定积分的应用@旋转体体积

文章目录

• • 平行截面面积为已知的立体体积
  • 旋转体的体积
  • • 绕$x$轴旋转
    • 绕$y$轴旋转
    • 类型转换
    • 参数方程形式的旋转体积
    • 小结:两类计算旋转体体积的微元法
  • 应用
  • • 例
    • 例
  • 旋转体表面积

平行截面面积为已知的立体体积

• 考虑夹在垂直于$x$轴的两个(立体空间)平面$x=a$和$x=b$,$(a<b)$之间的立体$V$的体积(其体积也不妨记为$V$)
• 假定$[a,b]$内任何一点处作垂直于$x$轴的平面截立体V的面积为$A(x)$,且$A(x)$是一个连续函数(为可以执行定积分计算作铺垫)
• 推导体积$V$的过程也是采用微分法,利用定积分的定义推导公式
• 将$x$轴上的$[a,b]$区间划分为$n$分,并设分点为$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$
  • 第$i$个小区间宽度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$,$(i=1,2,\cdots ,n)$
• 并令$\lambda =\underset{1⩽i⩽n}{\max }\{\Delta x_i\}$;过$x_i$作垂直于$x$轴的平面$x=x_i$,$i=1,2,\cdots ,n$,它们分别截立体V得到$n$个小部分$V_i$,任取${\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$,即用底面积为$A({\xi }_i)$,厚度为$\Delta x_i$的薄片(体积为$A({\xi }_i)\Delta x_i$)的体积之和${\sum }_{i=1}^{n}A({\xi }_i)\Delta x_i$估计(逼近)$V$;
• 即$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}A({\xi }_i)\Delta x_i$=${\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x$,因此$V={\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x$(1)

旋转体的体积

• 这类问题可以用定积分计算,还可以用二重积分计算,这里讨论前者,而后者通常会简便

• 旋转面:设有一块由连续曲线$y=f(x)$,$(f(x)⩾0)$以及直线$x=a,x=b$,$(a<b)$与$x$轴围成的曲边梯形记为$A$

绕$x$轴旋转

• 图形$A$绕$x$轴旋转一周而生成的一个旋转体$V_x$,显然垂直于$x$轴的面截该立体得到的是圆盘,并且圆盘体积为$x$的函数$A(x)$=$\pi f^2(x)$(2)
• 此时问题转换为截面积已知的立体体积,将(2)式代入(1)式,得$V_x$=$\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$(2-1)

绕$y$轴旋转

• 图形$A$绕$y$轴(或$x=k$,$x=0$就是$y$轴)旋转一周而生成的一个旋转体$V_y$,可以考虑使用套筒法取微元积分

  • 即,用平行于$y$轴的圆柱面去截此旋转体,截面为周长为$2\pi x$,高度为$f(x)$的圆柱侧面,面积记为$A(x)$=$2\pi xf(x)$(3)
  • 同样代入公式(1),的$V_y$=$2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x$(3-1)

• $y$轴是$x=0$的情形,更一般的,转轴为$x=k$时,$V_{x=k}$=$2\pi {\int }_a^b|k-x|f(x)\mathrm{d}x$(3-2)

• 若是2条曲线围成的区域旋转,则$V_{x=k}$=$2\pi {\int }_a^b|k-x|(f_2(x)-f_1(x))\mathrm{d}x$ (3-3),对应公式(3-2)应用割补思想可得到

类型转换

• 若曲边梯形的曲线方程为$x=\varphi (y)$,与直线$y=c,y=d$,$(c<d)$以及$y$轴构成的曲边梯形$B$作为旋转面
• 绕$y$轴旋转1周得到的立体体积:$V_y=\pi {\int }_c^d{\varphi }^2(y)\mathrm{d}y$
  • 这种情形下,虽然是绕$y$轴旋转,但用的是切片法作微元

参数方程形式的旋转体积

• 设旋转区域由曲线方程$x=x(t)$,$y=y(t)$构成
• 只需要将普通方程的公式中的$x$用$x=x(t)$代替,$f(x(t))$=$y(t)$;$\mathrm{d}x(t)$=$x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

小结:两类计算旋转体体积的微元法

• 通常,区域绕着$y$轴(或$x=k$)旋转,一般使用套筒法,但是某些单调曲线,可以用切片法,并且计算可能会更简单
• 利用割补思想,可以将双曲线区域旋转体积问题化为单曲线区域旋转体积问题

应用

例

• 设平面图形$A$由$x^2+y^2⩽2x$,$y⩾x$所确定,求图形$A$绕$x=2$旋转一周所得旋转体的体积
• 解
  • 分析:
    • 两曲线交点为$(1,1)$
    • 圆弧方程的标准形为$(x-1{)}^2+y^2=1$(0-1)
      • 表示为$y_2$=$\sqrt{2x-x^2}$(0-2),$(y_2⩾0)$,而曲线$y_1=x$
      • 或者表示为$x_1$=$1\pm \sqrt{1-y^2}$,考虑到$x\in [0,1]$,所以$x_1$=$1-\sqrt{1-y^2}$(0-3)
    • $x\in [0,1]$,$y_2>y_1$
  • 方法1:利用二重积分
    • $V$=$2\pi {\iint }_{D}r(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$2\pi {\iint }_D(2-x)\mathrm{d}\sigma$(1)
      • =$2\pi {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{\sqrt{2x-x^2}}(2-x)\mathrm{d}y$
      • =$2\pi {\int }_0^1(2-x)(\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x$(2)
    • 这个积分的计算要费点功夫:
      • 考虑将根号中的部分凑积分:$\mathrm{d}(2x-x^2)$=$2-2x$=$2(1-x)$
      • $(2-x)(\sqrt{2x-x^2}-x)$=$(2-x)\sqrt{2x-x^2}-(2-x)x$
        • =$(1+(1-x))\sqrt{2x-x^2}-(2-x)x$
        • =$\sqrt{2x-x^2}$+$(1-x)\sqrt{2x-x^2}-(2-x)x$
      • 分别对这三项积分
        • ${\int }_0^1(1-x)\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}{\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}(2x-x^2)$=$\frac{1}{2}\frac{2}{3}(2x-x^2{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1$=$\frac{1}{3}$
        • ${\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x$=${\int }_0^1\sqrt{1-(1-x{)}^2}\mathrm{d}x$=${\int }_0^1\sqrt{1-(x-1{)}^2}\mathrm{d}(x-1)$
          • =${\int }_{-1}^0\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t$
          • =${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^0\cos \theta \cdot \cos \theta \mathrm{d}\theta$=$\frac{1}{2}(\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta ){|}_{-\frac{\pi }{2}}^0$=$\frac{\pi }{4}$
          • 虽然这里用配方法和定积分换元法能够算出结果
          • 但是更简便的方法是利用几何角度计算:该被积函数$y=\sqrt{2x-x^2}$,$(y⩾0)$,$x\in [0,1]$,变形为$y^2$=$2x-x^2$,即$(x-1{)}^2+y^2=1$是一个半径为$1$的$x$轴以上的部分(半圆弧)的一半(最终剩下$\frac{1}{4}$圆)
          • 积分结果等于半圆的面积,即$\frac{1}{4}\pi$
        • ${\int }_0^1(2-x)x\mathrm{d}x$=$\frac{2}{3}$
      • 从而$V$=$2\pi (\frac{1}{3}+\frac{\pi }{4}-\frac{2}{3})$=$\frac{{\pi }^2}{2}-\frac{2\pi }{3}$
  • 定积分计算旋转体的体积直接微元法(一元函数微元法),
    • 微元的选取包括套筒法和切片法
  • 方法2:
    • 套筒微元法,对$x$积分
    • $\mathrm{d}V$=$2\pi r\mathrm{d}\sigma$(3)
      • 其中$r$=$2-x$,表示筒壁到转轴的距离
      • $\mathrm{d}\sigma$=$(y_2-y_1)\mathrm{d}x$=$(\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x$,这表示筒在厚度为$\mathrm{d}x$下,筒壁截面积(近似为平行四边形面积)
    • 从而$\mathrm{d}V$=$2\pi \cdot (2-x)\cdot (\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x$(4)
    • 从而$V$=$2\pi {\int }_0^1(2-x)(\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x$(5),后续步骤和式(2)一样
    • 或者应用割补思想简化套筒微元:$2\pi {\int }_0^1(2-x)\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x$-$2\pi {\int }_0^1(2-x)x\mathrm{d}x$合并后就是式(5)
  • 方法3:(计算最简单👺)
    • 使用切片法,对$y$积分
    • 利用割补思想,旋转体的水平截面面积为同心($x=2$)两个圆作大圆减小圆$S$=$\pi ([2-(1-\sqrt{1-y^2}){]}^2-(2-y{)}^2)$,
    • 从而$\mathrm{d}V$=$S\mathrm{d}y$
    • $V$=$\pi {\int }_0^1(-2+4y-2y^2+2\sqrt{1-y^2})\mathrm{d}y$=$\pi (-\frac{2}{3}+2\cdot \frac{\pi }{4})$=$\frac{{\pi }^2}{2}-\frac{2\pi }{3}$

例

• 求旋轮线(摆线)$x=a(t-\sin t)$,$y=a(1-\cos t)$,$t\in [0,2\pi ]$绕$x$轴旋转所成的旋转体的体积
  • $V_x$=$\pi {\int }_0^{2\pi a}{f}^2(x)\mathrm{d}x$=$\pi {\int }_0^{2\pi }[a(1-\cos t){]}^{2}a(1-\cos t)\mathrm{d}t$=$a^3\pi {\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^3\mathrm{d}t$=$a^3\pi {\int }_0^{2\pi }(1-3\cos t+3{\cos }^{2}t-{\cos }^{3}t)\mathrm{d}t$=$a^3\pi (2\pi -0+\frac{3}{2}\cdot 2\pi +0)$=$5\pi a^3$
  • 注意三角函数得定积分计算往往利用周期性和奇偶性,不一定要计算原函数才能算出结果,例如${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{3}t\mathrm{d}t$=0
• 若绕着$y$轴旋转一周,求体积
• 方法1:套筒微元法,对$x$积分
  • $V_y$=$2\pi {\int }_0^{2\pi a}xf(x)\mathrm{d}x$=$2\pi {\int }_0^{2\pi }a(t-\sin t)\cdot a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)\mathrm{d}t$
    • =$2\pi a^3{\int }_0^{2\pi }(t-\sin t)(1-\cos t{)}^2\mathrm{d}t$
    • 记$I$=${\int }_0^{2\pi }(t-\sin t)(1-\cos t{)}^2\mathrm{d}t$=${\int }_0^{2\pi }(t-2t\cos t+t{\cos }^{2}t-\sin t+2\sin t\cos t-\sin {\cos }^{2}t)\mathrm{d}t$=$3{\pi }^2$
    • 计算量较大,应用分部积分和三角函数降阶公式,
      • $\int t\cos t\mathrm{d}t$=$\int t\mathrm{d}\sin t$=$t\sin t+\cos t$
      • $\int t{\cos }^{2}t\mathrm{d}t$=$\frac{1}{2}\int t+t\cos 2t\mathrm{d}t$=$\frac{1}{4}{t}^2+\frac{1}{4}t\sin 2t+\frac{1}{8}\cos 2t$
  • $V_y$=$6{\pi }^3{a}^3$
• 方法2:旋转类型转换,仍然使用切片法,对$y$积分
  • 应用割补思想
  • $V_y$=$\pi {\int }_0^{2a}{x}_2^2(y)\mathrm{d}y$-$\pi {\int }_0^{2a}{x}_2^1(y)\mathrm{d}y$;这里$x_1(y)$,$x_2(y)$是同一条曲线的不同区间的部分,表达式一样,但是区间不同
    • 令:$y(t_1)$=$0$,求得$t_1$=$0$或$2\pi$
    • 令$y(t_2)=0$,求得$t_2=\pi$
    • 这里参数$t$表示摆线上的点$A(x,y)$对应的圆滚动的位置(圆心位置记为$C^{\prime }$),并过$C^{\prime }$作垂线交$x$轴于$Q$,则$t$=$\angle A{C}^{\prime }Q$(逆时针角),
    • 显然在$0⩽x⩽\pi a$,$t\in [0,\pi ]$而在$\pi a⩽x⩽2\pi a$时$t\in [\pi ,2\pi ]$
    • 设摆线的一个拱(周期)内,起点为$A(0,0)$,最高点为$B(\pi a,2a)$,终点$C(2\pi a,0)$
    • $V_y$的外壁曲线$x_2(y)$在$y:0\to 2a$对应的参数$t:2\pi \to \pi$;
    • $V_y$的内壁曲线$x_1(y)$在$y:0\to 2a$对应的参数$t:0\to \pi$
  • $V_y$=$\pi ({\int }_{2\pi }^{\pi }{a}^2(1-\cos t{)}^2\cdot a\sin t\mathrm{d}t-{\int }_0^{\pi }{a}^2(1-\cos t{)}^2\cdot a\sin t\mathrm{d}t)$
    • =$\pi a^3({\int }_{2\pi }^{\pi }(1-\cos t{)}^2\sin t\mathrm{d}t-{\int }_0^{\pi }(1-\cos t{)}^2\sin t\mathrm{d}t)$
    • =$\pi a^3({\int }_{2\pi }^{\pi }(1-\cos t{)}^2\sin t\mathrm{d}t+{\int }_{\pi }^0(1-\cos t{)}^2\sin t\mathrm{d}t)$
    • =$\pi a^3\cdot {\int }_{2\pi }^0(1-\cos t{)}^2\sin t\mathrm{d}t$
    • =$-\pi a^3\cdot {\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^2\sin t\mathrm{d}t$
    • =$6{\pi }^3{a}^3$
• 相关计算:wolfram代码:
  • integrate (x-sin x)^2*sin x dx from x=2pi to pi - integrate (x-sin x)^2*sin x dx from x=0 to pi
  • (integrate (x-sin x)^2sin x dx from x=2pi to pi - integrate (x-sin x)^2sin x dx from x=0 to pi - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com))=$6{\pi }^2$

旋转体表面积

• 另见曲线弧长问题的衍生部分