EM@反函数及其性质和复合函数

文章目录

• • abstract
  • • 反函数域复合函数的非映射的直接定义
  • 反函数
  • • 直接函数
    • 反函数表示
    • 单调函数和反函数
    • • 反函数和单调且连续性质
    • 存在反函数的函数不一定是单调的👺
    • 互为反函数的两个函数的图形特点
    • 反函数奇偶性
    • 自反性质
    • 应用
    • • 例
      • 例
  • 复合函数
  • • 复合顺序
    • 局部复合函数(最低复合条件)
    • 局部复合函数的定义域
    • • 例
    • 多重复合
    • • 例

abstract

• 基于映射定义的反函数和复合函数
• 反函数相关性质
• 函数复合的条件
• 复合函数的定义域求解

反函数域复合函数的非映射的直接定义

• 另见:AM@映射@逆映射@复合映射

反函数

• 作为逆映射的特例,可以定义如下反函数概念
• 设函数$f:D\to f(D)$是单射,则它存在逆映射$f^{-1}:f(D)\to D$,称此映射$f^{-1}$为函数$f$的反函数
  • 这里$f(D)$表示$f$的值域$R_f$
• 由反函数定义,$\forall y\in f(D)$,有唯一的$x\in D$,满足$f(x)=y$,于是$f^{-1}(y)=x$(或作$x=f^{-1}(y)$)
• 即,$f^{-1}$的对应法则完全由函数$f$的对应法则所确定
• 例如:$y=x^3,x\in \mathbb{R}$是单射,所以它的反函数存在,且其反函数$x=y^{\frac{1}{3}},x\in \mathbb{R}$

直接函数

• 相对于反函数$y=f^{-1}(x)$而言,原来的函数$y=f(x)$称为直接函数
• 直接函数和反函数互为反函数

反函数表示

• 对于$y=f(x),x\in D$的反函数$x=f^{-1}(y)$,习惯上自变量用字母$x$表示,而因变量用字母$y$表示
  • 例如$y=x^2,x\in \mathbb{R}$的反函数通常写作$y=x^{\frac{1}{3}},x\in \mathbb{R}$
• 一般地,$y=f(x),x\in D$的反函数记为$y=f^{-1}(x),x\in f(D)$

单调函数和反函数

• 若$f$是定义在$D$上的单调函数,则$f:D\to f(D)$是单射,于是$f$必定存在反函数$f^{-1}$,且$f^{-1}$也是单调的
• 证明:以单调增加为例,单调减少类似
  • 不妨设$f$在$D$上单调增加,我们证$f^{-1}$在$f(D)$上同样单调增加
  • $\forall y_1,y_2\in f(D)$,且$y_1<y_2$,按函数$f$的定义:
    • 对于$y_1$,在$D$内存在唯一的原像$x_1$使得$f(x_1)=y_1$,从而$f^{-1}(y_1)=x_1$
    • 对于$y_2$,在$D$内存在唯一的原像$x_2$使得$f(x_2)=y_2$,从而$f^{-1}(y_2)=x_2$
  • 方法1:因为$y_1<y_2$,且函数$f$单调增加,所以$x_1<x_2$,即$f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$.即$f^{-1}$在$f(D)$上单调增加
  • 方法2:若$x_1>x_2$,则由$f(x)$单调增加,$y_1>y_2$;若$x_1=x_2$,则$y_1=y_2$,显然这两种假设都和$y_1<y_2$矛盾,所以$x_1<x_2$,即$f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$.即$f^{-1}$在$f(D)$上单调增加

反函数和单调且连续性质

• 数学上可以证明:若函数$y=f(x)$在区间$I_x$上单调增加(或但单调减少)且连续,那么它的反函数$x=f^{-1}(y)$也在对应的区间$I_y$=$\{y\mid y=f(x),x\in I_x\}$上单调增加且连续
• 由于初等函数$f(x)$在各自区间内连续,如果选取其中的一个单调片段$\varphi (x),x\in D_{\varphi }\subset D_f$,那么这个片段一定存在反函数${\varphi }^{-1}(x)$且${\varphi }^{-1}(x)$的单调性和$\varphi (x)$相同
• 例
  • $e^x;\ln x$;
  • $\sin x,\arcsin x$;$(x\in (-1,1))$
  • $\cos x,\arccos x$,$(x\in (-1,1))$
  • $\tan x,\arctan x$
  • $\cot x,\mathrm{arccot}x$

存在反函数的函数不一定是单调的👺

• 单调函数必有反函数,这是充分但不必要条件

• 根据互为反函数的函数的图形特点,容易构造(找出)一个不单调的分段函数$f(x)$其存在反函数的例子

  • $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& x⩾0\\ \frac{1}{x}& x<0\end{array}$$

• 这个函数的反函数是其本身

互为反函数的两个函数的图形特点

• 如果把直接函数$y=f(x)$和它的反函数$y=f^{-1}(x)$的图形画在同一个坐标系上,则这两个图形关于$y=x$对称

  • 若$P(a,b)$在$y=f(x)$的图形上,则$b=f(a)$
  • 由反函数定义,$a,b$满足$a=f^{-1}(b)$,即$Q(b,a)$在函数$y=f^{-1}(x)$的图形上
  • 反之,若$Q(b,a)$是$y=f^{-1}(x)$上的点,有$a=f^{-1}(b)$,$b=f(a)$,即$P(a,b)$是$y=f(x)$上的点
  • 而$P(a,b),Q(b,a)$是关于直线$y=x$对称,所以$f,f^{-1}$关于直线$y=x$对称

• 在同一直角坐标系内,$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$的图形重合(一致)

  • 函数$x=f^{-1}(y)$自变量为$y$,对应于$y$轴,因变量$x$对应于$x$轴
  • 设$P$的坐标为$(a,b)$是$x=f^{-1}(y)$上的点,则有$a=f^{-1}(b)$,
  • 由反函数定义($f(x)$是$f^{-1}(x)$的反函数),有$b=f(a)$,即$(a,b)$是$y=f(x)$上的点
  • 所以$P(a,b)$同时在$x=f^{-1}(y)$,$y=f(x)$的图形上,类似的,$y=f(x)$上的点也都在$x=f^{-1}(y)$上
  • 所以结论成立

反函数奇偶性

• 我们知道$\sin x$,$\arcsin x$在区间$[-1,1]$内互为反函数,且都是奇函数
• 对于$y=x$,$y=\tan x$,它们都是奇函数,且它们的反函数也都是奇函数
• 但是不能说明任意奇函数的反函数还是奇函数,例如,$\cot x$是奇函数,它的反函数$\mathrm{arccot}x$=$\frac{\pi }{2}-\tan x$并不是奇函数
• 事实上,如果是通过坐标原点的单调奇函数$f(x)$,则$f(x)$的反函数$f^{-1}(x)$会是一个奇函数
  • 设$A(a,f(a))$是$f(x)$上的一点,则其关于原点对称的点为$B(-a,-f(a))$,显然$A,B$两点都在$f(x)$上
  • $f(x)$的反函数$f^{-1}(x)$上也一定有$A,B$关于$y=x$的对称点:$A_1(f(a),a)$,$B_1(-f(a),-a)$,其中$A,A_1$和$B,B_1$分别关于$y=x$对称
  • 从而
    • $f^{-1}(f(a))$=$a$
    • $f^{-1}(-f(a))$=$-a$
  • $f^{-1}(-f(a))$=$-f^{-1}(f(a))$,即$f^{-1}(-x)$=$-f^{-1}(x)$,说明$f^{-1}(x)$是奇函数

自反性质

• 由反函数的定义:

  • $y=f(f^{-1}(y)),y\in R_f$,
  • $x=f^{-1}(f(x)),x\in D_f$

• $f^{-1}(f(x))=x$

• $f(f^{-1}(x))$=$x$

• 例如:$e^{\ln x}=x$;$\ln e^x$=$x$;$\sin (\arcsin x)$=$x$;$\arcsin (\sin x)=x$,$(x\in [-1,1])$

应用

例

• 设函数$f(x)$=$\{\begin{array}{ll}1-2x^2& x<-1\\ x^3& -1⩽x⩽2\\ 12x-16& x>2\end{array}$,求$f(x)$的反函数$g(x)$的表达式

• 解

  • 分段处理,将$x$表示为$y$的函数

  • 令$y=f(x)$;

  • cases1:$x=\pm \sqrt{\frac{1-y}{2}}$,而$x<-1$(1),所以$x=-\sqrt{\frac{1-y}{2}}$;代入(1),得$-\sqrt{\frac{1-y}{2}}<-1$

    • 即$\sqrt{\frac{1-y}{2}}>1$,即$\frac{1-y}{2}>1$得$y<-1$

  • case2:$x$=$y^{\frac{1}{3}}$,而$x\in [-1,2]$(2),所以$y^{\frac{1}{3}}\in [-1,2]$,得$y\in [-1,8]$

  • case3:$x=\frac{y+16}{12}$,$x>2$,所以$\frac{y+16}{12}>2$,得$y>8$

  • 综上,并将$y,x$符号对调,得出

    • $$x=\{\begin{array}{ll}-\sqrt{\frac{1-y}{2}}& y<-1\\ y^{\frac{1}{3}}& -1⩽y⩽8\\ x=\frac{y+16}{12}& y>8\end{array}$$

    • $$g(x)=\{\begin{array}{ll}-\sqrt{\frac{1-x}{2}}& x<-1\\ x^{\frac{1}{3}}& -1⩽x⩽8\\ x=\frac{x+16}{12}& x>8\end{array}$$

• Note:

  • 求反函数的自变量区间的另一种思路是借助单调性
    • 存在反函数的函数不一定是单调的,但是区间内连续且存在反函数的函数是区域内单调的
    • 也就是说在限定不分段的某个区间内(不要求整个函数不分段)的情形下,反函数可以推出单调
  • 分析$f(x)$在三个区间内都是递增的,并根据连续单调函数的反函数具有一致单调性可知自变量,$x$的取值区间的左右端点分别对应于反函数自变量$y$取值的左右端点,并且区间开闭一致
  • 从而只需要求出端点的对应$y$值,就可以确定对应的反函数的三个区间:
    • $-\sqrt{\frac{1-y}{2}}=-1$,解得$y=-1$,对应区间为$y<-1$
    • $y^{\frac{1}{3}}=-1$;$y^{\frac{1}{3}}=2$,分别解得$y=-1$;$y=8$,对应区间$y\in [-1,8]$
    • $\frac{y+16}{12}=2$,解得$y=8$,对应区间为$y>8$

例

• 求$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$的反函数
• 分析
  • 考虑到对数函数的反函数是指数函数,以及幂指函数指数化
  • 这里对两边同时取$e$为底的指数运算,即$e^y$=$x+\sqrt{x^2+1}$(1)
• 方法1:(消去根号方法1)
  • 移项在平方,得$(e^y-x{)}^2$=$x^2+1$(2);展开等号左端并归边(分离变量),$e^{2y}-2x{e}^y+x^2$=$x^2+1$,即$x$=$\frac{e^{2y}-1}{2e^y}$,即$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$(3)
• 方法2:
  • 消去根号还可以通过平方差公式:
    • $(x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})$=$1$(4),即$-x+\sqrt{x^2+1}$=$\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}$(4-1)
    • 将式(1)两边倒数($-1$次方),得$e^{-y}$=$\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}$,代入(4-1),得$e^{-y}$=$-x+\sqrt{x^2+1}$(5)
    • 将(1),(5)两式相减(而不是相加),就可以消去$\sqrt{x^2+1}$,得$e^y+e^{-y}$=$2x$,即得$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$

复合函数

• 复合函数是复合映射的一种特例

• 设函数$y=f(u),u\in D_f$,$u=g(x),x\in D_g$,且其值域$R_g\subset D_f$,则:函数$y=f[g(x)]$,$(x\in D_g)$称为$u=g(x)$和$y=f(u)$构成的复合函数;它的定义域为$D_g$,

• 变量$u$称为中间变量,中间变量应用在某些定理的证明上可以提供方便

  • $u=g(x)$,$y=f(u)$构成的复合函数$y=f(u)=f(g(x))$

复合顺序

• 函数$g$(内层函数)和$f$(外层函数)构成的复合函数,即按"先$g$后$f$"的次序复合的函数极记为$f\circ g$,即$(f\circ g)(x)$=$f[g(x)]$

局部复合函数(最低复合条件)

• 和复合映射相仿,$f\circ g$有意义的条件是$R_g\subset D_f$

• 某些不满足复合条件的函数,通过将内层函数的定义域加以限制得到新的函数,可以得到可复合的函数组

  • 例如$f\circ g$无意义,但是限制定义域后的$g^{\ast }$可以和$f$复合:$f\circ g^{\ast }$

• 一般地,只要是$R_g\cap D_f\ne \varnothing$,则存在$g^{\ast }$使得$f\circ g^{\ast }$有意义

  • 通常,为了简便,我们仍然称$f\circ g^{\ast }$为函数$g$和函数$f$的复合函数

局部复合函数的定义域

• 若函数$y=f(g(x))$为函数$y=f(u)$与$u=g(x)$的复合函数,它的定义域为$\{x\mid x\in D_g,g(x)\in D_f\}$
• 其特例是$R_g\subset D_f$的情形,此时定义域为$D_g$

例

• $y=f(u)=\sqrt{u}$的定义域$D_f=[0,+\infty )$,$u=g(x)=\tan x$的值域为$R_g=(-\infty ,+\infty )$,显然$R_g\not\subset D_f$,因此$g,f$不能构成复合函数
• 但是若将$g$作一定的限制,限制在$D_g$的一个定义域的子集$D=\{x\mid k\pi ⩽x<(k+\frac{1}{2})\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$上,那么$g^{\ast }=\tan x,x\in D$,则$R_{g^{\ast }}=g^{\ast }(D)\subset D_f$,$g^{\ast }$和$f$就可以复合为$(f\circ g^{\ast })(x)$=$\sqrt{\tan x}$,$x\in D$

多重复合

• 有时会有超过3个函数进行复合,只要它们顺次满足构成复合函数地的条件即可复合

例

• $y=\sqrt{u}$,$u=\cot v$,$v=\frac{x}{2}$
  • 定义域分别为$u\in [0,+\infty )$;$v\in (k\pi ,(k+1)\pi )$,$x\in \mathbb{R}$
• 则:$h(x)=(y\circ u\circ v)(x)$=$\sqrt{\cot \frac{x}{2}}$,其中$u,v$都为中间变量
• $h(x)$的定义域为$D=\{x\mid 2k\pi <x⩽(2k+1)\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$
  • 由$u\in [0,+\infty )$,即$\cot v\in [0,+\infty )$解得$v\in (k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ],k\in \mathbb{Z}$
  • 即$\frac{x}{2}\in (k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ]$,解得$x\in (2k\pi ,(2k+1)\pi ),k\in \mathbb{Z}$