EM@平面直线相关概念@平面直线方程

文章目录

• • abstract
  • 一次函数与直线图形
  • 直线方程与方程的直线
  • 直线的斜率
  • 直线分类
  • • 倾斜角
    • 倾斜角和斜率的关系
    • 由直线的方向向量确定直线斜率
  • 直线方程的形式👺
  • • 点斜式
    • 斜截式
    • 两点式
    • 点向式
    • 点法式
    • 截距式
  • 一般式方程
  • • 任何二元一次表示一条直线
    • 一般式

abstract

• 平面直线相关概念
• 平面直线方程

一次函数与直线图形

• 一般地,$l$是一次函数$y=kx+b$,$(k\ne 0)$(1)的图形,所表达的意义是:
  • 若点$P$在$l$上,则它的坐标$(x,y)$,满足$y=kx+b$
  • 反之,若点$P$的坐标$(x,y)$满足(1),则$P$点一定在$l$上
• $l$上任意两点$(x_1,k{x}_1+b)$,$(x_2,k{x}_2+b)$都在同一条直线上,因此$l$是一条直线,即(1)的图形是一条直线
• 特别的,当$k=0$时,无论$x$取何值,$y$始终等于$b$,即$y=0x+b=b$(1-1),
  • 此时的图形仍然是一条直线,并且是平行于$x$轴的直线;
• 总之,一次函数的图形是直线,但直线的图形不一定对应于某个一次函数
• 式(1),(1-1)都可以看作一个二元一次方程,因此方程$y=kx+b$的解和不垂直于$x$轴的直线$l$上的点存在一一对应的关系,因此直线$l$是方程$y=kx+b$的图形

直线方程与方程的直线

• 一般地,若以一个(二元一次)方程的解$(x,y)$为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线
• 由于方程$y=kx+b$的图象是一条直线,因此常称$y=kx+b$为直线$y=kx+b$
• 方程$y=b$和$x=x_0$(1-2)分别为:平行于$x$轴且过$(0,b)$的直线;垂直于$x$轴且过$(x_0,0)$的直线

直线的斜率

• 直线$l$(式(1))被其上的任意不同两点所唯一确定,设直线上两点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$坐标可以算出直线的斜率$k$

  • 通常我们把直线$y=kx+b$中的系数$k$称为直线的斜率

• 由于$A,B$在$l$上,有$y_1=k{x}_1+b$;$y_2=k{x}_2+b$;两式相减:$y_2-y_1$=$k(x_2-x_1)$,所以$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,$(x_1\ne x_2)$(1-3)

• 若用增量$\Delta x=x_2-x_1$,$\Delta y=y_2-y_1$,则式(1-3)可以表示为$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$,$\Delta x\ne 0$

• 显然,垂直于$x$轴的直线(1-2)斜率不存在,其也不是一次函数

• (1-1)不是一次函数,但仍然是一条直线,并且仍然存在斜率,只不过斜率为0

直线分类

• 此后,将直线方程分为两类,存在斜率和不存在斜率的(不再以是否为一次函数为分类标准)
• 存在斜率的直线可以表示为$y=kx+b$,而不存在斜率的直线表示为$x=x_0$
• 前者是讨论的重点

倾斜角

• 方程$y=kx+b$的图形式过点$(0,b)$且斜率为$k$的直线
• 斜率$k$决定了这条直线相对于$x$轴的倾斜程度
• 一般地,$x$轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,通常记为$\alpha$
  • 规定与$x$轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角

倾斜角和斜率的关系

• $k=\tan \alpha$,$\alpha \in [0,\pi )$,$k\in (-\infty ,+\infty )$
• $k=0$时,直线平行(重合)于$x$轴
• $k>0$时,直线的倾斜角为锐角,$\alpha$随$k$的增大而增大
• $k<0$时,直线的倾斜角为钝角,$\alpha$随$k$的增大而增大
• 当$k$不存在时,倾斜角为直角

由直线的方向向量确定直线斜率

• 设向量$\mathbf{n}=(a,b)$为直线$l$的一个方向向量($\mathbf{n}$与直线$l$平行或共线),则$l$的斜率为$k=\frac{b}{a}$
  • 当$(a,b)$位于第一象限和第二象限时,斜率显然为$k=\frac{b}{a}$
    • 斜率为直线$l$的倾斜角$\alpha$的正切值,即$k=\tan \alpha$=$\frac{b}{a}$
  • 当$(a,b)$位于第三象限时,直线$l$的倾斜角是第一象限角(第一象限点$(-a,-b)$在直线上),斜率公式仍然为$k=\frac{b}{a}$
  • 当$(a,b)$位于第四象限,直线$l$的倾斜角为第二象限角(第二象限点$(-a,-b))$在直线上),其斜率公式仍为$k=\frac{b}{a}$
• 例如,与向量$(1,2)$平行或共线的直线斜率为$k=2$;向量$(-2,1)$平行或共线的直线的斜率为$-\frac{1}{2}$

直线方程的形式👺

• 下面假设直线的斜率存在
• 如果不存在,则只能表示为$x=x_0$或$x-x_0=0$的形式,无需讨论

点斜式

• 已知直线$l$过点$P_0(x_0,y_0)$,且斜率为$k$,直线方程为$y-y_0=k(x-x_0)$(1),称为直线的点斜式方程
  • 设点$P(x,y)$为$l$上不同于$P_0$的任一点,则直线$l$的斜率$k$由$P,P_0$两点确定为$k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$,整理得(1)式
  • 特别的,当$k=0$时,方程变为$y-y_0=0$,即$y=y_0$,(1-1)

斜截式

• 当$P_0(x_0,y_0)$为$y$轴上的点$(0,b)$时,式(1)写成$y-b=k(x-0)$,即$y=kx+b$(2)
• 斜截式可以理解为点斜式的一种特殊情况,其中$b$为直线的截距
• 当$k\ne 0$时,(2)是一次函数解析式,$k=0$时,则不是一次函数

两点式

• 已知两点$A(x_1,y_2)$,$B(x_2,y_2)$,且$x_1\ne x_2$,求直线$AB$的方程
• 由两点可以确定$AB$直线的斜率:$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,由点斜式,$(y-y_1)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$,变形可得$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$=$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$,$x_1\ne x_2$(3)称为两点式方程
• 使用增量表示,$\frac{y-y_1}{\Delta y}$=$\frac{x-x_1}{\Delta x}$,$\Delta x\ne 0$

点向式

• 我们把与直线平行的向量称为直线$l$的方向向量

• 若直线$l$经过点$P_0(x_0,y_0)$,方向向量$\mathbf{d}=(u,v)$,那么直线$l$的方程可以表示为$\frac{x-x_0}{u}$=$\frac{y-y_0}{v}$,$(uv\ne 0)$

  • 这个形式可以表示不与任何坐标轴垂直(或平行)的直线fang’chegn
  • $u,v$不可能同时为0,因为零向量的方向是任意的,而一条直线的方向是确定且唯一的

• 推导:

  • 直线$l$的任意点$P(x,y)$和$P_0$构成的向量$\overrightarrow{P_{0}P}$=$(x-x_0,y-y_0)$和$\mathbf{d}=(u,v)$是共线的,所以$(x-x_0,y-y_0)$=$k(u,v)$或表示为$x-x_0=ku$;$y-y_0=kv$

    • 当$k\ne 0$时,$u,v$至多一个为0

      • 当$u,v$中恰好一个为0,
        • $u=0$那么$v\ne 0$,向量$(0,v)$垂直于$x$轴,直线表示为$x=x_0$
        • $v=0$那么$u\ne 0$,向量$(u,0)$垂直于$y$轴,直线表示为$y=y_0$
      • 当$u,v\ne 0$时,方程可以表示为$\frac{x-x_0}{u}$=$\frac{y-y_0}{v}$

    • 当$k=0$时,$x-x_0=0$,$y-y_0=0$,得$u,v=0$这不可能出现

点法式

• 直线法向量:与直线$l$垂直的向量称为$l$的法向量
• 若直线$l$经过点$(x_0,y_0)$,法向量$\mathbf{n}=(a,b)$,则直线的方程可以写作$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$
• 该形式的方程建立原理是两向量垂直的充要条件,即直线$l$的某个方向$(x-x_0,y-y_0)$和直线的法向量$(a,b)$垂直,所以两向量的点积为0,即$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

截距式

• 若直线$l$与$x,y$轴分别交于$A(a,0),B(0,b)$,且$(a,b\ne 0)$;则$a,b$分别称为直线$l$在坐标轴上的横截距和纵截距;直线$l$可以表示为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
• 推导
  • 直线$l$的一个方向向量为$\overrightarrow{AB}$=$(-a,b)$,而该向量所在直线的斜率为$k=\frac{b}{-a}$,由点斜式可知$y-0=\frac{b}{-a}(x-a)$,整理可得$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
• 这种形式的直线方程可以表示的直线限制较大,即
  • 过原点的直线以及垂直于任一坐标轴的直线两类简单直线都不能用该形式的方程表示

一般式方程

• 基于点斜式推导出的若干直线形式都依赖于前提:直线斜率存在(不垂直于$x$轴)
• 若以二元一次方程的角度看,斜率不存在的直线表示为$x=x_0$,即$y$的系数为0,而$x$的系数为1
• 对于每一条直线,都可以求出其对应的二元一次方程,从而任何直线都是关于$x,y$的二元一次方程

任何二元一次表示一条直线

• 设关于$x,y$的二元一次方程的一般形式为$Ax+By+C=0$,(1)$(A,B)\ne (0,0)$,即$A,B$不同时为0
  • $B\ne 0$时,式(1)化为$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$,即斜截式方程
    • 其表示的是斜率为$k=-\frac{A}{B}$,且$y$轴上的截距为$-\frac{C}{B}$的直线
  • 当$B=0$,此时$A\ne 0$,式(1)化为$x=-\frac{C}{A}$
    • 其表示的是于$y$轴平行或重合的直线
• 综上,关于$x,y$的二元一次方程表示一条直线

一般式

• 综上讨论,方程(1)可以表示任意直线,称为直线的一般式方程
• 并且,其法向量为$(A,B)$,方向向量为$(B,-A)$