AM@第二类换元法积分

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abstract

  • 第二类换元法(简称第二换元法)的原理和应用

第一类换元法

  • 通过变量代换 u = ϕ ( x ) u=\phi(x) u=ϕ(x), ∫ f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) d x \int{f(\phi(x))\phi'(x)}\mathrm{d}x ∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx= ∫ f ( u ) d u \int{f(u)\mathrm{d{u}}} ∫f(u)du,这类换元法的运用比较注重被积函数的形式变形和凑微分的能力,某些时候难以达成应用此类换元法的条件

第二类换元法

分析

  • 通过变量代换 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t),则 ∫ f ( x ) d x \int{f(x)\mathrm{d}x} ∫f(x)dx= ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t \int{f(\phi(t))}\phi'(t)\mathrm{d}t ∫f(ϕ(t))ϕ′(t)dt(0)
  • 条件:
    • 等式右边的不定积分存在(即 f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) f(\phi(t))\phi'(t) f(ϕ(t))ϕ′(t)存在原函数)
    • 设积分变量为 t t t积分后的结果为 T ( t ) T(t) T(t),需要回代 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)的反函数 t = ϕ − 1 ( x ) t=\phi^{-1}(x) t=ϕ−1(x),得到关于变量 x x x的结果
      • 为了保证反函数存在且可导,这里假定:直接函数 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)在某个区间 D ϕ D_{\phi} Dϕ​上是单调可导的,且 ϕ ′ ( t ) ≠ 0 \phi'(t)\neq{0} ϕ′(t)=0
      • 这里 D ϕ D_{\phi} Dϕ​区间和 D f D_{f} Df​区间通过 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)相对应

定理👺

  • 归纳成定理:设 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)是单调可导函数,并且 ϕ ′ ( t ) ≠ 0 \phi'(t)\neq{0} ϕ′(t)=0( ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)不是常数),又设 f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) f(\phi(t))\phi'(t) f(ϕ(t))ϕ′(t)具有原函数(可积),则有换元公式: ∫ f ( x ) d x \int{f(x)\mathrm{d}x} ∫f(x)dx= [ ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t ] t = ϕ − 1 ( x ) [\int{f(\phi(t))}\phi'(t)\mathrm{d}t]_{t=\phi^{-1}(x)} [∫f(ϕ(t))ϕ′(t)dt]t=ϕ−1(x)​(0-1)

    • 其中 t = ϕ − 1 ( x ) t=\phi^{-1}(x) t=ϕ−1(x)是 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)的反函数

证明

  • 延续定理中的符号和条件说明进行证明
  • 设 f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) f(\phi(t))\phi'(t) f(ϕ(t))ϕ′(t)的原函数为 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t),(即 ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t \int{f(\phi(t))\phi'(t)}\mathrm{d}t ∫f(ϕ(t))ϕ′(t)dt= Φ ( t ) + C \Phi(t)+C Φ(t)+C)
    • 为了便于叙述,记 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)= Φ ( ϕ − 1 ( x ) ) \Phi(\phi^{-1}(x)) Φ(ϕ−1(x))= F ( x ) F(x) F(x)(1)
    • 只需要证明 F ( x ) F(x) F(x)是 f ( x ) f(x) f(x)的原函数,也就证明了 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)是 f ( x ) f(x) f(x)的原函数
  • 由复合函数及反函数求导法则,对(1)两边关于 x x x求导
    • 左边: d Φ d t ⋅ d t d x \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\cdot{\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}} dtdΦ​⋅dxdt​= f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) ⋅ 1 ϕ ′ ( t ) f(\phi(t))\phi'(t)\cdot{\frac{1}{\phi'(t)}} f(ϕ(t))ϕ′(t)⋅ϕ′(t)1​= f ( ϕ ( t ) ) f(\phi(t)) f(ϕ(t))= f ( x ) f(x) f(x)
    • 右边: F ′ ( x ) F'(x) F′(x)
  • 从而 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x),说明 F ( x ) F(x) F(x)是 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数,即 ∫ f ( x ) d x \int{f(x)\mathrm{d}x} ∫f(x)dx= F ( x ) + C F(x)+C F(x)+C= Φ ( ϕ − 1 ( x ) ) + C \Phi(\phi^{-1}(x))+C Φ(ϕ−1(x))+C= Φ ( t ) + C \Phi(t)+C Φ(t)+C= [ ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t ] t = ϕ − 1 ( x ) [\int{f(\phi(t))}\phi'(t)\mathrm{d}t]_{t=\phi^{-1}(x)} [∫f(ϕ(t))ϕ′(t)dt]t=ϕ−1(x)​

第二类换元公式的应用

  • 实际应用中,合适的代换 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)可能不容易看出

    • 往往 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)的反函数 t = ψ ( x ) = ϕ − 1 ( x ) t=\psi(x)=\phi^{-1}(x) t=ψ(x)=ϕ−1(x)是容易建立的
    • 再从 t = ψ ( x ) = ϕ − 1 ( x ) t=\psi(x)=\phi^{-1}(x) t=ψ(x)=ϕ−1(x)计算反函数得: x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)

  • 第二换元法比较适用于难以凑微分(第一换元法难以应用)的情况下,比如和基本积分表中相差较远的根式函数

倒代换

  • 消去被积函数的分母中的变量因子 x x x
  • ∫ a 2 − x 2 x 4 d x \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}}\mathrm{d}x ∫x4a2−x2 ​​dx, ( a ≠ 0 ) (a\neq{0}) (a=0)
    • 令 x = t − 1 x=t^{-1} x=t−1,则 d x \mathrm{d}x dx= − t − 2 d t -t^{-2}\mathrm{d}t −t−2dt
    • ∫ a 2 − x 2 x 4 d x \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}}\mathrm{d}x ∫x4a2−x2 ​​dx= ∫ a 2 − t − 2 t − 4 ( − t − 2 ) d t \int{\frac{\sqrt{a^2-t^{-2}}}{t^{-4}}}(-t^{-2})\mathrm{d}t ∫t−4a2−t−2 ​​(−t−2)dt
      • = − ∫ a 2 − t − 2 t − 2 d t -\int{\frac{\sqrt{a^2-t^{-2}}}{t^{-2}}}\mathrm{d}t −∫t−2a2−t−2 ​​dt= − ∫ ( a 2 − t − 2 ) t 4 d t -\int{\sqrt{(a^2-t^{-2})t^{4}}}\mathrm{d}t −∫(a2−t−2)t4 ​dt= − ∫ a 2 t 4 − t 2 d t -\int{\sqrt{a^2t^4-t^2}}\mathrm{d}t −∫a2t4−t2 ​dt= − ∫ ∣ t ∣ a 2 t 2 − 1 d t -\int{|t|\sqrt{a^2t^2-1}}\mathrm{d}t −∫∣t∣a2t2−1 ​dt
    • 当 x > 0 x>0 x>0,即 t > 0 t>0 t>0时,有
      • − ∫ ∣ t ∣ a 2 t 2 − 1 d t -\int{|t|\sqrt{a^2t^2-1}}\mathrm{d}t −∫∣t∣a2t2−1 ​dt= − ∫ ( a 2 t 2 − 1 ) 1 / 2 t d t -\int{({a^2t^2-1})^{1/2}}t\mathrm{d}t −∫(a2t2−1)1/2tdt
        • = − 1 2 ∫ ( a 2 t 2 − 1 ) 1 / 2 d t 2 -\frac{1}{2}\int{({a^2t^2-1})^{1/2}}\mathrm{d}t^2 −21​∫(a2t2−1)1/2dt2= − 1 2 a 2 ∫ ( a 2 t 2 − 1 ) 1 / 2 d ( a 2 t 2 − 1 ) -\frac{1}{2a^2}\int{({a^2t^2-1})^{1/2}}\mathrm{d}(a^2t^2-1) −2a21​∫(a2t2−1)1/2d(a2t2−1)= − 1 2 a 2 ⋅ 2 3 ( a 2 t 2 − 1 ) 3 2 + C -\frac{1}{2a^2}\cdot{\frac{2}{3}(a^2t^2-1)^\frac{3}{2}}+C −2a21​⋅32​(a2t2−1)23​+C
        • = − 1 3 a 2 ( ( a 2 t 2 − 1 ) 3 2 ) + C -\frac{1}{3a^2}({(a^2t^2-1)^\frac{3}{2}})+C −3a21​((a2t2−1)23​)+C= − 1 3 a 2 ( ( a 2 x − 2 − 1 ) 3 2 ) + C -\frac{1}{3a^2}({(a^2x^{-2}-1)^\frac{3}{2}})+C −3a21​((a2x−2−1)23​)+C
        • = − 1 3 a 2 ( a 2 − x 2 x 2 ) 3 2 + C -\frac{1}{3a^2}(\frac{a^2-x^2}{x^{2}})^\frac{3}{2}+C −3a21​(x2a2−x2​)23​+C= − 1 3 a 2 x 3 ( a 2 − x 2 ) 3 2 + C -\frac{1}{3a^2{x^{3}}}({a^2-x^2})^{\frac{3}{2}}+C −3a2x31​(a2−x2)23​+C

三角恒等化去根式

其他使用第二换元法情形

例

  • ∫ x − 1 x d x \int\frac{\sqrt{x-1}}{x}dx ∫xx−1 ​​dx
    • 令 t = x − 1 t=\sqrt{x-1} t=x−1 ​; x = t 2 + 1 x=t^2+1 x=t2+1, d x \mathrm{d}x dx= 2 t d t 2t\mathrm{d}t 2tdt
    • ∫ x − 1 x d x \int\frac{\sqrt{x-1}}{x}dx ∫xx−1 ​​dx= ∫ t t 2 + 1 ⋅ 2 t d t \int{\frac{t}{t^2+1}}\cdot{2t}\mathrm{d}t ∫t2+1t​⋅2tdt= 2 ∫ ( 1 − 1 t 2 + 1 ) d t 2\int{(1-\frac{1}{t^2+1}})\mathrm{d}t 2∫(1−t2+11​)dt= 2 ( t − arctan ⁡ t ) + C 2(t-\arctan{t})+C 2(t−arctant)+C= 2 ( x − 1 − arctan ⁡ x − 1 ) + C 2(\sqrt{x-1}-\arctan{\sqrt{x-1}})+C 2(x−1 ​−arctanx−1 ​)+C

附加积分公式表

  • 在这里插入图片描述

  • 上述公式中有第二换元法推得的,而将它们作为积分公式后,则可以采用第一换元法的方式使用这些公式

  • 高清版本(typora渲染)附末尾

例

  • ∫ 1 4 x 2 + 9 d x \int{\frac{1}{\sqrt{4x^2+9}}}\mathrm{d}x ∫4x2+9 ​1​dx= ∫ 1 ( 2 x ) 2 + 3 2 d x \int{\frac{1}{\sqrt{(2x)^2+3^2}}}\mathrm{d}x ∫(2x)2+32 ​1​dx= 1 2 ∫ 1 ( 2 x ) 2 + 3 2 d ( 2 x ) \frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{(2x)^2+3^2}}}\mathrm{d}(2x) 21​∫(2x)2+32 ​1​d(2x)= 1 2 ln ⁡ ( 2 x + 4 x 2 + 9 ) + C \frac{1}{2}\ln(2x+\sqrt{4x^2+9})+C 21​ln(2x+4x2+9 ​)+C

  • ∫ 1 1 + x − x 2 d x \int{\frac{1}{\sqrt{1+x-x^2}}}\mathrm{d}x ∫1+x−x2 ​1​dx

    • 一元二次多项式,总是可以配方成 ( x − a ) 2 + h (x-a)^2+h (x−a)2+h, ( h = ( c ) 2 ) (h=(\sqrt{c})^2) (h=(c ​)2)或 ( h = − c 2 ) (h=-\sqrt{c}^2) (h=−c ​2)
    • 1 + x − x 2 1+x-x^2 1+x−x2= − ( x − 1 2 ) 2 + 5 4 -(x-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4} −(x−21​)2+45​= ( 5 4 ) 2 − ( x − 1 2 ) 2 (\sqrt{\frac{5}{4}})^2-(x-\frac{1}{2})^2 (45​ ​)2−(x−21​)2
    • ∫ 1 1 + x − x 2 d x \int{\frac{1}{\sqrt{1+x-x^2}}}\mathrm{d}x ∫1+x−x2 ​1​dx= ∫ 1 ( 5 4 ) 2 − ( x − 1 2 ) 2 d x \int{\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{\frac{5}{4}})^2-(x-\frac{1}{2})^2}}}\mathrm{d}x ∫(45​ ​)2−(x−21​)2 ​1​dx= ∫ 1 ( 5 4 ) 2 − ( x − 1 2 ) 2 d ( x − 1 2 ) \int{\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{\frac{5}{4}})^2-(x-\frac{1}{2})^2}}}\mathrm{d}(x-\frac{1}{2}) ∫(45​ ​)2−(x−21​)2 ​1​d(x−21​)= arcsin ⁡ x − 1 2 5 / 2 + C \arcsin{\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{5}/2}}+C arcsin5 ​/2x−21​​+C= arcsin ⁡ 2 x − 1 5 + C \arcsin{\frac{2x-1}{\sqrt{5}}}+C arcsin5 ​2x−1​+C

附

  		• - | $f(x)$,$(a>0)$             | $\int{f(x)\mathrm{d}x}$              | 换元法(第一/二换元法) | Notes                                       |
    		  | -------------------------- | ------------------------------------ | --------------------- | ------------------------------------------- |
    		  | $\tan{x}$                  | $-\ln|\cos{x}|+C$                    | 一                    |                                             |
    		  | $\cot{x}$                  | $\ln|\sin{x}|+C$                     | 一                    |                                             |
    		  | $\sec{x}$                  | $\ln|\sec{x}+\tan{x}|+C$             | 一                    |                                             |
    		  | $\csc{x}$                  | $\ln|\csc{x}-\cot{x}|+C$             | 一                    |                                             |
    		  | $\frac{1}{a^2+x^2}$        | $\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C$  | 一                    |                                             |
    		  | $\frac{1}{x^2-a^2}$        | $\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$ | 一                    | $x\neq{\pm a}$                              |
    		  | $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ | $\arcsin{\frac{x}{a}}+C$             | 一                    | $-a<x<a$                                    |
    		  | $\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$ | $\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$            | 二                    |                                             |
    		  | $\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$ | $\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$            | 二                    | $x<-a$,$x>a$<br />结合定义域,注意公式绝对值 |
  • f ( x ) f(x) f(x), ( a > 0 ) (a>0) (a>0) ∫ f ( x ) d x \int{f(x)\mathrm{d}x} ∫f(x)dx换元法(第一/二换元法)Notes
    tan ⁡ x \tan{x} tanx$-\ln\cos{x}+C$
    cot ⁡ x \cot{x} cotx$\ln\sin{x}+C$
    sec ⁡ x \sec{x} secx$\ln\sec{x}+\tan{x}+C$
    csc ⁡ x \csc{x} cscx$\ln\csc{x}-\cot{x}+C$
    1 a 2 + x 2 \frac{1}{a^2+x^2} a2+x21​ 1 a arctan ⁡ x a + C \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C a1​arctanax​+C一
    1 x 2 − a 2 \frac{1}{x^2-a^2} x2−a21​$\frac{1}{2a}\ln\frac{x-a}{x+a}+C$
    1 a 2 − x 2 \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} a2−x2 ​1​ arcsin ⁡ x a + C \arcsin{\frac{x}{a}}+C arcsinax​+C一 − a < x < a -a<x<a −a<x<a
    1 x 2 + a 2 \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} x2+a2 ​1​ ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C ln(x+x2+a2 ​)+C二
    1 x 2 − a 2 \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} x2−a2 ​1​$\lnx+\sqrt{x2-a2}+C$
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