变限积分@积分上限的函数及其导数@微积分第一基本定理@原函数存在定理

使用定积分的定义计算积分通常是困难而且不方便的,为此,我们需要寻求新的方法,即微积分基本公式(定理)
- 微积分第一基本定理是关于变上限积分(积分上限函数)的结论,作为第二基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)的基础
- 通常微积分基本定理指的是第二基本定理,微积分基本公式为Newton-Leibniz公式
本文介绍:微积分第一基本定理@积分上限的函数及其导数@原函数存在定理

变速直线运动中位置函数和速度函数之间的联系
- 物体在时间间隔 $T_1,T_2]$ 内经过的路程可以用速度函数 $v (t)$ 在 $T_1,T_2]$ 上的定积分 $f_{T_1}^{T_2}v(t)\mathrm{d}t$ 来表示
- 另一方面,这段路程又可以通过位置函数 $s (t)$ 在区间 $T_1,T_2]$ 上的增量 $s(T_2)-s(T_1)$ 来表达
可见, $s (t)$ 和 $v (t)$ 之间满足 $f_{T_1}^{T_2}v(t)\mathrm{d}t$ = $s(T_2)-s(T_1)$ ;并且 $s^{'} (t)$ = $v (t)$ ,( $v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ )
这就是说,速度 $v (t)$ 在区间 $T_1,T_2]$ 上的定积分等于 $v (t)$ 的原函数 $s (t)$ 在区间 $T_1,T_2]$ 上的增量 $s(T_2)-s(T_1)$
由特殊性体现一般性,可以猜测该结论在一定条件下具有普遍性,并尝试给出证明

变上限积分,即积分上限函数,所谓积分上限函数,就是自变量位于定积分的积分上限位置
设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积,对 $x\in[a,b]$ , $f (x)$ 在含变量 $x$ 的区间 $[a, x]$ 上可积
- 函数 $G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ , $(x\in[a,b])$ (1)定义了一个以 $x$ 为自变量的函数,称为变上限的定积分
- 一般地,积分上限函数可以表示为式(1)
Notes
- 字母 $t$ 不是积分上限的函数 $G$ 的自变量,而是被积函数的自变量,
- 式(1)所示的积分上限的函数 $G$ 的自变量是 $x$
- $x$ 或 $x$ 的函数 $g (x)$ (不含 $t$ )的,相对于 $f (t)$ 都是常数,在计算定积分时可以提出到积分号外
变上限积分函数是的产生方式依赖于定积分,比一般的初等函数要抽象一些
- 初等函数在其定义域区间内是连续的,其原函数一定存在,但原函数却不一定仍然是初等函数,例如 $sin{x^2}$ ,该函数原函数存在却积不出(不是初等函数)
- 变上限积分函数可能不是初等函数

类似于变上限的定积分,变下限的定积分 $G(x)=\int_{x}^{b}f(t)\mathrm{d}t$ , $x\in[a,b]$ (2)
可以将变下限积分转换为变上限积分进行研究:由定积分的补充约定,有 $\int_{x}^{b}f(t)\mathrm{d}t$ = $-\int_{b}^{x}f(t)\mathrm{d}t$

$\int_{a}^{x}g(x)f(t)\mathrm{d}t$ = $g(x)\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t$
- 因为 $g (x)$ 相对于被积函数是常数
例如 $F(x)=\int_{0}^{x}(x^2-3t^2)f(t)\mathrm{d}t$ ,则 $F(x)=x^2\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ - $3\int_{0}^{x}t^2f(t)\mathrm{d}t$

揭示不定积分和定积分的关系,讨论变上限积分函数的导数(积分上限的函数及其导数)
设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,积分上限的函数 $G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ ,在 $[a, b]$ 上可导,且 $G^{'} (x)$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}=f(x)$ , $x\in[a,b]$ (1)

上述定理表明,连续函数 $f (x)$ 取变上限 $x$ 的定积分,然后求导,结果还原为 $f (x)$ 本身
- $G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ 是 $f(x)(x\in[a,b])$ 的一个原函数
- 区间上积分上限的函数的导数为被积函数
- $\int f(x)\mathrm{d}x$ = $\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t+C$ , $(x\in[a,b])$

可以分为三个部分进行证明:
1. 区间内部 $x\in(a,b)$
2. 区间左边界 $x = a$
3. 区间右边界 $x = b$
若 $x\in(a,b)$ ,且 $x+\Delta{x}\in(a,b)$
- 记: $\Delta{G(x)}=G(x+\Delta{x})-G(x)$
  - = ${\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}-{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$
  - = ${\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t} +{\int_{x}^{a}f(t)\mathrm{d}t}$
  - = ${\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}$
由定积分中值定理:
- 区间 $[x,x+\Delta{x}]$ 上存在一点 $\xi$ ,使得: $\Delta{G(x)}$ = ${\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}$ = $f(\xi)\Delta{x}$
- $\frac{1}{\Delta{x}}\Delta{G(x)}$ = $\frac{1}{\Delta{x}}{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}$ = $f(\xi)$
- $\Delta{x}\to{0}$ 时, $x+\Delta{x}\to{x}$ .又因为 $\xi\in{[x,x+\Delta{x}]}$ ,则 $\xi\to{x}(\Delta{x}\to{0})$
- 由导数的定义(极限),将 $\xi$ 视为变量, $G^{'}(x)$ = $\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta{G(x)}}{\Delta{x}}$ = $\lim\limits_{\xi\to{x}}f(\xi)$ = $f (x)$
  - 由于 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 内是连续的, $[x,x+\Delta{x}]\sub(a,b)$ 自然也是连续的
  - 根据一元连续函数的性质,那么有 $\lim\limits_{\xi\to{x}}f(\xi)=f(x)$
- $G^{'} (x)$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$ , $(x\in(a,b)$ ,即结论成立
进一步分类讨论:
- $x = a$ ,取 $\Delta{x}>0$ ;可以得到右导数 $G'_+(a)=f(a)$ ;
- $x = b$ ,取 $\Delta{x}<0$ ;左导数: $G'_-(b)=f(b)$ ,
- 从而得到 $G^{'} (x) = f (x)$

由微积分第一基本定理,容易引出连续函数的原函数存在定理
定理:
- 设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,则函数 $G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ 就是 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数
  - 即 $G (x)^{'}$ = $f (x)$ , $(x\in[a,b])$ ; $\int{f(x)\mathrm{d}x}$ = $G (x) + C$ ;
  - 注意积分下限为闭区间左端点,积分上限为变量 $x$
Note:
- 来连续函数的原函数一定存在,并解释了(变上限)定积分与原函数之间的关系,暗示我们可以有可能通过原函数来计算定积分

如果 $f (x)$ 在区间 $D = [a, b]$ 上除了点 $x=x_0\in(a,b)$ 外均连续,而在 $x=x_0$ 处 $f (x)$ 有跳跃间断点(即 $f (x)$ 在 $x_0$ 处的左右极限都存在但不相等: $\lim\limits_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=f(x_0^{-})$ , $\lim\limits_{x\to{x_0^{+}}}f(x)=f(x_0^{+})$ , $f(x_0^{-})\neq{f(x_0^{+})}$ )
令 $F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ , $c\in[a,b]$ , $x\in[a,b]$ 则有结论
- $F (x) 在 [a, b]$ 上连续
- $F'(x)=f(x),x\in[a,b],x\neq{x_0}$
- $F'_{-}(x_0)=f(x_0^-),F'_{+}(x_0)=f(x_0^{+})$ ,即,间断点 $x_0$ 处原函数的左导数等于 $f (x)$ 在 $x_0$ 的左极限,原函数右导数等于 $f (x)$ 在 $x_0$ 右极限
例,分段函数 $f (x)$ = $sin{x}$ , $(x\leqslant{0})$ ; $f(x)=e^{x}$ , $(x > 0)$ ,我们研究其在 $(-\infin,+\infin)$ 区间上的原函数性质
- 任取 $(-\infin,+\infin)$ 中的某点 $c$ ,不妨取 $c=-\pi$ ,并记 $F (x)$ = $\int_{-\pi}^{x}f(t)\mathrm{d}t$
- 由分段函数的积分: $F (x)$
  - = $\int_{-\pi}^{x}\sin{t}\mathrm{d}t$ = $-\cos{x}|_{-\pi}^{x}$ = $-[\cos]_{-\pi}^{x}$ = $cos{x}+1)$ = $cos{x}-1$ , $(x\leqslant{0})$
  - = $\int_{-\pi}^{0}\sin{t}\mathrm{d}t$ + $\int_{0}^{x}e^{t}\mathrm{d}t$ = $cos{x}-1]|_{x=0}$ + $e^{x}|_{0}^{x}$ = $- 2$ + $e^{x}-1$ = $e^{x}-3$ , $(x > 0)$
  - 显然 $F (x)$ 在两个区间内各自连续,且在 $x = 0$ 处连续,因为 $F(0^{-})$ = $F(0^{+})$ = $F (0)$ ,因此 $F (x)$ 在 $(-\infin,\infin)$ 上连续