AM@等价无穷小概念@原理@应用
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abstract
- 等价无穷小的概念,性质和应用
- 等价无穷小可以用来(简化)计算 0 0 \frac{0}{0} 00型的极限问题
无穷小
- 如果 lim x → ∗ f ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to{*}}f(x)=0 x→∗limf(x)=0,则称 f ( x ) f(x) f(x)为 x → ∗ x\to * x→∗时的无穷小
无穷小量的比较
- 下面用 lim \lim lim来简写 lim x → ∗ \lim\limits_{x\to {*}} x→∗lim
- 两个同一自变量变化过程的无穷小 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β)比较时通常是构造 α β \frac{\alpha}{\beta} βα,通过判断 lim α β \lim{\frac{\alpha}{\beta}} limβα是否存在来进行的
- 这里采用比值而不采用差值,是因为任意两个无穷小 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β)的差(和)结果都是无穷小 lim ( α − β ) = 0 \lim(\alpha-\beta)=0 lim(α−β)=0,所以比较不出什么
- 设 lim α ( x ) = 0 \lim \alpha(x)=0 limα(x)=0, lim β ( x ) = 0 \lim \beta(x)=0 limβ(x)=0;记 k k k= lim β α \lim\frac{\beta}{\alpha} limαβ
高阶
- k = 0 k=0 k=0,记为:表示 β \beta β是比 α \alpha α高阶的无穷小(更低阶的无穷大),记为 β = o ( α ) \beta=o(\alpha) β=o(α)
低阶
- k = ∞ k=\infin k=∞,表示 β \beta β是比 α \alpha α低阶的无穷小
同阶
- k = C ≠ 0 k=C\neq0 k=C=0,表示 β \beta β与 α \alpha α是同阶无穷小
等价
- k = C = 1 k=C=1 k=C=1,表示 β \beta β与 α \alpha α是等价无穷小,记为 α ∼ β \alpha\sim{\beta} α∼β
无穷小的阶
- 如果 lim β α k = C ≠ 0 \lim\frac{\beta}{\alpha^k}=C\neq 0 limαkβ=C=0; ( k > 0 ) (k>0) (k>0)则 β \beta β是 α \alpha α的 k k k阶无穷小
记号👺
- 设函数 β ( x ) \beta(x) β(x)和 α ( x ) \alpha(x) α(x)在 x = x 0 x=x_0 x=x0处的某个去心邻域 U ˚ ( x 0 ) \mathring{U}(x_0) U˚(x0)上有定义,并设 U ˚ ( x 0 ) \mathring{U}(x_0) U˚(x0)上 α ( x ) ≠ 0 \alpha(x)\neq{0} α(x)=0
- 分别用记号:“
O
O
O”,“
o
o
o”,"
∼
\sim
∼"表示比值
γ
=
β
α
\gamma=\frac{\beta}{\alpha}
γ=αβ在
x
0
x_0
x0点临近的集中情况
-
β
=
O
(
α
)
\beta=O(\alpha)
β=O(α)表示
γ
\gamma
γ是有界变量
- 这种情况包含了 lim γ = c \lim\gamma=c limγ=c,( c c c是常数)的情况
- β = o ( α ) \beta=o(\alpha) β=o(α)表示 γ \gamma γ是无穷小量( lim x → x 0 γ = 0 \lim\limits_{x\to{x_0}}\gamma=0 x→x0limγ=0)
- α ∼ β \alpha\sim\beta α∼β表示 lim x → x 0 γ = 1 \lim\limits_{x\to{x_0}}\gamma=1 x→x0limγ=1
-
β
=
O
(
α
)
\beta=O(\alpha)
β=O(α)表示
γ
\gamma
γ是有界变量
- 例如 sin x = o ( x ) , ( x → ∞ ) \sin{x}=o(x),(x\to{\infin}) sinx=o(x),(x→∞)
- 特别地, β = O ( 1 ) \beta=O(1) β=O(1), ( x → x 0 ) (x\to{x_0}) (x→x0)表示函数 α \alpha α在 x 0 x_0 x0处地某个去心邻域上有界; ω = o ( 1 ) \omega=o(1) ω=o(1), ( x → x 0 ) (x\to{x_0}) (x→x0)表示 lim x → a ω = 0 \lim\limits_{x\to{a}}\omega=0 x→alimω=0
高阶无穷小的命题👺
- 许多定理涉及高阶无穷小, β \beta β是 α \alpha α的高阶无穷小 ( lim β α = 0 ) (\lim\frac{\beta}{\alpha}=0) (limαβ=0)记为 β = o ( α ) \beta=o(\alpha) β=o(α),
- 反之,若 β \beta β是 α \alpha α的高阶无穷小 ( β = o ( α ) ) (\beta=o(\alpha)) (β=o(α)),则 lim β α \lim\frac{\beta}{\alpha} limαβ= lim o ( α ) α = 0 \lim\frac{o(\alpha)}{\alpha}=0 limαo(α)=0
0和无穷小
- 因为 0 f ( x ) = 0 \frac{0}{f(x)}=0 f(x)0=0, ( f ( x ) ≠ 0 ) (f(x)\neq{0}) (f(x)=0),所以 lim 0 f ( x ) = lim 0 \lim\frac{0}{f(x)}=\lim{0} limf(x)0=lim0= 0 0 0,即 0 0 0是自身以外的任意无穷小的高阶无穷小, 0 = o ( f ( x ) ) , f ( x ) ≠ 0 0=o(f(x)),f(x)\neq{0} 0=o(f(x)),f(x)=0
等价无穷小之间的比较
- 无穷小之间不总是可以比较的(有些无穷小没有高低阶之分,也没有同阶可言)
例如:
-
f
(
x
)
=
x
sin
(
1
x
)
f(x)=x\sin(\frac{1}{x})
f(x)=xsin(x1);
g
(
x
)
=
x
g(x)=x
g(x)=x;
- f ( x ) = sin ( 1 x ) ⋅ x f(x)=\sin(\frac{1}{x})\cdot{x} f(x)=sin(x1)⋅x是 x → 0 x\to{0} x→0时的有界函数乘以等价无穷小,即 f ( x ) → 0 ( x → 0 ) f(x)\to{0}(x\to{0}) f(x)→0(x→0)
- 所以 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)是 ( x → 0 ) (x\to{0}) (x→0)时的等价无穷小
- h ( x ) = f ( x ) g ( x ) = sin ( 1 x ) h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\sin(\frac{1}{x}) h(x)=g(x)f(x)=sin(x1)
- 显然 lim x → 0 h ( x ) \lim\limits_{x\to 0}{h(x)} x→0limh(x)不存在,即两个等价无穷小不可比较
等价无穷小定理
定理1
-
β ∼ α \beta\sim{\alpha} β∼α的充要条件是 β = α + o ( α ) \beta=\alpha+o(\alpha) β=α+o(α)
(1)(或 α = β + o ( β ) \alpha=\beta+o(\beta) α=β+o(β)) -
证明:
-
必要性:
-
由 β ∼ α \beta\sim{\alpha} β∼α, lim β α = 1 \lim\frac{\beta}{\alpha}=1 limαβ=1
-
将结论(1)变形可得 β − α = o ( α ) \beta-\alpha=o(\alpha) β−α=o(α),即要证明 β − α \beta-\alpha β−α是 α \alpha α的高阶无穷小
-
构造 γ = β − α α \gamma=\frac{\beta-\alpha}{\alpha} γ=αβ−α,则 lim γ \lim{\gamma} limγ= lim ( β α − 1 ) \lim(\frac{\beta}{\alpha}-1) lim(αβ−1)= lim β α − 1 \lim\frac{\beta}{\alpha}-1 limαβ−1=0
-
从而 β − α \beta-\alpha β−α是 α \alpha α的高阶无穷小,即 β − α \beta-\alpha β−α= o ( α ) o(\alpha) o(α),即(1)成立
-
-
充分性:
- 设(1)成立,则 lim β α \lim\frac{\beta}{\alpha} limαβ= lim α + o ( α ) α \lim\frac{\alpha+o(\alpha)}{\alpha} limαα+o(α)= lim ( 1 + o ( α ) α ) \lim(1+\frac{o(\alpha)}{\alpha}) lim(1+αo(α))=1,从而 α ∼ β \alpha\sim{\beta} α∼β
-
-
这个定理表明,等价无穷小之间的相差一个高阶的无穷小
定理2👺
-
设 α ∼ α ~ \alpha\sim{\widetilde{\alpha}} α∼α , β ∼ β ~ \beta\sim{\widetilde{\beta}} β∼β ,且 lim β ~ α ~ \lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}} limα β 存在,则 lim β α \lim\frac{\beta}{\alpha} limαβ= lim β ~ α ~ \lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}} limα β = A A A
- 其中 α ~ \widetilde{\alpha} α 和表示和 α \alpha α成等价无穷小关系的某个无穷小,两者可能相等
- β ~ \widetilde{\beta} β 和 β \beta β类似含义
- 事实上, lim β α \lim\frac{\beta}{\alpha} limαβ= lim β ~ α ~ \lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}} limα β = lim β ~ α \lim\frac{\widetilde{\beta}}{{\alpha}} limαβ = lim β α ~ \lim\frac{{\beta}}{\widetilde{\alpha}} limα β= A A A
-
证明: lim β α \lim\frac{\beta}{\alpha} limαβ= lim ( β α ~ ⋅ β ~ α ~ ⋅ α ~ α ) \lim(\frac{{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\cdot\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\cdot{\frac{\widetilde{\alpha}}{{\alpha}}}) lim(α β⋅α β ⋅αα )= lim β α ~ \lim\frac{{\beta}}{\widetilde{\alpha}} limα β ⋅ \cdot ⋅ lim β ~ α ~ \lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}} limα β ⋅ \cdot ⋅ lim α ~ α \lim{\frac{\widetilde{\alpha}}{{\alpha}}} limαα = 1 × lim β ~ α ~ × 1 1\times{\lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}}\times{1} 1×limα β ×1= lim β ~ α ~ \lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}} limα β
-
定理表明,求两个无穷小之比的极限时,分子和分母都可以用等价无穷小代替
适当的代替无穷小,可以这类极限计算问题得到简化
但要注意,等价无穷小的应用时有严格要求的,要特别注意自变量的变化过程,而不是单看分子分母解析式
例如: A = lim x → 0 tan 2 x sin 5 x A=\lim\limits_{x\to{0}}\frac{\tan{2x}}{\sin{5x}} A=x→0limsin5xtan2x
- 首先判断该极限是一个无穷小之比极限问题,可以考虑等价无穷小化简
- 因为 tan 2 x ∼ 2 x \tan{2x}\sim{2x} tan2x∼2x, sin 5 x ∼ 5 x \sin{5x}\sim{5x} sin5x∼5x,所以 A = lim x → 0 2 x 5 x A=\lim\limits_{x\to{0}}\frac{2x}{5x} A=x→0lim5x2x= 2 5 \frac{2}{5} 52
定理3@组合无穷小
无穷小之差
-
若 α ∼ α 1 \alpha\sim\alpha_1 α∼α1, β ∼ β 1 \beta\sim\beta_1 β∼β1,且 lim α 1 β 1 = A ≠ 1 \lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq{1} limβ1α1=A=1,则有等价无穷小关系: α − β ∼ α 1 − β 1 \alpha-\beta\sim{\alpha_1-\beta_1} α−β∼α1−β1
- 若令 γ = α − β \gamma=\alpha-\beta γ=α−β, γ 1 = α 1 − β 1 \gamma_1=\alpha_1-\beta_1 γ1=α1−β1,则 γ ∼ γ 1 \gamma\sim{\gamma_1} γ∼γ1
-
证明:
-
lim α 1 β 1 = A \lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A limβ1α1=A,则由定理2: lim α β \lim\frac{\alpha}{\beta} limβα= lim α 1 β \lim\frac{\alpha_1}{\beta} limβα1= lim α β 1 \lim\frac{\alpha}{\beta_1} limβ1α= lim α 1 β 1 = A \lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A limβ1α1=A
(0) -
令 B = lim γ γ 1 B=\lim\frac{\gamma}{\gamma_1} B=limγ1γ= lim α − β α 1 − β 1 \lim\frac{\alpha-\beta}{\alpha_1-\beta_1} limα1−β1α−β= lim α / β − β / β α 1 / β − β 1 / β \lim\frac{\alpha/\beta-\beta/\beta}{\alpha_1/\beta-\beta_1/\beta} limα1/β−β1/βα/β−β/β
(1)- 令 N = lim ( α / β − β / β ) N=\lim(\alpha/\beta-\beta/\beta) N=lim(α/β−β/β)= lim ( α / β ) − lim ( β / β ) \lim(\alpha/\beta)-\lim(\beta/\beta) lim(α/β)−lim(β/β)= A − 1 A-1 A−1
- D = lim ( α 1 / β − β 1 / β ) = lim α 1 / β − lim β 1 / β D=\lim{(\alpha_1/\beta-\beta_1/\beta)}=\lim\alpha_1/\beta-\lim\beta_1/\beta D=lim(α1/β−β1/β)=limα1/β−limβ1/β= A − 1 A-1 A−1
- 当 A ≠ 1 A\neq{1} A=1时, B = N D B=\frac{N}{D} B=DN= 1 1 1
-
Note:在
(1)式的处理中采用分式分子母同时除以 β \beta β处理,如果同时除以 α \alpha α也可以算
-
无穷小之和
- 若
α
∼
α
1
\alpha\sim\alpha_1
α∼α1,
β
∼
β
1
\beta\sim\beta_1
β∼β1,且
lim
α
1
β
1
=
A
≠
−
1
\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq{-1}
limβ1α1=A=−1,则有等价无穷小关系:
α
+
β
∼
α
1
+
β
1
\alpha+\beta\sim{\alpha_1+\beta_1}
α+β∼α1+β1
- 若令 γ = α + β \gamma=\alpha+\beta γ=α+β, γ 1 = α 1 + β 1 \gamma_1=\alpha_1+\beta_1 γ1=α1+β1,则 γ ∼ γ 1 \gamma\sim{\gamma_1} γ∼γ1
- 证明:
- lim α 1 β 1 = A \lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A limβ1α1=A,则由定理2: lim α β \lim\frac{\alpha}{\beta} limβα= lim α 1 β \lim\frac{\alpha_1}{\beta} limβα1= lim α β 1 \lim\frac{\alpha}{\beta_1} limβ1α= lim α 1 β 1 = A \lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A limβ1α1=A
- 令
B
=
lim
γ
γ
1
B=\lim\frac{\gamma}{\gamma_1}
B=limγ1γ=
lim
α
+
β
α
1
+
β
1
\lim\frac{\alpha+\beta}{\alpha_1+\beta_1}
limα1+β1α+β=
lim
α
/
β
−
β
/
β
α
1
/
β
−
β
1
/
β
\lim\frac{\alpha/\beta-\beta/\beta}{\alpha_1/\beta-\beta_1/\beta}
limα1/β−β1/βα/β−β/β
- 令 N = lim ( α / β + β / β ) N=\lim(\alpha/\beta+\beta/\beta) N=lim(α/β+β/β)= lim ( α / β ) + lim ( β / β ) \lim(\alpha/\beta)+\lim(\beta/\beta) lim(α/β)+lim(β/β)= A + 1 A+1 A+1
- D = lim ( α 1 / β + β 1 / β ) D=\lim{(\alpha_1/\beta+\beta_1/\beta)} D=lim(α1/β+β1/β)= lim α 1 / β \lim\alpha_1/\beta limα1/β+ lim β 1 / β \lim\beta_1/\beta limβ1/β= A + 1 A+1 A+1
- 当 A ≠ − 1 A\neq{-1} A=−1时, B = N D B=\frac{N}{D} B=DN= 1 1 1
例
- f ( x ) = x − sin x x − tan x f(x)=\frac{x-\sin{x}}{x-\tan{x}} f(x)=x−tanxx−sinx,则 lim x → 0 f ( x ) = 1 6 x 3 1 3 x 3 \lim\limits_{x\to{0}}f(x)=\frac{\frac{1}{6}x^3}{\frac{1}{3}x^3} x→0limf(x)=31x361x3= 1 2 \frac{1}{2} 21
- 如果作这个极限问题不能够作如下等价无穷小变换 x − sin x ∼ x − x = 0 x-\sin{x} \sim{x-x=0} x−sinx∼x−x=0,因为 lim sin x x = 1 \lim\frac{\sin{x}}{x}=1 limxsinx=1,所以不能交换
- 实际上定理3判定法给出了
x
−
sin
x
x-\sin{x}
x−sinx并不和
x
−
x
x-x
x−x构成等价无穷小关系
- 其中 α = x , α 1 = sin x \alpha=x,\alpha_1=\sin{x} α=x,α1=sinx; β = x , β 1 = x \beta=x,\beta_1=x β=x,β1=x,且 α ∼ α 1 \alpha\sim{\alpha_1} α∼α1, β ∼ β 1 \beta\sim\beta_1 β∼β1,因为 lim α 1 β 1 \lim\frac{\alpha_1}{\beta_1} limβ1α1= lim sin x x = 1 \lim\frac{\sin{x}}{x}=1 limxsinx=1,则 α − β ≁ α 1 − β 1 \alpha-\beta\not\sim{\alpha_1-\beta_1} α−β∼α1−β1,即 x − sin x ≁ x − x x-\sin{x} \not\sim{x-x} x−sinx∼x−x
- 所以 lim x − sin x x − tan x ≠ lim x − x x − tan x \lim\frac{x-\sin{x}}{x-\tan{x}}\neq{\lim\frac{x-x}{x-\tan{x}}} limx−tanxx−sinx=limx−tanxx−x
定理4
- 若 f ( x ) ∼ g ( x ) f(x)\sim{g(x)} f(x)∼g(x),则 f ( u ( x ) ) ∼ g ( u ( x ) ) f(u(x))\sim{g(u(x))} f(u(x))∼g(u(x))
- 证明:
x
→
x
0
x\to{x_0}
x→x0情形
- 若 lim u → u 0 f ( u ) g ( u ) = 1 \lim\limits_{u\to{u_0}}\frac{f(u)}{g(u)}=1 u→u0limg(u)f(u)=1; lim x → x 0 u ( x ) = u 0 \lim\limits_{x\to{x_0}}u(x)=u_0 x→x0limu(x)=u0
- 由复合函数极限运算法则, lim x → x 0 f ( u ( x ) ) g ( u ( x ) ) \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{f(u(x))}{g(u(x))} x→x0limg(u(x))f(u(x))= lim u → u 0 f ( u ) g ( u ) = 1 \lim\limits_{u\to{u_0}}\frac{f(u)}{g(u)}=1 u→u0limg(u)f(u)=1
- x → ∞ x\to{\infin} x→∞情形类似
- 例 sin x ∼ x \sin{x}\sim{x} sinx∼x,则 sin x 2 ∼ x 2 \sin{x^2}\sim{x^2} sinx2∼x2
小结
- 结合定理1,2;为我们可以利用peano型余项泰勒展开来计算某些类型的极限提供依据
- 相比定理1,定理2更加常用,定理1的作用在于指出,某些局部替换不保持等价无穷小关系:若
α
∼
β
\alpha\sim{\beta}
α∼β.则
α
=
β
+
o
(
β
)
\alpha=\beta+o(\beta)
α=β+o(β),
γ
=
β
+
θ
\gamma=\beta+\theta
γ=β+θ且
θ
\theta
θ不是
β
\beta
β的高阶无穷小,则
α
≁
γ
\alpha\not\sim{\gamma}
α∼γ
- 从而 lim β α \lim{\frac{\beta}{\alpha}} limαβ= lim β β + o ( β ) \lim{\frac{\beta}{\beta+o(\beta)}} limβ+o(β)β ≠ \neq = lim β β + θ \lim{\frac{\beta}{\beta+\theta}} limβ+θβ= lim β γ \lim{\frac{\beta}{\gamma}} limγβ
- 更具体地被总结为定理3
- 总之, 0 / 0 0/0 0/0型分式 f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x)求极限中能否局部替换,取决于被替换的式子 f ( x ) f(x) f(x)替换后的式子 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)是否满足 f 1 ( x ) ∼ f 2 ( x ) f_1(x)\sim{f_2(x)} f1(x)∼f2(x),若满足即可替换(分母也是相仿的)
常见等价无穷小
- 另见 常用等价无穷小篇
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