EM@运动轨迹曲线和参数方程

文章目录

• • abstract
  • 运动轨迹和参数方程
  • 引言:简单抛射运动轨道曲线
  • 曲线的参数方程
  • • 一般的质点运动轨迹曲线关于时间的表示
    • 一般曲线的参数方程
    • 消参(参数方程转换为普通方程)
    • 参数化(普通放长转换为参数方程)
    • • 例
  • 常见的参数方程

abstract

• 在平面上建立直角坐标系后.就可以用一个有序数对$(x,y)$来表示平面上的一个点.平面上的点按一定规则运动时就形成一条平面曲线.
• 描述点的运动规则就是曲线上点M的两个坐标$x,y$之间的一个制约关系.
• 它可以表示为$x,y$的一个二元方程$F(x,y)=0$,称此二元方程为曲线的方程.它是直角坐标方程.
• 借助于曲线的方程可以用代数方法分析曲线的某些重要性质.讨论曲线的各种应用.

运动轨迹和参数方程

• 常见的许多曲线往往是物体在实际运动中的轨迹.这时运动的规律经常不是接反映为物体位置的坐标$x,y$间的关系,而表现为物体的位置随时间改变的规律.也就是位置的坐标.$x,y$和对时间f的依赖关系.
  • 例如.抛射体在重力作用下的运动轨道压抛物线.
  • 为了研究抛射休的运动.要建立它的轨道曲线.要建立它的直角坐标方程.就要找到运动中物体所在位置的坐标$x,y$的直接关系
  • 由于抛射体运动在这方面的特征不明显,因此直接建立轨道曲线的直角坐标方程不方便
  • 但是物体的运动直接和时间相关联,以时间$t$为中介,运用物理学知识分别建立直接坐标$x,y$与$t$的关系式,就唯一确定了物体的运动轨迹,也就间接建立了$x,y$的关系
• 参数方程式函数的重要表达形式

引言:简单抛射运动轨道曲线

• 以炮弹在理想仅由重力作用下的抛射轨道曲线(铅直平面上的平面曲线)为例
• 设炮弹的初速度${\mathbf{v}}_0$,发射角(仰角)为$\alpha$
• 为了描述这一运动，可以建立轨道曲线的方程．
• 为此先在轨道曲线所在的平面上建立直角坐标系.以火炮所在位置（炮口）为原点,地平线(水平方向）为**$x$轴**，$y$轴竖直向上，把时间记为$t$、开始发射时，记$t=0$
• 设时刻$t$时,炮弹所在位置为$M(x,y)$,它时轨道曲线上的动点,分别讨论$x,y$与时间$t$之间的关系
  • 由向量知识,在$x,y$轴方向上分解炮弹的速度向量${\mathbf{v}}_0$可得${\mathbf{v}}_0={\mathbf{v}}_x+{\mathbf{v}}_y$,${\mathbf{v}}_x,{\mathbf{v}}_y$分别表示${\mathbf{v}}_0$在$x,y$轴上的分向量
  • 记$v_0,v_x,v_y$分别为向量${\mathbf{v}}_0,{\mathbf{v}}_x,{\mathbf{v}}_y$的大小,则$v_x=v_0\cos \alpha$,$v_y=v_0\sin \alpha$
  • 由物理学抛射运动在水平和竖直方向位移和时间的关系得方程组(0)
    • $x=v_{y}t=v_0\cos \alpha \cdot t$(水平方向作匀速运动)
    • $y=v_{y}t-\frac{1}{2}g{t}^2=v_0\sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$(竖直方向作数值上抛运动)
    • 其中$v_0,\alpha ,g$都是常数,而$t$是参数
  • 方程组(0)可以根据时间算出炮弹所在的位置$M(x,y)$
• 通过消去参数$t$,可得到(0)对应的直角坐标方程
  • $t=\frac{x}{v_0\cos \alpha }$,代入$y$的表达式:$y=-\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+\tan \alpha \cdot x$
  • 这显然是一个关于$x$的二次方程,因此一元二次曲线称为抛物线

曲线的参数方程

一般的质点运动轨迹曲线关于时间的表示

• 设质点的运动规律为
  • $x=f(t)$
  • $y=g(t)$
  • $t\in [a,b]$
• 其中$f(t),g(t)$为$t$的函数
• 进一步一般曲线抽象为参数方程

一般曲线的参数方程

• 设平面上取定了一个直角坐标系$xOy$,把$x,y$表示为第3个变量$t$的函数
  • $x=f(t)$;$y=g(t)$;$a\in [a,b]$(1)
• 若对于$t$的每一个值,式(1)所确定的点$M(x,y)$都在一条曲线$C$上,同时$C$上的任意点$M(x,y)$都可以由某个$t$值通过式(1)得到,则称式(1)为曲线$C$的参数方程,变量$t$称为参数方程的参数

消参(参数方程转换为普通方程)

• 若将式(1)中的参数$t$消去,得到$F(x,y)=0$(2),该方程称为曲线$C$的直角坐标方程(普通方程)

参数化(普通放长转换为参数方程)

• 曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程，转化的关键是找到一个适当的参数.选用不同的参数,转换后的形式可能不同,对于一般方程$y=f(x)$
  • 常见的做法是令$t=x$
  • $t=T(x)$,然后解出$x=x(t)$,代入$y=f(x)$=$f(x(t))$
• 曲线的普通方程和参数方程之间有些容易转化，有些则较困难，有些无法转化.
• 一般的参数方程，参数可能有物理意义，如抛射体运动曲线的参数方程中，参数t表示运动时间．参数也可能有几何意义;参数可能既无物理意义，也无几何意义．这都要视具体情况而定.

例

• 选取适当参数，把直线方程$y=2x+3$化为参数方程.
• 最简单的做法:
  • 令$t=x$,则$y=2t+3$,从而的直线的参数方程为:$x=t$,$y=2t+3$,$t\in \mathbb{R}$
• 其他做法:例如取$t=x+1$,则$x=t-1$,$y=2(t-1)+3$=$2t+1$

常见的参数方程

• 直线参数方程
• 圆和圆锥曲线的参数方程