AM@分部积分原理和应用
abstract
- 分部积分原理和应用
分部积分
-
利用函数乘积求导法则,得到的积分方法,称为分部积分法
-
正如每个导数公式都蕴含着一个积分公式,函数乘法求导公式也可以推出一个积分公式
-
设 u ( x ) , v ( x ) u(x),v(x) u(x),v(x)具有连续的导数,则两个函数乘积的导数公式为 ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)′=u′v+uv′
(1) -
移项可得 u v ′ uv' uv′= ( u v ) ′ − u ′ v (uv)'-u'v (uv)′−u′v
(2) -
两边同时求不定积分, ∫ u v ′ d x \int{uv'\mathrm{d}x} ∫uv′dx= u v − ∫ u ′ v d x uv-\int{u'v\mathrm{d}x} uv−∫u′vdx
(3),即 ∫ u d v \int{u\mathrm{d}v} ∫udv= u v − ∫ v d u uv-\int{v\mathrm{d}u} uv−∫vdu(3-1)- 可以读作
int(udv)=uv-int(vdu)
- 可以读作
-
公式(3),(3-1)称为分部积分公式;公式(3-1)等号左边是 ∫ u d v \int{u\mathrm{d}{v}} ∫udv,可直接读出 v v v,而公式(3)等号左边没有直接给出 v v v而是给出了 v ′ v' v′,需要自己计算 v v v,比如凑微分: v ′ d x v'\mathrm{d}x v′dx= d v \mathrm{d}v dv,从而转换为公式(3-1)
适用情形
- 当 ∫ u v ′ d v \int{uv'}\mathrm{d}v ∫uv′dv难以积分而 ∫ u ′ v d x \int{u'v\mathrm{d}x} ∫u′vdx容易积分,那么就可以利用分部积分公式计算 ∫ u v ′ d v \int{uv'}\mathrm{d}v ∫uv′dv
- 例:
∫
x
cos
x
d
x
\int{x\cos{x}\mathrm{d}x}
∫xcosxdx
- 取
u
,
v
′
u,v'
u,v′的方案有2种:
- u = x u=x u=x, v ′ = cos x v'=\cos{x} v′=cosx,此时 u ′ = 1 u'=1 u′=1, v = sin x v=\sin{x} v=sinx
- u = cos x u=\cos{x} u=cosx, v ′ = x v'=x v′=x,此时 u ′ = − sin x u'=-\sin{x} u′=−sinx, v = 1 2 x 2 v=\frac{1}{2}x^2 v=21x2
- 方案1:
∫
x
cos
x
d
x
\int{x\cos{x}\mathrm{d}x}
∫xcosxdx=
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
x
x\sin{x}-\int{\sin{x}\mathrm{d}{x}}
xsinx−∫sinxdx=
x
sin
x
+
cos
x
+
C
x\sin{x}+\cos{x}+C
xsinx+cosx+C
- 此方案合理
- 方案2:
∫
x
cos
x
d
x
\int{x\cos{x}\mathrm{d}x}
∫xcosxdx=
1
2
x
2
cos
x
\frac{1}{2}x^2\cos{x}
21x2cosx-
∫
(
−
sin
x
)
1
2
x
2
d
x
\int{(-\sin{x})\frac{1}{2}x^2}\mathrm{d}x
∫(−sinx)21x2dx
- 等号右端比原积分更不容易求出,此方案是不合理的
- 取
u
,
v
′
u,v'
u,v′的方案有2种:
u,v的选取和口诀
-
u u u和 d v \mathrm{d}v dv(即 v ′ v' v′)的选取考虑两点
- v v v容易求
- ∫ v d u \int{v\mathrm{d}u} ∫vdu比 ∫ u d v \int{u\mathrm{d}{v}} ∫udv容易积出
-
u u u的选取:以
反对幂三指作为选取 u u u的顺序反>对>幂>三>指- 反三角函数
- 对数函数
- 幂函数
- 三角函数
- 指数函数(通常不会选取指数函数作为u)
-
选取完 u u u后剩余部分为 v ′ v' v′
例
-
∫ x a x d x \int{xa^x}\mathrm{d}x ∫xaxdx= ∫ x d ( 1 ln a a x ) \int{x\mathrm{d}(\frac{1}{\ln{a}}a^x)} ∫xd(lna1ax)= 1 ln a ∫ x d a x + C \frac{1}{\ln{a}}\int{x\mathrm{d}a^x}+C lna1∫xdax+C
- 被积函数 x a x xa^{x} xax是幂函数和指数函数的乘积,在口诀序列种"幂>指",因此令 u = x u=x u=x, v ′ = a x v'=a^{x} v′=ax(即 d ( 1 ln a a x ) \mathrm{d}(\frac{1}{\ln{a}}a^{x}) d(lna1ax))
- ∫ x d a x \int{x\mathrm{d}a^x} ∫xdax= x a x − ∫ a x d x = x a x − 1 ln a a x xa^x-\int{a^x}\mathrm{d}x=xa^x-\frac{1}{\ln{a}}a^x xax−∫axdx=xax−lna1ax= ( x − 1 ln a ) a x + C (x-\frac{1}{\ln{a}})a^x+C (x−lna1)ax+C
-
∫
x
a
x
d
x
\int{xa^x}\mathrm{d}x
∫xaxdx=
1
ln
a
(
x
−
1
ln
a
)
a
x
+
C
\frac{1}{\ln{a}}(x-\frac{1}{\ln{a}})a^x+C
lna1(x−lna1)ax+C
- 特别地,当 t = e t=e t=e时: ∫ x e x d x = ( x − 1 ) e x + C \int{xe^x}\mathrm{d}x=(x-1)e^x+C ∫xexdx=(x−1)ex+C
-
∫ x 2 e x d x \int{x^2e^{x}}\mathrm{d}x ∫x2exdx= ∫ x 2 d e x \int{x^2\mathrm{d}e^{x}} ∫x2dex= x 2 e x x^2e^{x} x2ex- ∫ e x d x 2 \int{e^{x}\mathrm{d}x^2} ∫exdx2
-
∫ e x d x 2 \int{e^{x}\mathrm{d}x^2} ∫exdx2= ∫ e x 2 x d x \int{e^{x}2x{\mathrm{d}x}} ∫ex2xdx= 2 ∫ e x x d x 2\int{e^{x}x{\mathrm{d}x}} 2∫exxdx= 2 ∫ x d e x 2\int{x{\mathrm{d}e^{x}}} 2∫xdex= 2 ( x e x − ∫ e x d x ) 2(xe^{x}-\int{e^x}\mathrm{d}x) 2(xex−∫exdx)= 2 ( x e x − e x ) 2(xe^{x}-e^{x}) 2(xex−ex)= 2 e x ( x − 1 ) 2e^{x}(x-1) 2ex(x−1)
-
∫ x 2 e x d x \int{x^2e^{x}}\mathrm{d}x ∫x2exdx= x 2 e x x^2e^{x} x2ex- 2 e x ( x − 1 ) 2e^{x}(x-1) 2ex(x−1)= e x ( x 2 − 2 x + 2 ) + C e^{x}(x^2-2x+2)+C ex(x2−2x+2)+C
-
-
∫ x ln x d x \int{x\ln{x}}\mathrm{d}x ∫xlnxdx= 1 2 ∫ ln x d x 2 \frac{1}{2}\int{\ln{x}\mathrm{d}x^2} 21∫lnxdx2= 1 2 ( ln x ⋅ x 2 − ∫ x 2 d ln x ) \frac{1}{2}(\ln{x}\cdot{x^2}-\int{x^2}\mathrm{d}\ln{x}) 21(lnx⋅x2−∫x2dlnx)= 1 2 ( x ln x − ∫ x 2 1 x d x ) \frac{1}{2}(x\ln{x}-\int{x^2\frac{1}{x}\mathrm{d}x}) 21(xlnx−∫x2x1dx)= 1 2 x ln x − 1 4 x 2 + C \frac{1}{2}x\ln{x}-\frac{1}{4}x^2+C 21xlnx−41x2+C
-
∫ arcsin x d x \int{\arcsin{x}\mathrm{d}x} ∫arcsinxdx= arcsin x ⋅ x − ∫ x d arcsin x \arcsin{x}\cdot{x}-\int{x\mathrm{d}\arcsin{x}} arcsinx⋅x−∫xdarcsinx
- ∫ x d arcsin x \int{x\mathrm{d}\arcsin{x}} ∫xdarcsinx= ∫ x 1 1 − x 2 d x \int{x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x} ∫x1−x21dx= 1 2 ∫ 1 1 − x 2 d x 2 \frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\mathrm{d}x^2 21∫1−x21dx2= − 1 2 ∫ 1 1 − x 2 d ( 1 − x 2 ) -\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\mathrm{d}(1-x^2) −21∫1−x21d(1−x2)= − 1 2 ∫ ( 1 − x 2 ) − 1 2 d ( 1 − x 2 ) -\frac{1}{2}\int{({1-x^2})^{-\frac{1}{2}}}\mathrm{d}(1-x^2) −21∫(1−x2)−21d(1−x2)= − 1 2 ⋅ 2 ( 1 − x 2 ) 1 2 + C -\frac{1}{2}\cdot{2}(1-x^2)^{\frac{1}{2}}+C −21⋅2(1−x2)21+C= − 1 − x 2 + C -\sqrt{1-x^2}+C −1−x2+C
- ∫ arcsin x d x \int{\arcsin{x}\mathrm{d}x} ∫arcsinxdx= x arcsin x − 1 − x 2 + C x\arcsin{x}-\sqrt{1-x^2}+C xarcsinx−1−x2+C
-
∫ x arctan x d x \int{x\arctan{x}}\mathrm{d}x ∫xarctanxdx= 1 2 ( arctan x ⋅ x 2 − ∫ x 2 d arctan x ) \frac{1}{2}(\arctan{x}\cdot{x^2}-\int{x^2}\mathrm{d}\arctan{x}) 21(arctanx⋅x2−∫x2darctanx)
- ∫ x 2 d arctan x \int{x^2}\mathrm{d}\arctan{x} ∫x2darctanx= ∫ x 2 1 x 2 + 1 d x \int{x^2\frac{1}{x^2+1}}\mathrm{d}x ∫x2x2+11dx= ∫ ( 1 − 1 x 2 + 1 ) d x \int{(1-\frac{1}{x^2+1})}\mathrm{d}x ∫(1−x2+11)dx= x − arctan x + C x-\arctan{x}+C x−arctanx+C
- 1 2 ( arctan x ⋅ x 2 − x − arctan x ) + C \frac{1}{2}(\arctan{x}\cdot{x^2}-x-\arctan{x})+C 21(arctanx⋅x2−x−arctanx)+C= 1 2 arctan x ⋅ ( x 2 − 1 ) − 1 2 x + C \frac{1}{2}\arctan{x}\cdot(x^2-1)-\frac{1}{2}x+C 21arctanx⋅(x2−1)−21x+C
分部积分和方程式求积分
-
∫ e x sin x d x \int{e^{x}\sin{x}}\mathrm{d}x ∫exsinxdx= sin x ⋅ e x − ∫ e x ( cos x ) d x \sin{x}\cdot e^{x}-\int{e^{x}(\cos{x})\mathrm{d}{x}} sinx⋅ex−∫ex(cosx)dx
- 再次使用分部积分 ∫ e x cos x d x \int{e^x\cos{x}\mathrm{d}x} ∫excosxdx= cos x ⋅ e x − ∫ e x ( − sin x ) d x \cos{x}\cdot{e^x}-\int{e^{x}(-\sin{x}})\mathrm{d}x cosx⋅ex−∫ex(−sinx)dx
- 从而 ∫ e x sin x d x \int{e^{x}\sin{x}}\mathrm{d}x ∫exsinxdx= e x sin x − e x cos x − ∫ e x sin x d x e^{x}\sin{x}-e^{x}\cos{x}-\int{e^{x}\sin{x}}\mathrm{d}x exsinx−excosx−∫exsinxdx
- ∫ e x sin x d x \int{e^{x}\sin{x}}\mathrm{d}x ∫exsinxdx= 1 2 e x ( sin x − cos x ) + C \frac{1}{2}e^{x}(\sin{x}-\cos{x})+C 21ex(sinx−cosx)+C
-
∫ sec 3 x d x \int{\sec^3}x\mathrm{d}x ∫sec3xdx= ∫ sec x sec 2 x d x \int{\sec{x}\sec^2{x}}\mathrm{d}x ∫secxsec2xdx= ∫ sec x d ( tan x ) \int{\sec{x}\mathrm{d}(\tan{x})} ∫secxd(tanx)= sec x tan x \sec{x}\tan{x} secxtanx- ∫ tan x d ( sec x ) \int{\tan{x}\mathrm{d}(\sec{x})} ∫tanxd(secx)
- ∫ tan x d ( sec x ) \int{\tan{x}\mathrm{d}(\sec{x})} ∫tanxd(secx)= ∫ tan x sec x tan x d x \int{\tan{x}\sec{x}\tan{x}}\mathrm{d}x ∫tanxsecxtanxdx= ∫ sec x ( sec 2 x − 1 ) d x \int{\sec{x}(\sec^2{x}-1)}\mathrm{d}x ∫secx(sec2x−1)dx= ∫ ( sec 3 x − sec x ) d x \int{(\sec^3{x}-\sec{x})}\mathrm{d}x ∫(sec3x−secx)dx= ∫ sec 3 x d x − ∫ sec x d x \int{\sec^{3}x}\mathrm{d}x-\int{\sec{x}\mathrm{d}x} ∫sec3xdx−∫secxdx
- ∫ sec x d x \int{\sec{x}\mathrm{d}x} ∫secxdx= ln ∣ sec x + tan x ∣ + C \ln|\sec{x}+\tan{x}|+C ln∣secx+tanx∣+C
- ∫ sec 3 x d x \int{\sec^3}x\mathrm{d}x ∫sec3xdx= sec x tan x − ( ∫ sec 3 x d x − ln ∣ sec x + tan x ∣ ) \sec{x}\tan{x}-(\int{\sec^3}x\mathrm{d}x-\ln|\sec{x}+\tan{x}|) secxtanx−(∫sec3xdx−ln∣secx+tanx∣)
- 2 ∫ sec 3 x d x 2\int{\sec^3}x\mathrm{d}x 2∫sec3xdx= sec x tan x + ln ∣ sec x + tan x ∣ + C \sec{x}\tan{x}+\ln|\sec{x}+\tan{x}|+C secxtanx+ln∣secx+tanx∣+C
- 所以 ∫ sec 3 x d x \int{\sec^3}x\mathrm{d}x ∫sec3xdx= 1 2 ( sec x tan x + ln ∣ sec x + tan x ∣ ) + C \frac{1}{2}(\sec{x}\tan{x}+\ln|\sec{x}+\tan{x}|)+C 21(secxtanx+ln∣secx+tanx∣)+C
综合使用换元法和分部积分法
-
∫
e
x
d
x
\int{e^{\sqrt{x}}}\mathrm{d}x
∫exdx
- 令 t = x t=\sqrt{x} t=x,则 x = t 2 x=t^2 x=t2
-
∫
e
x
d
x
\int{e^{\sqrt{x}}}\mathrm{d}x
∫exdx=
∫
e
t
⋅
2
t
d
t
\int{e^{t}}\cdot{2t}\mathrm{d}t
∫et⋅2tdt=
2
∫
t
e
t
d
t
2\int{te^{t}}\mathrm{d}t
2∫tetdt [^1]=
2
(
t
−
1
)
e
t
+
C
2(t-1)e^{t}+C
2(t−1)et+C
- 由分部积分法有 ∫ t e t d t = ( t − 1 ) e t + C \int{te^t}\mathrm{d}t=(t-1)e^t+C ∫tetdt=(t−1)et+C
- ∫ e x d x \int{e^{\sqrt{x}}}\mathrm{d}x ∫exdx= 2 ( x − 1 ) e x + C 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}+C 2(x−1)ex+C
定积分的分部积分公式
- ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) ∣ a b − ∫ a b v ( x ) u ′ ( x ) d x ∫ a b u ( x ) d v ( x ) = u ( x ) v ( x ) ∣ a b − ∫ a b v ( x ) d u ( x ) ∫ a b u d v = u v ∣ a b − ∫ a b v d u \int_{a}^{b}{u(x)v'(x)}\mathrm{d}x=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^b{v(x)u'(x)}\mathrm{d}x \\ \int_a^b{u(x)\mathrm{d}v(x)}=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^b{v(x)}\mathrm{d}u(x) \\ \int_a^b{u\mathrm{d}v}=uv|_a^b-\int_a^b{v\mathrm{du}} ∫abu(x)v′(x)dx=u(x)v(x)∣ab−∫abv(x)u′(x)dx∫abu(x)dv(x)=u(x)v(x)∣ab−∫abv(x)du(x)∫abudv=uv∣ab−∫abvdu
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