AM@两种余项型泰勒公式的对比和总结@常用函数的麦克劳林公式
abstract
- 泰勒公式的两种余项型(Penao&Lagrange)泰勒公式的对比和总结
- 常用的Maclaurin公式列举(Peano余项型为主)
两种余项型泰勒公式的对比和总结
-
Taylor公式 Lagrange型 Peano项 Note 条件 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有 n n n阶连续导数, ( a , b ) (a,b) (a,b)内存在 n + 1 n+1 n+1阶导数 x = x 0 x=x_0 x=x0处存在 n n n阶导数 前者对 f ( x ) f(x) f(x)要求较高 余项 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1, ξ \xi ξ是 x , x 0 x,x_0 x,x0之间的一个数;或表示为 f ( n + 1 ) ( x 0 + θ ( x − x 0 ) ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta{(x-x_0)})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(x0+θ(x−x0))(x−x0)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1) R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= o ( ( x − x 0 ) n ) o((x-x_0)^{n}) o((x−x0)n) 前者余项具体,后者仅表达了高阶无穷小 用途 可用于区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上,例如证明不等式或等式,估计逼近误差 仅用于 x 0 x_0 x0的邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0),例如讨论极值,求解 x → x 0 x\to{x_0} x→x0时的极限 后者用在某些条件下的求极限问题上,可以带来方便 -
Lagrnage余项 R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)中的 ξ \xi ξ,( ξ \xi ξ为 x , x 0 x,x_0 x,x0间的一个数)可以表示为 x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0+θ(x−x0), θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in{(0,1)} θ∈(0,1)
- 若
x
0
<
x
x_0<x
x0<x,则
ξ
∈
(
x
0
,
x
)
\xi\in{(x_0,x)}
ξ∈(x0,x),
ξ
\xi
ξ所在区间的跨度(长度)
Δ
x
=
x
−
x
0
\Delta{x}=x-x_0
Δx=x−x0可以表示为
ξ
=
x
0
+
θ
Δ
x
\xi=x_0+\theta\Delta{x}
ξ=x0+θΔx=
x
0
+
θ
(
x
−
x
0
)
x_0+\theta(x-x_0)
x0+θ(x−x0)
(1),其中 θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1) - 若
x
0
>
x
x_0>x
x0>x,则
ξ
∈
(
x
,
x
0
)
\xi\in(x,x_0)
ξ∈(x,x0),
ξ
\xi
ξ所在区间的跨度为
Δ
x
=
x
0
−
x
\Delta{x}=x_0-x
Δx=x0−x可以表示为
ξ
=
x
+
θ
Δ
x
\xi=x+\theta\Delta{x}
ξ=x+θΔx=
x
0
−
θ
Δ
x
x_0-\theta\Delta{x}
x0−θΔx=
x
0
−
θ
(
x
0
−
x
)
x_0-\theta(x_0-x)
x0−θ(x0−x)=
x
0
+
θ
(
x
−
x
0
)
x_0+\theta(x-x_0)
x0+θ(x−x0)
(2),其中 θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1) - 综上,我们可以令 ξ \xi ξ= x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0+θ(x−x0), θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)代替 ξ \xi ξ,( ξ \xi ξ为 x , x 0 x,x_0 x,x0间的一个数),这使得泰勒公式的描述更加简练
- 若
x
0
<
x
x_0<x
x0<x,则
ξ
∈
(
x
0
,
x
)
\xi\in{(x_0,x)}
ξ∈(x0,x),
ξ
\xi
ξ所在区间的跨度(长度)
Δ
x
=
x
−
x
0
\Delta{x}=x-x_0
Δx=x−x0可以表示为
ξ
=
x
0
+
θ
Δ
x
\xi=x_0+\theta\Delta{x}
ξ=x0+θΔx=
x
0
+
θ
(
x
−
x
0
)
x_0+\theta(x-x_0)
x0+θ(x−x0)
-
通常,Lagrange余项更经常被表示为 R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( x 0 + θ ( x − x 0 ) ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta{(x-x_0)})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(x0+θ(x−x0))(x−x0)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in{(0,1)} θ∈(0,1)
Maclaurin公式
- 这里主要讨论Peano型Maclaurin公式(一般不要求计算误差精度,Peano型足够使用)
-
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
+
1
2
!
f
′
′
(
0
)
x
2
f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^2
f(0)+f′(0)x+2!1f′′(0)x2+
⋯
\cdots
⋯+
1
n
!
f
(
n
)
(
0
)
x
n
\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n
n!1f(n)(0)xn+
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)
(1),两种余项分别为:-
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)=
o
(
x
n
)
o(x^{n})
o(xn)
(1-1) -
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1或
f
(
n
+
1
)
(
θ
x
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
(n+1)!f(n+1)(θx)(x−x0)n+1,
θ
∈
(
0
,
1
)
\theta\in(0,1)
θ∈(0,1)
(1-2)
-
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)=
o
(
x
n
)
o(x^{n})
o(xn)
常用函数的Maclaurin公式👺
-
主要掌握展开公式的前几项(2到5项,一般3项)就足够一般的应用,
-
只要知道公式
(1),和 f ( x ) f(x) f(x)的高阶导数,在必要的时候可以自行计算更多的项-
e x e^{x} ex= 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n} 1+x+2!1x2+⋯+n!1xn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
-
sin x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x−3!1x3+5!1x5−7!1x7+ ⋯ \cdots ⋯+ ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! x 2 n − 1 \frac{(-1)^{n}}{(2n-1)!}x^{2n-1} (2n−1)!(−1)nx2n−1+ o ( x 2 n − 1 ) o(x^{2n-1}) o(x2n−1)
-
cos x \cos{x} cosx= 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^{6} 1−2!1x2+4!1x4−6!1x6+ ⋯ \cdots ⋯+ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} (2n)!(−1)nx2n+ o ( x 2 n ) o(x^{2n}) o(x2n)
-
ln ( 1 + x ) \ln{(1+x)} ln(1+x)= x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + x 5 5 x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^{5}}{5} x−2x2+3x3−4x4+5x5+ ⋯ \cdots ⋯+ ( − 1 ) n − 1 x n n (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} (−1)n−1nxn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
-
( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m= 1 + m x + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2 1+mx+2!m(m−1)x2+ ⋯ \cdots ⋯+ m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^{n} n!m(m−1)⋯(m−n+1)xn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
- 1 1 + x \frac{1}{1+x} 1+x1= 1 − x + x 2 − ⋯ + ( − 1 ) n x n + o ( x n ) 1-x+x^2-\cdots+(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n}) 1−x+x2−⋯+(−1)nxn+o(xn)= [ ∑ i = 0 n ( − x ) i ] [\sum_{i=0}^{n}(-x)^{i}] [∑i=0n(−x)i]+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)= [ ∑ i = 1 n ( − x ) i − 1 ] + o ( x n ) [\sum_{i=1}^{n}(-x)^{i-1}]+o(x^{n}) [∑i=1n(−x)i−1]+o(xn)
- 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1= 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o ( x n ) 1+x+x^2+\cdots+x^{n}+o(x^{n}) 1+x+x2+⋯+xn+o(xn)= [ ∑ i = 0 n x i ] [\sum_{i=0}^{n}x^{i}] [∑i=0nxi]+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)= [ ∑ i = 1 n x i − 1 ] + o ( x n ) [\sum_{i=1}^{n}x^{i-1}]+o(x^{n}) [∑i=1nxi−1]+o(xn)
- 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x^2} 1+x21= 1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n ( x 2 n ) + o ( x 2 n ) 1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^{n}(x^{2n})+o(x^{2n}) 1−x2+x4−⋯+(−1)n(x2n)+o(x2n)= [ ∑ i = 0 n ( − x 2 ) i ] + o ( x 2 n ) [\sum_{i=0}^{n}(-x^2)^{i}]+o(x^{2n}) [∑i=0n(−x2)i]+o(x2n)
-
1
+
x
\sqrt{1+x}
1+x=
1
+
1
2
x
−
1
8
x
2
+
o
(
x
2
)
1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2)
1+21x−81x2+o(x2)
- 1 + x \sqrt{1+x} 1+x= x ∑ k = 0 ∞ x − k ( 1 2 k ) \sqrt{x}\sum_{k=0}^{\infin}x^{-k}\binom{\frac{1}{2}}{k} x∑k=0∞x−k(k21), ∣ x ∣ > 1 |x|>1 ∣x∣>1
- 1 + x \sqrt{1+x} 1+x= ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x k ( − 1 2 ) k k ! \sum_{k=0}^{\infin}\frac{(-1)^{k}x^{k}(-\frac{1}{2})_{k}}{k!} ∑k=0∞k!(−1)kxk(−21)k, ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣x∣<1
- 1 − x \sqrt{1-x} 1−x= 1 − 1 2 x − 1 8 x 2 + o ( x 2 ) 1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2) 1−21x−81x2+o(x2)
-
tan x \tan{x} tanx= x + x 3 3 + o ( x 3 ) x+\frac{x^3}{3}+o(x^{3}) x+3x3+o(x3)
-
sec x \sec{x} secx= 1 + x 2 2 + o ( x 2 ) 1+\frac{x^2}{2}+o(x^2) 1+2x2+o(x2)
-
arcsin x \arcsin{x} arcsinx= x + 1 6 x 3 + o ( x 3 ) x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3) x+61x3+o(x3)
-
arctan x \arctan{x} arctanx= x − 1 3 x 3 + o ( x 3 ) x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3) x−31x3+o(x3)
-
arccos x \arccos{x} arccosx= π 2 − arcsin x \frac{\pi}{2}-\arcsin{x} 2π−arcsinx= π 2 − ( x + x 3 6 + o ( x 3 ) ) \frac{\pi}{2}-(x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)) 2π−(x+6x3+o(x3))= π 2 − x − x 3 6 + o ( x 3 ) \frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) 2π−x−6x3+o(x3)
-
arccot x \operatorname{arccot}{x} arccotx= π 2 − arctan x \frac{\pi}{2}-\arctan{x} 2π−arctanx= π 2 − ( x − 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ) \frac{\pi}{2}-(x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)) 2π−(x−31x3+o(x3))= π 2 − x + x 3 3 + o ( x 3 ) \frac{\pi}{2}-x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) 2π−x+3x3+o(x3)
-
记号
二项式系数的记号
-
(
n
k
)
\binom{n}{k}
(kn)=
n
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
k
!
\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}
k!n(n−1)⋯(n−k+1)
- 这里我们允许
n
n
n取非整数,例如
- ( 1 2 1 ) \binom{\frac{1}{2}}{1} (121)= 1 2 \frac{1}{2} 21
- ( 1 2 2 ) \binom{\frac{1}{2}}{2} (221)= 1 2 ( 1 2 − 1 ) 2 ! \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!} 2!21(21−1)= − 1 8 -\frac{1}{8} −81
- 可参考wolfram文档定义
- 这里我们允许
n
n
n取非整数,例如
Pochhammer符号
- ( a ) n (a)_{n} (a)n= a ( a + 1 ) ⋯ ( a + n − 1 ) a(a+1)\cdots(a+n-1) a(a+1)⋯(a+n−1)
- 这和 A n m A_{n}^{m} Anm= n ( n − 1 ) ⋯ ( n − m + 1 ) n(n-1)\cdots(n-m+1) n(n−1)⋯(n−m+1)相似
分析
-
一般地,对于某个公式 f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x),将公式两端的 x x x替换为其他式子 α ( x ) \alpha(x) α(x)( α ( x ) \alpha(x) α(x)仍然在 f , g f,g f,g的定义域内),则等式仍然成立
-
因此,将已知的函数的泰勒公式或Maclaurin公式两端的 x x x替换为某个定义域内的函数或式子 α ( x ) \alpha(x) α(x),公式仍然成立,
- 例如公式(5-1)将 x x x替换为 − x -x −x后得到公式(5-2)
-
对于 f ( x ) f(x) f(x)在 x = 0 x=0 x=0处展开的泰勒公式(即Maclaurin公式),用 u ( x ) = x − x 0 u(x)=x-x_0 u(x)=x−x0替换 x x x,得到 f ( u ) f(u) f(u)= f ( x − x 0 ) f(x-x_0) f(x−x0)在 x = x 0 x=x_0 x=x0处展开的泰勒公式
-
若能 f ( x ) f(x) f(x)和 f ( x − x 0 ) f(x-x_0) f(x−x0)相差一个已知或易求的因式 d = d ( x ) d=d(x) d=d(x),即 f ( x ) = d f ( x − x 0 ) f(x)=df(x-x_0) f(x)=df(x−x0),那么可以通过 f ( x ) f(x) f(x)的Maclaurin公式直接推得 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x 0 x=x_0 x=x0处的泰勒公式: d f ( x − x 0 ) df(x-x_0) df(x−x0)
- 例如,求
y
=
e
x
y=e^{x}
y=ex在
x
0
=
−
1
x_0=-1
x0=−1处的泰勒公式(Lagrange型)
- e x − x 0 e^{x-x_0} ex−x0= e x + 1 e^{x+1} ex+1,由 e x e^{x} ex= ∑ i = 0 n 1 i ! x i \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}x^{i} ∑i=0ni!1xi+ e ξ ( n + 1 ) ! x n + 1 \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}{x^{n+1}} (n+1)!eξxn+1,可知 e x + 1 e^{x+1} ex+1= ∑ i = 0 n 1 i ! ( x + 1 ) i \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}(x+1)^{i} ∑i=0ni!1(x+1)i+ e ξ ( n + 1 ) ! ( x + 1 ) n + 1 \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}{(x+1)^{n+1}} (n+1)!eξ(x+1)n+1, ξ \xi ξ为在 x , x 0 = − 1 x,x_0=-1 x,x0=−1之间的某个数
- 从而 e x e^{x} ex= e − 1 e x + 1 e^{-1}e^{x+1} e−1ex+1= ∑ i = 0 n e − 1 1 i ! ( x + 1 ) i \sum_{i=0}^{n}e^{-1}\frac{1}{i!}(x+1)^{i} ∑i=0ne−1i!1(x+1)i+ e ξ − 1 ( n + 1 ) ! ( x + 1 ) n + 1 \frac{e^{\xi-1}}{(n+1)!}{(x+1)^{n+1}} (n+1)!eξ−1(x+1)n+1, ξ \xi ξ为在 x , x 0 = − 1 x,x_0=-1 x,x0=−1之间的某个数
- 例如,求
y
=
e
x
y=e^{x}
y=ex在
x
0
=
−
1
x_0=-1
x0=−1处的泰勒公式(Lagrange型)
记忆👺
-
其中偶(奇)函数的展开式也是偶(奇)函数
- 例如 cos x , sec x \cos{x},\sec{x} cosx,secx的展开式也表示为偶函数
-
第一项(常数项)和一次项的确定(实际上是 x 0 , x 1 x^{0},x^{1} x0,x1的系数的确定)
-
根据Maclaurin公式中,常数项是 f ( 0 ) f(0) f(0),不需要求导就可以计算立马判断处常数项是否为0
-
例如: e x e^{x} ex= 1 + ⋯ 1+\cdots 1+⋯; ( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m= 1 1 1; 1 1 − x = 1 + ⋯ \frac{1}{1-x}=1+\cdots 1−x1=1+⋯; cos x = 1 + ⋯ \cos{x}=1+\cdots cosx=1+⋯; sec x = 1 + ⋯ \sec{x}=1+\cdots secx=1+⋯
-
常数项 f ( 0 ) f(0) f(0) 一次项 f ′ ( 0 ) x f'(0)x f′(0)x e x e^{x} ex 1 x x x ( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m 1 m x mx mx 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1 1 x x x 1 1 + x \frac{1}{1+x} 1+x1 1 − x -x −x cos x \cos{x} cosx 1 0 sec x \sec{x} secx 1 0 sin x \sin{x} sinx 0 x x x ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln(1+x) 0 x x x tan x \tan{x} tanx 0 x x x arcsin x \arcsin{x} arcsinx 0 x x x arctan x \arctan{x} arctanx 0 x x x
-
-
-
公式3,4有时也写作
-
sin
x
\sin{x}
sinx=
x
−
1
3
!
x
3
+
1
5
!
x
5
−
1
7
!
x
7
x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7}
x−3!1x3+5!1x5−7!1x7+
⋯
\cdots
⋯+
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}
(2n+1)!(−1)nx2n+1+
o
(
x
2
n
+
2
)
o(x^{2n+2})
o(x2n+2)
- 余项前的一项的幂是奇次幂 k k k即可( 2 n + 1 2n+1 2n+1或 2 n − 1 2n-1 2n−1),Peano余项的幂次数可以 o ( x k ) o(x^{k}) o(xk)或 o ( x k + 1 ) o(x^{k+1}) o(xk+1)
-
cos
x
\cos{x}
cosx=
1
−
1
2
!
x
2
+
1
4
!
x
4
−
1
6
!
x
6
1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^{6}
1−2!1x2+4!1x4−6!1x6+
⋯
\cdots
⋯+
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}
(2n)!(−1)nx2n+
o
(
x
2
n
+
1
)
o(x^{2n+1})
o(x2n+1)
- 余项前的一项的幂是偶次幂,通常表示为 2 n 2n 2n,Peano余项的幂次数可以是 o ( x 2 n ) o(x^{2n}) o(x2n)或 o ( x 2 n + 1 ) o(x^{2n+1}) o(x2n+1)
-
sin
x
\sin{x}
sinx=
x
−
1
3
!
x
3
+
1
5
!
x
5
−
1
7
!
x
7
x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7}
x−3!1x3+5!1x5−7!1x7+
⋯
\cdots
⋯+
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}
(2n+1)!(−1)nx2n+1+
o
(
x
2
n
+
2
)
o(x^{2n+2})
o(x2n+2)
-
其中余项不是 o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)的公式都是经过简并后的公式(把值为0的项消去后,剩下的项重新编排 i = 1 , 2 , ⋯ i=1,2,\cdots i=1,2,⋯)
幂型展开
-
( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m的展开公式和二项式定理 ∑ i = 0 m ( n i ) x i \sum_{i=0}^{m}\binom{n}{i}x^{i} ∑i=0m(in)xi,其中 ( n i ) = n ! ( n − i ) ! i ! \binom{n}{i}=\frac{n!}{(n-i)!i!} (in)=(n−i)!i!n!是相仿的
- 然而,Maclaurin公式不要求 m m m是正整数,可以是非整数
- 如果是 m ∈ N + m\in\mathrm{N}_{+} m∈N+,容易得出余项会是0的结论
-
当 m = − 1 m=-1 m=−1时,从式(5)可以得到式(5-1);再将 x x x用 − x -x −x代替,得到(5-2)
-
更一般的,对于 f ( x ) = ( a x + b ) − 1 f(x)=(ax+b)^{-1} f(x)=(ax+b)−1的展开公式,可以作变形: f ( x ) f(x) f(x)= b ( a b x + 1 ) − 1 b(\frac{a}{b}x+1)^{-1} b(bax+1)−1= b ( 1 − ( − a b x ) ) − 1 b(1-(-\frac{a}{b}x))^{-1} b(1−(−bax))−1
-
由式(5)或者直接由式(5-2)可知, f ( x ) f(x) f(x)= b ( ∑ i = 0 n ( − a b x ) i ) b(\sum_{i=0}^{n}(-\frac{a}{b}x)^{i}) b(∑i=0n(−bax)i)+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
-
由于(5-2)式比(5-1)式是可以相互转换的,(5-2)式展开式中不需要关心各项的符号),通过 1 1 − ( − x ) \frac{1}{1-(-x)} 1−(−x)1转换成 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1的形式
-
因此我们重点应用(5-2)式
-
通项
-
高阶导数为0的某些函数因为消去了0项,其Maclaurin公式的余项并不表示为 o ( x n ) o(x^{n}) o(xn),其通项也可以由不同的式子表示
-
合理地归纳前若干项就不难得出通项,重点选择项的编号顺序:按"0,1,2, ⋯ \cdots ⋯,n"还是按"1,2, ⋯ \cdots ⋯,n"的顺序编号,例如 sin x \sin{x} sinx的Maclaurin公式,分别可以归纳出通项公式: ( − 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 (-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1} (−1)n(2n+1)!1x2n+1,和 ( − 1 ) n − 1 1 ( 2 n − 1 ) ! x 2 n − 1 (-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1} (−1)n−1(2n−1)!1x2n−1
-
对于 sin x , cos x \sin{x},\cos{x} sinx,cosx,的Maclaurin公式,还可以选择将第一个非0次幂的项编为第 n = 1 n=1 n=1项
公式的应用
- 注意到,上述公式挂等号的前提是带上余项,反之,带上余项的展开式可以直接被展开来参与某这些运算(比如求极限)
例
-
例:设 f ( x ) = 1 1 − x 2 f(x)=\frac{1}{1-x^2} f(x)=1−x21,求 f ( 99 ) ( x ) f^{(99)}(x) f(99)(x)
- f ( x ) f(x) f(x)= ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n \sum_{n=0}^{\infin}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n ∑n=0∞n!f(n)(0)xn,该展开式的 x 99 x^{99} x99的系数对应的是 f ( 99 ) ( 0 ) 99 ! \frac{f^{(99)}(0)}{99!} 99!f(99)(0)
- 而 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1= ∑ i = 0 ∞ x i \sum_{i=0}^{\infin}x^{i} ∑i=0∞xi; f ( x ) f(x) f(x)= ∑ i = 0 ∞ x 2 i \sum_{i=0}^{\infin}x^{2i} ∑i=0∞x2i= 1 + x 2 + x 4 + ⋯ 1+x^2+x^4+\cdots 1+x2+x4+⋯
- 可见, f ( x ) f(x) f(x)的展开式中, x x x的奇数次幂都是0为系数,而偶次幂系数都为1
- 从而 x ( 99 ) x^{(99)} x(99)的系数为0,从而 f ( 99 ) ( 0 ) 99 ! \frac{f^{(99)}(0)}{99!} 99!f(99)(0)=0,即 f ( 99 ) ( 0 ) = 0 f^{(99)}(0)=0 f(99)(0)=0
-
若 g ( x ) = x f ( x ) g(x)=xf(x) g(x)=xf(x)= x 1 − x 2 \frac{x}{1-x^2} 1−x2x
- 则 g ( x ) g(x) g(x)= x ( ∑ i = 0 ∞ x 2 i ) x(\sum_{i=0}^{\infin}x^{2i}) x(∑i=0∞x2i)= x ( 1 + x 2 + x 4 + ⋯ ) x(1+x^2+x^4+\cdots) x(1+x2+x4+⋯)= x + x 3 + x 5 + ⋯ x+x^3+x^{5}+\cdots x+x3+x5+⋯
- 可见, x ( 99 ) x^{(99)} x(99)的系数为1,从而 f ( 99 ) ( 0 ) 99 ! = 1 \frac{f^{(99)}(0)}{99!}=1 99!f(99)(0)=1,即 f ( 99 ) ( 0 ) = 99 ! f^{(99)}(0)=99! f(99)(0)=99!
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2022-10-21 PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度