AM@三角幂之积函数的积分

abstract

• 利用第一换元法和三角恒等变换变形,对三角函数幂之积函数进行积分

简单三角@倒数三角函数积分

• $\int \tan x\mathrm{d}x$=$\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x$=$\int \frac{-\mathrm{d}\cos x}{\cos x}$=$-\ln |\cos x|+C$
• $\int \csc x\mathrm{d}x$=$\int \frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x$=$\int \frac{1}{2\sin \frac{1}{2}x\cos \frac{1}{2}x}\mathrm{d}x$
  • =$\int \frac{1}{\sin \frac{1}{2}x\cos \frac{1}{2}x}\mathrm{d}(\frac{1}{2}x)$ 凑微分
  • =$\int \frac{1}{\tan \frac{1}{2}x{\cos }^2\frac{1}{2}x}\mathrm{d}(\frac{1}{2}x)$ ¹
  • =$\int \frac{1}{\tan \frac{1}{2}x}{\sec }^2(\frac{1}{2}x)\mathrm{d}(\frac{1}{2}x)$ ²
  • =$\int \frac{1}{\tan \frac{1}{2}x}\mathrm{d}\tan \frac{1}{2}x$=$\ln |\tan \frac{1}{2}x|+C$ 半角表示法
  • =$\ln |\csc x-\cot x|+C$ ³单倍角表示法
• $f\sec x\mathrm{d}x$=$\int \csc (x+\frac{\pi }{2})\mathrm{d}(x+\frac{\pi }{2})$ ⁴
  • =$\ln |\csc (x+\frac{\pi }{2})-\cot (x+\frac{\pi }{2})|+C$
  • =$\ln |\sec x+\tan x|+C$ ⁵

n次幂型的积分

• 三角函数n次幂的积分类型函数,形如$t^n(x)\mathrm{d}x$或$t^n(kx)\mathrm{d}x$(0)
  1. 不同于$t^n(x)\mathrm{d}(t(x))$,这类积分本质是$u^n\mathrm{d}u$,即$\int t^n(x)\mathrm{d}(t(x))$=$\frac{1}{n+1}{t}^{n+1}(x)+C$
  2. 当$t^{\prime }(x)$不是常数时,情况比较复杂,需要通过变形等手段化为上一种换元幂函数积分简单情形

三角函数幂之积的积分

• 这里主要指$\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}x\mathrm{d}x$型,$\int {\tan }^{m}x{\sec }^{n}x\mathrm{d}x$的部分类型($m$为偶数且n为奇数以外的情况)
• 总体思路是将高次三角函数幂转换为低次$k$倍角的幂之和,最终用逐项积分的方式求积分
• 基本分类:
  • $m,n$中至少有一个奇数
  • $m,n$全为偶数(包括0)

三角$n$次幂型积分

• 对于$t(x)$是三角函数时,例如$t(x)={\sin }^{n}x$或${\cos }^{n}x$,相当于上述幂之积型函数的$m,n$中的一个取0
• 即,此类问题是幂之积类型的一个特例,方法和幂之积型是一样的

类型1

• 一般地,对于${\sin }^{2k+1}x{\cos }^{n}x$或${\sin }^{n}x{\cos }^{2k+1}x$,$(k\in \mathbb{N})$型函数的积分,可分别用变换:$u=\cos x$或$u=\sin x$
• 这种类型相对简单,因为总能够通过${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$,将函数名统一,去括号,并转化为若干$t^n(x)\mathrm{d}(t(x))$的积分问题解决

例

• $\int {\sin }^{3}x\mathrm{d}x$=$\int {\sin }^{2}x\sin x\mathrm{d}x$=$-\int (1-{\cos }^{2}x)\mathrm{d}(\cos x)$=$-(\cos x-\frac{1}{3}{\cos }^{3}x)+C$=$-\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+C$
• $\int {\cos }^{3}x\mathrm{d}x$=$\int {\cos }^{2}x\mathrm{d}(\sin x)$=$\int (1-{\sin }^{2}x)\mathrm{d}(\sin x)$=$\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x+C$
• $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{5}x\mathrm{d}x$=$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{4}x\cos x\mathrm{d}x$=$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{4}x\mathrm{d}(\sin x)$ 凑三角微分⁶
  • =$\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x{)}^2\mathrm{d}(\sin x)$ 函数名归一
  • =$\int ({\sin }^{2}x-2{\sin }^{4}x+{\sin }^{6}x)\mathrm{d}(\sin x)$ 展开为多项式
  • =$\frac{1}{3}{\sin }^{3}x-\frac{2}{5}{\sin }^{5}x+\frac{1}{7}{\sin }^{7}x+C$ 逐项积分得结果

类型2

• 一般地,对于$f(x)={\sin }^{2k}x{\cos }^{2l}x$,$(k,l\in \mathbb{N})$型函数,总是可以利用三角恒等式:
  • ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$
  • ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$
• 将$f(x)$化为$\cos 2x$的多项式,然后展开(去括号),得到关于$\cos 2mx$的幂之和.
• 合理组合各项,将问题转换为类型一,逐项积分

例

• $\int {\cos }^{2}x\mathrm{d}x$=$\int \frac{1}{2}(1+\cos 2x)\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}(\int 1\mathrm{d}x+\int \cos 2x\mathrm{d}x)$=$\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\int \cos 2x\mathrm{d}(2x))$=$\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x)+C$=$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

• $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{4}x\mathrm{d}x$=$\frac{1}{8}\int (1-\cos 2x)(1+\cos 2x{)}^2\mathrm{d}x$ 三角幂降次

  • =$\frac{1}{8}\int (1+\cos 2x-{\cos }^{2}2x-{\cos }^{3}2x)\mathrm{d}x$ 展开括号

  • =$\frac{1}{8}\int (\cos 2x-{\cos }^{3}2x)\mathrm{d}x$+$\frac{1}{8}\int (1-{\cos }^{2}2x)\mathrm{d}x$ 分组积分(2部分)⁷

  • =$\frac{1}{8}\int (\cos 2x(1-{\cos }^{2}2x))\mathrm{d}x$+$\frac{1}{8}\int (1-\frac{1}{2}(1+\cos 4x))\mathrm{d}x$

  • =$\frac{1}{8}\int \cos 2x{\sin }^{2}2x\mathrm{d}x$+$\frac{1}{8}\int (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 4x)\mathrm{d}x$ 第一部分转化为类型一的问题

  • =$\frac{1}{8}\frac{1}{2}\int {\sin }^{2}2x\mathrm{d}(\sin 2x)$+$\frac{1}{8}(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\frac{1}{4}\sin 4x)$ 逐项积分即可

  • =$\frac{1}{16}\frac{1}{3}{\sin }^{3}2x$+$\frac{1}{16}x-\frac{1}{64}\sin 4x+C$

  • =$\frac{1}{48}{\sin }^{3}2x+\frac{x}{16}-\frac{1}{64}\sin 4x+C$

类型3

• 一般地,对于${\tan }^{n}x{\sec }^{2k}x$或${\tan }^{2k-1}x{\sec }^{n}x$,$(n,k\in {\mathrm{N}}_{+})$型函数的积分,依次作变换$u=\tan x$或$u=\sec x$
  • 即,奇次正切,偶次正割
• $\int {\sec }^{6}x\mathrm{d}x$=$\int ({\sec }^{2}x{)}^2{\sec }^{2}x\mathrm{d}x$=$\int (1+{\tan }^{2}x{)}^2\mathrm{d}(\tan x)$=$\int (1+2{\tan }^{2}x+{\tan }^{4}x)\mathrm{d}(\tan x)$=$\tan x+\frac{2}{3}{\tan }^{3}x+\frac{1}{5}{\tan }^{5}x+C$
• $\int {\tan }^{5}x{\sec }^{3}x\mathrm{d}x$=$\int {\tan }^{4}x{\sec }^{2}x\sec x\tan x\mathrm{d}x$=$\int {\tan }^4{\sec }^{2}x\mathrm{d}(\sec x)$
  • =$\int ({\sec }^{2}x-1{)}^2{\sec }^{2}x\mathrm{d}(\sec x)$
  • =$\int ({\sec }^{6}x-2{\sec }^{4}x+{\sec }^{2}x)\mathrm{d}(\sec x)$
  • =$\frac{1}{7}{\sec }^{7}x-\frac{2}{5}{\sec }^{5}x+\frac{1}{3}{\sec }^{3}x+C$

积化和差型

• 能够使用积化和差公式的三角函数构成的表达式,通过积化和差,将问题转化为倍角三角函数,逐项积分即可

• 例如$\cos mx\cos nx$=$\frac{1}{2}(\cos ((m+n)x)+\cos ((m-n)x))$

• $\int \cos 3x\cos 2x\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}\int (\cos 5x+\cos x)\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{5}\sin 5x+\sin x)+C$=$\frac{1}{\sin }x+\frac{1}{10}\sin 5x+C$

  • $\cos 3x\cos 2x$=$\frac{1}{2}(\cos (3x+2x)+\cos (3x-2x))$=$\frac{1}{2}(\cos 5x+\cos x)$

本文注脚

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1. $\sin x=\tan x\cos x$​,所以$\sin x\cos x$​=$\tan x{\cos }^{2}x$​,从而$\sin \frac{1}{2}x\cos \frac{1}{2}x$​=$\tan \frac{1}{2}x{\cos }^2\frac{1}{2}x$​ ↩︎

2. $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$ ↩︎

3. $\tan \frac{x}{2}$=$\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$=$\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}\sin x}$=$\frac{(1-\cos x)}{\sin x}$=$\csc x-\cot x$ ↩︎

4. $\sec x=\frac{1}{\cos x}$=$\frac{1}{\sin (x+\frac{\pi }{2})}$=$\csc (x+\frac{\pi }{2})$ ↩︎

5. $\csc (x+\frac{\pi }{2})$​=$\frac{1}{\sin (x+\frac{\pi }{2})}$​=$\frac{1}{\cos x}$​=$\sec x$​;$\cot (x+\frac{\pi }{2})$​=$\frac{\cos (x+\frac{\pi }{2})}{\sin (x+\frac{\pi }{2})}$​=$\frac{-\sin x}{\cos x}$​=$-\tan x$​ ↩︎

6. 使得被积函数变为双偶型,且积分变量变为$u=\sin x$以便使用第一换元法$\int f(u)\mathrm{d}u$进行积分($f(u)$是关于$u$的带系数幂$(k{u}^{\theta })$,$k,\theta \in \mathbb{N}$); ↩︎

7. 如果直接逐项展开,则因为被积式中包含$t^n(kx)$型函数,$t^n(kx)\mathrm{d}x$不容易积分,此处将其组合,并利用三角恒等式将问题转化为类型1,比较容易积分 ↩︎