)=o1(−x)±o2(−x)= − o 1 ( x ) ± ( − o 2 ( x ) ) = − h 1 ( x ) -o_1(x)\pm(-o_2(x))=-h_1(x) −o1(x)±(−o2(x))=−h1(x)
-
h
1
(
x
)
=
o
1
(
x
)
+
o
2
(
x
)
h_1(x)=o_1(x)+o_2(x)
h1(x)=o1(x)+o2(x)
-
偶函数相加减得到的新函数仍为偶函数
-
h
2
(
x
)
=
e
1
(
x
)
±
e
2
(
x
)
h_2(x)=e_1(x)\pm e_2(x)
h2(x)=e1(x)±e2(x)
- h 2 ( − x ) = e 1 ( − x ) ± e 2 ( − x ) = ( e 1 ( x ) ± ( e 2 ( x ) ) = h 2 ( x ) h_2(-x)=e_1(-x)\pm e_2(-x)=(e_1(x)\pm (e_2(x))=h_2(x) h2(−x)=e1(−x)±e2(−x)=(e1(x)±(e2(x))=h2(x)
-
h
2
(
x
)
=
e
1
(
x
)
±
e
2
(
x
)
h_2(x)=e_1(x)\pm e_2(x)
h2(x)=e1(x)±e2(x)
-
奇函数 ± \pm ±偶函数的结果没有一般性的定论
乘积
-
h
1
(
x
)
=
o
(
x
)
e
(
x
)
h_1(x)=o(x)e(x)
h1(x)=o(x)e(x)
- h 1 ( − x ) = o ( − x ) e ( − x ) = − o ( x ) e ( x ) = − h 1 ( x ) h_1(-x)=o(-x)e(-x)=-o(x)e(x)=-h_1(x) h1(−x)=o(−x)e(−x)=−o(x)e(x)=−h1(x)
-
h
2
(
x
)
=
o
1
(
x
)
o
2
(
x
)
h_2(x)=o_1(x)o_2(x)
h2(x)=o1(x)o2(x)
- h 2 ( − x ) = o 1 ( − x ) o 2 ( − x ) = ( − o 1 ( x ) ) ( − o 2 ( x ) ) = o 1 ( x ) o 2 ( x ) = h 2 ( x ) h_2(-x)=o_1(-x)o_2(-x)=(-o_1(x))(-o_2(x))=o_1(x)o_2(x)=h_2(x) h2(−x)=o1(−x)o2(−x)=(−o1(x))(−o2(x))=o1(x)o2(x)=h2(x)
-
h
3
(
x
)
=
e
1
(
x
)
e
2
(
x
)
h_3(x)=e_1(x)e_2(x)
h3(x)=e1(x)e2(x)
- h 3 ( − x ) = e 1 ( − x ) e 2 ( − x ) = e 1 ( x ) e 2 ( x ) = h 3 ( x ) h_3(-x)=e_1(-x)e_2(-x)=e_1(x)e_2(x)=h_3(x) h3(−x)=e1(−x)e2(−x)=e1(x)e2(x)=h3(x)
上述三条分别表明:
- 奇函数乘偶函数结果为奇函数
- 偶函数乘偶函数结果为偶函数
- 奇函数乘奇函数结果为偶函数
商
- 令:
y
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
y(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
y(x)=g(x)f(x),
y
(
−
x
)
=
f
(
−
x
)
g
(
−
x
)
y(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}
y(−x)=g(−x)f(−x)
- y ( x ) = o 1 ( x ) o 2 ( x ) y(x)=\frac{o_1(x)}{o_2(x)} y(x)=o2(x)o1(x), y ( − x ) = y ( x ) y(-x)=y(x) y(−x)=y(x)
- y ( x ) = o ( x ) e ( x ) y(x)=\frac{o(x)}{e(x)} y(x)=e(x)o(x),或 y ( x ) = e ( x ) o ( x ) y(x)=\frac{e(x)}{o(x)} y(x)=o(x)e(x),都有 y ( − x ) = − y ( x ) y(-x)=-y(x) y(−x)=−y(x)
- y ( x ) = e 1 ( x ) e 2 ( x ) y(x)=\frac{e_1(x)}{e_2(x)} y(x)=e2(x)e1(x),则 y ( − x ) = y ( x ) y(-x)=y(x) y(−x)=y(x)
- 即
- 分子分母奇偶性相同时,结果为偶函数
- 分子分母奇偶性不同时,结果为奇函数
- 例如:
- sin x x \frac{\sin{x}}{x} xsinx为偶函数,而 sin x x 2 \frac{\sin{x}}{x^2} x2sinx为奇函数
复合性质
-
y = f ( u ) ; u = g ( x ) y=f(u);u=g(x) y=f(u);u=g(x), y ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) y(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x)) y(x)=(f∘g)(x)=f(g(x))的奇偶性
- 例如, f ( u ) = 1 u f(u)=\frac{1}{u} f(u)=u1; u = g ( x ) = x 2 u=g(x)=x^2 u=g(x)=x2
- 显然 f ( u ) f(u) f(u)是个奇函数(反比例函数); g ( x ) g(x) g(x)是偶函数; y ( x ) = 1 x 2 y(x)=\frac{1}{x^2} y(x)=x21则是偶函数
-
为了便于提高推导效率,沿用前面的 o ( x ) , e ( x ) o(x),e(x) o(x),e(x)的含义(分别表示奇函数和偶函数)
奇函数复合偶函数
y 1 ( x ) = o ( e ( x ) ) y_1(x)=o(e(x)) y1(x)=o(e(x))
- y 1 ( − x ) = o ( e ( − x ) ) y_1(-x)=o(e(-x)) y1(−x)=o(e(−x))= o ( e ( x ) ) = y ( x ) o(e(x))=y(x) o(e(x))=y(x)
- 特例助记: y ( u ) = u ; u = x 2 ; y ( x ) = x 2 ( 偶函数 ) y(u)=u;u=x^2;y(x)=x^2(偶函数) y(u)=u;u=x2;y(x)=x2(偶函数)
偶函数复合奇函数
y 1 ( x ) = e ( o ( x ) ) y_1(x)=e(o(x)) y1(x)=e(o(x))
- y 1 ( − x ) = e ( o ( − x ) ) = e ( − o ( x ) ) = e ( o ( x ) ) = y 1 ( x ) y_1(-x)=e(o(-x))=e(-o(x))=e(o(x))=y_1(x) y1(−x)=e(o(−x))=e(−o(x))=e(o(x))=y1(x)
奇函数复合奇函数
y 2 ( x ) = o 1 ( o 2 ( x ) ) y_2(x)=o_1(o_2(x)) y2(x)=o1(o2(x))
- y 2 ( − x ) = o 1 ( o 2 ( − x ) ) = o 1 ( − o 2 ( x ) ) = − o 1 ( o 2 ( x ) ) = − y 2 ( x ) y_2(-x)=o_1(o_2(-x))=o_1(-o_2(x))=-o_1(o_2(x))=-y_2(x) y2(−x)=o1(o2(−x))=o1(−o2(x))=−o1(o2(x))=−y2(x)
偶函数复合偶函数
y 3 ( x ) = e 1 ( e 2 ( x ) ) y_3(x)=e_1(e_2(x)) y3(x)=e1(e2(x))
-
y
3
(
−
x
)
=
e
1
(
e
2
(
−
x
)
)
=
e
1
(
e
2
(
x
)
)
=
y
3
(
x
)
y_3(-x)=e_1(e_2(-x))=e_1(e_2(x))=y_3(x)
y3(−x)=e1(e2(−x))=e1(e2(x))=y3(x)
- 其中 , 记 u = e 2 ( x ) ; e 1 ( − e 2 ( x ) ) = e 1 ( − u ) = e 1 ( u ) = e 1 ( e 2 ( x ) ) 其中,记u=e_2(x);e_1(-e_2(x))=e_1(-u)=e_1(u)=e_1(e_2(x)) 其中,记u=e2(x);e1(−e2(x))=e1(−u)=e1(u)=e1(e2(x))
奇偶性小结🎈
-
奇函数 ± \pm ± 奇函数=奇函数
-
偶函数 ± \pm ± 偶函数=偶函数
-
奇函数 ± \pm ± 偶函数(具体情况具体分析)
-
乘法和除法运算得到的新函数的奇偶性判定方式十分一致
- 奇偶性相同的函数乘积或商是
偶函数 - 奇偶性不同的函数乘积或商是
奇函数 - 乘以或除以一个
偶函数不改变原函数的奇偶性
- 奇偶性相同的函数乘积或商是
-
仅在奇函数相互复合的情况下才得到奇函数
- 偶函数与任何奇函数或偶函数复合都得到偶函数,
- 反之亦然:任何奇函数或偶函数与偶函数复合都得到偶函数
倍乘非零常数不改变奇偶性
- 设k为非零常数 t ( x ) = k f ( x ) ; t ( − x ) = k f ( − x ) t(x)=kf(x);t(-x)=kf(-x) t(x)=kf(x);t(−x)=kf(−x),容易通过奇偶性定义验证, t ( x ) t(x) t(x)的奇偶性和 f ( x ) f(x) f(x)一致;
- 事实上,常数是特殊函数(常数函数),而且是偶函数,从而 f ( x ) f(x) f(x)乘偶函数不改变奇偶性
奇函数和偶函数表示定义域对称函数
-
定义域关于原点对称的普通函数 f ( x ) f(x) f(x),可以表示为奇函数和偶函数之和
-
f ( x ) = 1 2 h ( x ) + 1 2 g ( x ) f(x)=\frac{1}{2}h(x)+\frac{1}{2}g(x) f(x)=21h(x)+21g(x), ( D f = ( − l , l ) ) (D_f=(-l,l)) (Df=(−l,l))
-
h ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) h(x)=f(x)-f(-x) h(x)=f(x)−f(−x);
-
g ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) g(x)=f(x)+f(-x) g(x)=f(x)+f(−x)
-
h ( x ) , g ( x ) h(x),g(x) h(x),g(x)分别是奇函数和偶函数
- h ( − x ) = − h ( x ) h(-x)=-h(x) h(−x)=−h(x)
- g ( − x ) = g ( x ) g(-x)=g(x) g(−x)=g(x)
-
-
所以结论成立
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